高中人教B版 (2019)第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.2 对数与对数函数4.2.3 对数函数的性质与图像学案设计

4．2.3　对数函数的性质与图象

【课程标准】

(1)通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．

(2)知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，且a≠1).

新知初探·自主学习——突出基础性

教 材 要 点

知识点一　对数函数的概念

函数____________叫做对数函数，其中________是自变量，函数的定义域是________．

状元随笔　形如y＝2log2x，y＝log2都不是对数函数，可称其为对数型函数．

知识点二　对数函数的图象与性质

状元随笔　底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．

第1课时　对数函数的概念

基 础 自 测

1．下列函数中是对数函数的是(　　)

A．y＝x      B．y＝ (x＋1)

C．y＝2x      D．y＝x＋1

2．已知对数函数的图象过点M(9，2)，则此对数函数的解析式为(　　)

A．y＝log2x　     B．y＝log3x

C．y＝x　     D．y＝x

3．函数f(x)＝ln (1－x)的定义域是(　　)

A．(0，1)　　      B．[0，1)

C．(1，＋∞)　　     D．(－∞，1)

4．在同一个坐标系下，函数y＝2x与函数y＝x的图象都正确的是(　　)

课堂探究·素养提升——强化创新性

题型1　对数函数的概念[经典例题]

例1　下列函数中，哪些是对数函数？

用对数函数的概念例如y＝logax(a＞0且a≠1)来判断．

(1)y＝loga(a＞0，且a≠1)；

(2)y＝log2x＋2；

(3)y＝8log2(x＋1)；

(4)y＝logx6(x＞0，且x≠1)；

(5)y＝log6x.

方法归纳

判断一个函数是对数函数的方法

跟踪训练1　(1)若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________；

(2)若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________．

题型2　求函数的定义域[经典例题]

例2　求下列函数的定义域：

(1)y＝log3x2; 　　　　　　　　　真数大于0.

(2)y＝loga(4－x)(a＞0，且a≠1).

方法归纳

求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式(数)非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．

跟踪训练2　求下列函数的定义域：

真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．

(1)y＝lg (x＋1)＋；

(2)y＝log(x－2)(5－x).

题型3　对数函数的图象问题

例3　(1)函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是下图中的(　　)

(2)已知函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________．

(3)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________.

状元随笔　(1)由函数y＝x＋a的图象判断出a的范围．

(2)依据loga1＝0，a0＝1，求定点坐标．

(3)沿直线y＝1自左向右看，对数函数的底数由小变大．

方法归纳

解决对数函数图象的问题时要注意

(1)明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．

(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a＞1，还是0＜a＜1.

(3)牢记特殊点．对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象经过点：(1，0)，(a，1)和.

跟踪训练3　(1)如图所示，曲线是对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象，已知a取，，，，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为(　　)

　增函数底数a＞1，

减函数底数0＜a＜1.

A.，，，   B．，，，

C．，，，   D．，，，

(2)函数y＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为　 (　　)

先去绝对值，再利用单调性判断．

(3)函数f(x)＝loga(2x－3)(a＞0，a≠1)的图象过定点(　　)

A．(0，)     B．(，0)

C．(0，2)     D．(2，0)

4．2　对数与对数函数

4．2.3　对数函数的性质与图象

新知初探·自主学习

知识点一

y＝logax(a＞0，且a≠1)　x　(0，＋∞)

知识点二

(0，＋∞)　R　(1，0)　增函数　减函数

第1课时　对数函数的概念

[基础自测]

1．解析：形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的函数才是对数函数，只有A是对数函数．

答案：A

2．解析：设函数为y＝logax，则2＝loga9，∴a2＝9.

∵a>0，∴a＝3.

∴对数函数的解析式为y＝log3x.

答案：B

3．解析：要使f(x)有意义，则1－x>0，∴x<1，∴f(x)的定义域为(－∞，1)．

答案：D

4．解析：指数函数y＝2x是增函数，对数函数y＝x是减函数，故选A.

答案：A

课堂探究·素养提升

例1　【解析】　(1)中真数不是自变量x，不是对数函数．(2)中对数式后加2，所以不是对数函数．(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数．

跟踪训练1　解析：(1)由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.

又底数a＋1＞0，且a＋1≠1，所以a＝1.

(2)由题意设f(x)＝logax(a>0且a≠1)，

则f(4)＝loga4＝－2，

所以a－2＝4，故a＝，

即f(x)＝x，

所以f(8)＝8＝－3.

答案：(1)1　(2)－3

例2　【解析】　(1)因为x2＞0，即x≠0，所以函数y＝log3x2的定义域是{x|x≠0}．

(2)因为4－x＞0，即x＜4，所以函数y＝loga(4－x)的定义域是{x|x＜4}．

跟踪训练2　解析：(1)要使函数有意义，

需即

∴－1＜x＜1，∴函数的定义域为(－1，1)．

(2)要使函数有意义，需∴

∴定义域为(2，3)

例3　【解析】　(1)A中，由y＝x＋a的图象知a＞1，而y＝logax为减函数，A错；B中，0＜a＜1，而y＝logax为增函数，B错；C中，0＜a＜1，且y＝logax为减函数，所以C对；D中，a＜0，而y＝logax无意义，也不对．

(2)依题意可知定点A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－，故f(x)＝3x－，f(log32)＝－＝2－＝.

(3)由题干图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1，0＜d＜1.

过点(0，1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c.

【答案】　(1)C　(2)　(3)b＞a＞1＞d＞c

跟踪训练3　解析：(1)方法一　作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以C1，C2，C3，C4对应的a值分别为，故选A.

方法二　由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a由大到小依次为C1，C2，C3，C4，即.故选A.

(2)函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±1时y＝1，故选A.

(3)对于函数f(x)＝loga(2x－3)(a>0，a≠1)，令2x－3＝1，求得x＝2，可得它的图象经过定点(2，0)．

答案：(1)A　(2)A　(3)D