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高中人教版新课标A第二章 推理与证明2.1合情推理与演绎推理多媒体教学课件ppt
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这是一份高中人教版新课标A第二章 推理与证明2.1合情推理与演绎推理多媒体教学课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了一般性，特殊情况下，逻辑推理，一般原理，特殊情况等内容，欢迎下载使用。
主题一：演绎推理的含义【自主认知】看下面两个推理，回答问题①一切奇数都不能被2整除，(22012+1)是奇数，所以(22012+1)不能被2整除；②两个平面平行其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面.
(1)这两个推理中的第一句都说的是什么？提示：都说的是一般原理.(2)这两个推理中第二句、第三句又说的是什么呢？提示：第二句都说的是特殊实例.而第三句说的是由一般原理对特殊实例做出的判断.
➡根据以上探究过程，试着写出演绎推理的定义及特点：1.定义：从_______的原理出发，推出某个___________的结论，我们把这种推理称为演绎推理(演绎推理又称_________).2.特点：由_____到_____的推理.
【合作探究】1.阅读下面的材料，探究下列问题：(1)自然数都是整数，因为3是自然数，所以3是整数.(2)一次函数是单调函数，因为y=2x-1是一次函数，所以y=2x-1是单调函数.以上两个推理是演绎推理吗？推理的结论正确吗？提示：是演绎推理，推理的结论都正确.
2.演绎推理有哪些特点？提示：①演绎推理的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴含于前提之中的个别特殊事实，结论完全蕴含于前提之中；②在演绎推理中，前提和结论存在着必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确的，那么结论也必然是正确的.
【过关小练】1.平行于同一直线的两直线平行，因为a∥b，b∥c，所以a∥c，这个推理称为( )A.合情推理B.归纳推理C.类比推理D.演绎推理【解析】选D.因为平行于同一直线的两直线平行，(一般性原理)因为a∥b，b∥c，(特殊情况)所以a∥c，(由一般性得特殊)所以这是一个三段论，属于演绎推理.
2.下面几种推理过程是演绎推理的是( )A.某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B.由三角形的性质，推测空间四面体的性质C.平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D.在数列{an}中，a1=1，an= 由此归纳出{an}的通项公式
【解析】选C.选项A，D是归纳推理；选项B是类比推理；选项C运用了“三段论”，是演绎推理.
主题二：演绎推理的一般模式【自主认知】1.“所有金属都导电，因为铁是金属，所以铁导电”，以上推理是演绎推理吗？其推理形式有何特点？提示：是演绎推理，此推理形式可分为三部分：第一句描述的是一般原理，第二句描述的是大前提里的特殊情况，第三句是根据一般原理对特殊情况做出的判断.
2.演绎推理的结论是否正确？是如何得出结论的？提示：推理的结论正确，演绎推理的结论是根据一般原理，对特殊情况做出的判断.
➡根据以上探究过程，试着完成演绎推理一般模式的相关内容1.演绎推理的一般模式：三段论.(1)大前提——已知的_________.(2)小前提——所研究的_________.(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的_____.
2.“三段论”的常用格式：(1)大前提：M是P.(2)小前提：S是__.(3)结论：S是P.3.从集合的角度看演绎推理：(1)大前提：x∈M且x具有性质P.(2)小前提：y∈S且S⊆M.(3)结论：y具有性质__.
【合作探究】1.如何分清“三段论”的大前提、小前提和结论？提示：在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况做出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义.例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有的一般意义.
2.合情推理和演绎推理有怎样的关系？提示：(1)联系：两个推理是相辅相成的，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路的发生，主要靠合情推理.(2)区别：合情推理的前提为真时，结论不一定为真；而演绎推理的前提为真时，结论必定为真.
