高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.2.3 对数函数的性质与图像综合训练题

课后素养落实(五)　对数函数的性质与图像

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若某对数函数的图像过点(4,2)，则该对数函数的解析式为(　　)

A．y＝log2x　　　　　 B．y＝2log4x

C．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定

A　[由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝logax，则loga4＝2，解得a＝2.故所求解析式为y＝log2x.]

2．函数f(x)＝的定义域是(　　)

A．[4，＋∞) B．(10，＋∞)

C．(4,10)∪(10，＋∞) D．[4,10)∪(10，＋∞)

D　[由解得

∴x≥4且x≠10，

∴函数f(x)的定义域为[4,10)∪(10，＋∞)．

故选D．]

3．函数y＝lg(x＋1)的图像大致是(　　)

A　　　　B　　　　　C　　　　D

C　[由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lg x的图像向左平移1个单位．(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)]

4．设a＝log3，b＝log5，c＝log7，则(　　)

A．c>b>a B．b>c>a

C．a>c>b D．a>b>c

D　[因为log3＝log32－1，log5＝log52－1，

log7＝log72－1，log32>log52>log72，故a>b>c.]

5．已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则(　　)

A．f(3)＜f(－2)＜f(1) B．f(1)＜f(－2)＜f(3)

C．f(－2)＜f(1)＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜f(－2)

B　[画出函数f(x)＝loga|x|的图像(图略)，可知该函数是偶函数．因为函数在(0，＋∞)上单调递增，所以f(1)＜f(2)＝f(－2)＜f(3)，故选B．]

二、填空题

6．函数f(x)＝loga(x＋3)＋(a>0，a≠1)的图像恒过定点P，且点P在函数y＝bx(b>0，b≠1)上，则b＝________.

　[f(x)＝loga(x＋3)＋恒过定点P，所以b－2＝，解得b＝.]

7．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．

(1,2)　[若f(x)，g(x)均为增函数，

则即1＜a＜2.

若f(x)，g(x)均为减函数，

则无解．]

8．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f＝0，则不等式f(logx)＞0的解集为________．

∪(2，＋∞)　[∵f(x)是R上的偶函数，

∴它的图像关于y轴对称．

∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，

∴f(x)在(－∞，0)上为减函数，

做出函数图像如图所示．

由f＝0，得f＝0.

∴f(logx)＞0⇒logx＜－或logx＞⇒x＞2或0＜x＜，

∴x∈∪(2，＋∞)．]

三、解答题

9．已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)．

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断函数的奇偶性．

[解]　(1)要使函数有意义，则有>0，

即或

解得x>1或x<－1，

此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．

(2)f(－x)＝loga＝loga

＝－loga＝－f(x)．

∴f(x)为奇函数．

10．求函数y＝log(1－x2)的单调增区间，并求函数的最小值．

[解]　要使y＝log(1－x2)有意义，则1－x2＞0，

∴x2＜1，则－1＜x＜1，因此函数的定义域为(－1,1)．

令t＝1－x2，x∈(－1,1)．

当x∈(－1,0]时，x增大，t增大，y＝logt减小，

∴x∈(－1,0]时，y＝log(1－x2)是减函数；

同理当x∈[0,1)时，y＝log(1－x2)是增函数．

故函数y＝log(1－x2)的单调增区间为[0,1)，且函数的最小值ymin＝log(1－02)＝0.

11．(多选题)已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，则下列四个选项中，可能成立的有(　　)

A．a＞b＞1 B．a＜b＜1

C．b＜a＜1 D．a＝b

CD　[实数a，b满足等式log2a＝log3b，即y＝log2x在x＝a处的函数值和y＝log3x在x＝b处的函数值相等，当a＝b＝1时，log2a＝log3b＝0，此时D成立；令log2a＝log3b＝1，可得a＝2，b＝3，由此知A不成立；令log2a＝log3b＝－1，可得a＝，b＝，由此知C成立，B不成立．综上知可能成立的有CD两项．]

12．已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图像如图所示，则a，b满足的关系是(　　)

A．0<a－1<b<1

B．0<b<a－1<1

C．0<b－1<a<1

D．0<a－1<b－1<1

A　[令g(x)＝2x＋b－1，这是一个增函数，而由图像可知函数y＝logag(x)是单调递增的，所以必有a>1．

又由图像知函数图像与y轴交点的纵坐标介于－1和0之间，即－1<f(0)<0，所以－1<logab<0，

故a－1<b<1，因此0<a－1<b<1．]

13．函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)在[2,3]上的最大值为1，则a＝________.

3　[当a＞1时，f(x)的最大值是f(3)＝1，则loga3＝1，∴a＝3.

当0＜a＜1时，f(x)的最大值是f(2)＝1，则loga2＝1，

∴a＝2(不合题意舍去)．

综上得a＝3.]

14．已知f(x)＝log，若f(x)在(－1,2)上单调递减，则实数m的取值范围是__________；当m＝________时，f(x)的单调减区间的长度最小．

　　[若函数f(x)＝

log在(－1,2)上单调递减，

则令t＝－mx－x2，知其在(－1,2)上单调递增，且恒为正．

由t＝－mx－x2的图像开口向下，且以直线x＝－为对称轴，

得解得－≤m≤－4.

对于t＝－mx－x2，

则Δ＞0，即(－m)2＋4×＞0知m∈R，

单调减区间的长度

＝＝，

∴当m＝0时，单调减区间的长度最小为.]

15．已知函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)．

(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；

(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．

[解]　(1)若f(x)的定义域为R，则关于x的不等式ax2＋2x＋1>0的解集为R.

当a＝0时，x>－，这与x∈R矛盾，∴a≠0，

因此，不等式需满足解得a>1．

∴实数a的取值范围是(1，＋∞)．

(2)若f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)值域为R，

设t＝ax2＋2x＋1的值域为A，则(0，＋∞)⊆A，

①当a＝0时，t＝2x＋1，与题意相符；

②当a≠0时，结合二次函数的性质，得

解得0<a≤1．

综上所述，实数a的取值范围是[0,1]．