数学选修1-2第二章 推理与证明2.1合情推理与演绎推理背景图ppt课件

这是一份数学选修1-2第二章 推理与证明2.1合情推理与演绎推理背景图ppt课件，共30页。PPT课件主要包含了c2＝a2－b2，分类讨论思想的应用等内容，欢迎下载使用。

1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题.2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.
知识梳理 自主学习
题型探究 重点突破
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知识梳理 自主学习
知识点一　椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的 的点的轨迹叫做 .这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 .知识点二　椭圆的标准方程
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
距离之和等于常数(大于|F1F2|)
思考　(1)椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？答案　当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在.(2)确定椭圆的方程需要知道哪些量？答案　a，b的值及焦点所在的位置.
题型探究 重点突破
题型一　用待定系数法求椭圆的标准方程例1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10；解　因为椭圆的焦点在x轴上，
因为2a＝10，所以a＝5.
又因为c＝4，所以b2＝a2－c2＝52－42＝9.
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0).解　因为椭圆的焦点在y轴上，
因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即先要判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可.当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件.当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程.
解　方法一　(1)当焦点在x轴上时，
(2)当焦点在y轴上时，
此时不符合a>b>0，所以方程组无解.
方法二　设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0且A≠B)，
题型二　椭圆定义的应用例2　已知两定点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|.(1)求点P的轨迹方程；解　依题意知|F1F2|＝2，|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>2＝|F1F2|，∴点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，
(2)若∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积.解　设m＝|PF1|，n＝|PF2|，则m＋n＝2a＝4.在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝m2＋n2－2mncs∠F1PF2，∴4＝(m＋n)2－2mn(1＋cs 120°)，解得mn＝12.
在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多.要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系.在解题中，经常把|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理.
所以a＝5，故有|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，|AF2|＋|BF2|＝|AB|，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝20.
题型三　与椭圆有关的轨迹问题例3　 已知B、C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程.
解　以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示.由|BC|＝8可知点B(－4,0)，C(4,0).由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18得|AB|＋|AC|＝10>8＝|BC|，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，但点A不在x轴上.由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.
利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由题意找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程.
跟踪训练3　 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程.解　如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B，∴|PB|＝r.又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|＝6).∴圆心P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆.∴2a＝10,2c＝|AB|＝6.∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
分析　已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，并未指明哪个角是直角，由|PF1|＞|PF2|，知∠PF2F1＞∠PF1F2，因此∠PF1F2不会是直角，但是∠F1PF2与∠PF2F1都有可能为直角，故应分类讨论.
根据直角的不同位置，分两种情况：若∠PF2F1为直角，则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即|PF1|2＝(6－|PF1|)2＋20，
若∠F1PF2为直角，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，即20＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，解得|PF1|＝4，|PF2|＝2(由于|PF1|＞|PF2|，
分类讨论思想在解决椭圆的有关问题时经常用到，如在求椭圆的标准方程时，常对焦点所在的坐标轴进行分类讨论.
1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是(　　)A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段解析　∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，∴动点M的轨迹是线段.
2.已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是(　　)A.1 B.2 C.3 D.4
A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰直角三角形解析　根据椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝8.又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝5，|PF2|＝3.而|F1F2|＝4，所以|F1F2|2＋|PF2|2＝|PF1|2，所以△PF1F2是直角三角形，故选B.
4.“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
由于PF1⊥PF2，所以由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝100.又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，所以(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝100，即196－2|PF1|·|PF2|＝100.
解得|PF1|·|PF2|＝48.