【拓展延伸】“三段论”的论断基础(1)三段论法的论断基础是这样一个公理：凡肯定(或否定)了某一类对象的全部，也就肯定(或否定)了这一类对象的各部分或个体.简言之，全体概括个体.M，P，S三个概念之间的包含关系表现为：如果概念P包含了概念M，则必包含了M中的任一概念S(如图①)；如果概念P排斥概念M，则必排斥M中的任一概念S(如图②).
(2)只有弄清以上道理，才会使我们在今后的演绎推理中不犯(或少犯)错误.在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定也是正确的.如果大前提是错误的，所得的结论也是错误的.
【过关小练】1.已知△ABC中，A=30°，B=60°，求证：a
【归纳总结】1.对演绎推理的两点说明(1)演绎推理具有证明结论、整理和构建知识体系的作用，是公理体系中的基本推理方法.(2)演绎推理是由一般到特殊的推理.
2.对“三段论”的两点说明(1)三段论中的大前提提供了一个一般性原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般性原理与特殊情况的内在联系，从而得到了第三个命题——结论.(2)若集合M的所有元素都具有性质P，S是M中的一个子集，那么S中的元素也具有性质P；若M中的元素都不具有性质P，那S中的元素也不具有性质P.
类型一：把演绎推理写成三段论的形式【典例1】将下列推理写成“三段论”的形式：(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向.(2) 是有理数.(3)y=sin x(x∈R)是周期函数.
【解题指南】首先分析出每个推理的大前提、小前提及结论，再写成三段论的形式.【解析】(1)大前提：向量是既有大小又有方向的量.小前提：零向量是向量.结论：零向量也有大小和方向.
(2)大前提：所有的循环小数都是有理数.小前提： 是循环小数.结论： 是有理数.(3)大前提：三角函数是周期函数.小前提：y=sin x(x∈R)是三角函数.结论：y=sin x(x∈R)是周期函数.
【规律总结】用三段论写推理过程的技巧(1)关键：用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般原理与特殊情况的内在联系.(2)何时省略：有时可省略小前提，有时甚至也可将大前提、小前提都省略.(3)如何寻找：在寻找大前提时可找一个使结论成立的充分条件作大前提.
【巩固训练】(2015·洛阳高二检测)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A.大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B.大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数
C.大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D.大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数
【解析】选B.对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式.
【拓展延伸】判断演绎推理是否正确要四看(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理，只有由一般到特殊的推理才是演绎推理，这是最易出错的地方.(2)看大前提是否正确，大前提往往是定义、定理、性质等，注意其中有无前提条件.(3)看小前提是否正确，注意小前提必须在大前提范围之内.(4)看推理过程是否正确，即看由大前提，小前提得到的结论是否正确.
【补偿训练】指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：(1)整数是自然数，…大前提-3是整数，…小前提-3是自然数.…结论(2)常数函数的导函数为0，…大前提函数f(x)的导函数为0，…小前提f(x)为常数函数.…结论
(3)无理数是无限不循环小数，…大前提 (0.33333…)是无限不循环小数，…小前提 是无理数，…结论
【解析】(1)结论是错误的，原因是大前提错误.自然数是非负整数.(2)结论是错误的，原因是推理形式错误.大前提指出的一般原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”.(3)结论是错误的，原因是小前提错误. (0.33333…)是循环小数而不是无限不循环小数.
类型二：演绎推理在几何中的应用【典例2】证明：如果梯形的两腰和一底相等，那么它的对角线必平分另一底上的两个角.【解题指南】先将文字语言转化为几何语言，利用平行线的性质去寻求角的关系.
【证明】已知在梯形ABCD中(如图所示)，AB=DC=AD，AC和BD是它的对角线，求证：CA平分∠BCD，BD平分∠CBA.证明：①因为等腰三角形的两底角相等，…大前提△DAC是等腰三角形，DC=DA，…小前提所以∠1=∠2.…结论
②因为两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，…大前提∠1和∠3是平行线AD，BC被AC所截得的内错角，…小前提所以∠1=∠3.…结论③因为等于同一个量的两个量相等，…大前提∠2=∠1，∠3=∠1，…小前提所以∠2和∠3相等.…结论即CA平分∠BCD.④同理BD平分∠CBA.
【规律总结】几何证明中演绎推理应用的两个关注点(1)大前提的正确性：几何证明往往采用演绎推理，它往往不是经过一次推理就能完成的，常需要几次使用演绎推理，每一个推理都暗含着大、小前提，前一个推理的结论往往是下一个推理的前提，在使用时不仅要推理的形式正确，还要前提正确，才能得到正确的结论.
(2)大前提可省略：在几何证明问题中，每一步都包含着一般原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般原理应用于特殊情况，就能得出相应结论.提醒：在应用“三段论”进行推理的过程中，大前提、小前提或推理形式之一错误，都可能导致结论错误.
【巩固训练】如图，△ABC中，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD=∠A，DE∥BA.求证ED=AF，写出“三段论”形式的演绎推理.
【证明】因为同位角相等，两直线平行，…大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD=∠A，…小前提所以FD∥AE.…结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，…大前提DE∥BA，且FD∥AE，…小前提所以四边形AFDE为平行四边形.…结论
因为平行四边形的对边相等，…大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，…小前提所以ED=AF.…结论
【补偿训练】如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a，D，E分别为C1C与AB的中点，A1B交AB1于点G.(1)求证：A1B⊥AD.(2)求证：EC∥平面AB1D.
【证明】(1)连接A1D，DG，BD.因为三棱柱ABC-A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱，所以四边形A1ABB1为正方形.所以A1B⊥AB1.因为点D是C1C的中点，所以△A1C1D≌△BCD.所以A1D=BD.
因为点G为A1B与AB1的交点，所以G为A1B的中点.所以A1B⊥DG.又因为DG∩AB1=G，所以A1B⊥平面AB1D.又因为AD⊂平面AB1D，所以A1B⊥AD.
(2)连接GE，所以EG∥A1A，所以GE⊥平面ABC.因为DC⊥平面ABC，所以GE∥DC.又因为GE=DC= a，所以四边形GECD为平行四边形.所以EC∥GD.又因为EC⊄平面AB1D，DG⊂平面AB1D，所以EC∥平面AB1D.
类型三：演绎推理在代数问题中的应用【典例3】(1)(2015·惠州高二检测)对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn.则在此定义下，集合M={(a，b)|a※b=12，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是( )A.10个 B.15个 C.16个 D.18个(2)已知函数f(x)=x2-aln x在区间[1，2]内是增函数，g(x)=x-a在区间(0，1]内是减函数，则a= .
【解题指南】(1)从定义出发，抓住a，b的奇偶性对12实行分拆是解决本题的关键，当a，b同奇偶时，根据m※n=m+n将12分拆为两个同奇偶数的和，当a，b一奇一偶时，根据m※n=mn将12分拆为一个奇数与一个偶数的积，再算其组数即可.(2)利用导数结合单调性求a.
【解析】(1)选B.若a，b同奇偶，有12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6，前面的每种可以交换位置，最后一种只有1个点(6，6)，这时有2×5+1=11.若a，b一奇一偶，有12=1×12=3×4，每种可以交换位置，这时有2×2=4；所以共有11+4=15个.
(2)f′(x)=2x- 依题意f′(x)≥0，x∈[1，2]，即a≤2x2，x∈[1，2].因为上式恒成立，所以a≤2.①又g′(x)= 依题意g′(x)≤0，x∈(0，1]，
即a≥2 ，x∈(0，1].因为上式恒成立，所以a≥2.②由①②得a=2.答案：2
【延伸探究】典例3(2)中，不改变条件，求证：当x>0时，方程f(x)-g(x)=x2-2x+3有唯一解.【证明】由题(2)可知a=2，所以f(x)=x2-2lnx，g(x)=x-2 ，所以方程f(x)-g(x)=x2-2x+3等价于x+2 -2lnx-3=0.
设h(x)=x+2 -2lnx-3，则h′(x)= 令h′(x)>0，并由x>0，得x+ -2>0，解得x>1.令h′(x)<0，并由x>0，得x+ -2<0，解得0
【规律总结】应用三段论解题的技巧及常见错误(1)技巧：应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的、严密的，才能得出正确的结论.(2)常见的解题错误：①条件理解错误(小前提错)；②定理引入和应用错误(大前提错)；③推理过程错误等.
【拓展延伸】代数中的演绎推理在演绎推理中，前提和结论之间存在着必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确的，结论必定是正确的，而一些代数运算或证明，都是在一些前提条件下进行的，因此在运算或证明的过程中都会用到演绎推理.
【巩固训练】已知a，b，c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c，当|x|≤1时，|f(x)|≤1，证明|c|≤1，并分析证明过程中的三段论.【证明】因为|x|≤1时，|f(x)|≤1.x=0满足|x|≤1，所以|f(0)|≤1，又f(0)=c，所以|c|≤1.
证明过程中的三段论分析如下：大前提是|x|≤1，|f(x)|≤1；小前提是|0|≤1；结论是|f(0)|≤1.
【补偿训练】已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an(n∈N+).(1)求证：数列{an+1-an}是等比数列.(2)求数列{an}的通项公式.(3)若数列{bn}满足4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn(n∈N+)，求证：{bn}是等差数列.
【解析】(1)因为an+2=3an+1-2an，所以an+2-an+1=2(an+1-an).所以 =2(n∈N+)，因为a1=1，a2=3，所以数列{an+1-an}是以a2-a1=2为首项，2为公比的等比数列.(2)由(1)得an+1-an=2n(n∈N+)，所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1(n∈N+).
(3)证明：因为4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn，且an=2n-1，所以4(b1+b2+…bn)-n=2nbn.所以2[(b1+b2+…+bn)-n]=nbn， ①2[(b1+b2+…+bn+bn+1)-(n+1)]=(n+1)bn+1. ②②-①得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nbn，即(n-1)bn+1-nbn+2=0， ③nbn+2-(n+1)bn+1+2=0. ④
④-③得nbn+2-2nbn+1+nbn=0，即bn+2-2bn+1+bn=0，所以bn+2-bn+1=bn+1-bn(n∈N+).所以{bn}为等差数列.
主题一：演绎推理的含义【自主认知】看下面两个推理，回答问题①一切奇数都不能被2整除，(22012+1)是奇数，所以(22012+1)不能被2整除；②两个平面平行其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面.
(1)这两个推理中的第一句都说的是什么？提示：都说的是一般原理.(2)这两个推理中第二句、第三句又说的是什么呢？提示：第二句都说的是特殊实例.而第三句说的是由一般原理对特殊实例做出的判断.
➡根据以上探究过程，试着写出演绎推理的定义及特点：1.定义：从_______的原理出发，推出某个___________的结论，我们把这种推理称为演绎推理(演绎推理又称_________).2.特点：由_____到_____的推理.
【合作探究】1.阅读下面的材料，探究下列问题：(1)自然数都是整数，因为3是自然数，所以3是整数.(2)一次函数是单调函数，因为y=2x-1是一次函数，所以y=2x-1是单调函数.以上两个推理是演绎推理吗？推理的结论正确吗？提示：是演绎推理，推理的结论都正确.
2.演绎推理有哪些特点？提示：①演绎推理的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴含于前提之中的个别特殊事实，结论完全蕴含于前提之中；②在演绎推理中，前提和结论存在着必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确的，那么结论也必然是正确的.
【过关小练】1.平行于同一直线的两直线平行，因为a∥b，b∥c，所以a∥c，这个推理称为( )A.合情推理B.归纳推理C.类比推理D.演绎推理【解析】选D.因为平行于同一直线的两直线平行，(一般性原理)因为a∥b，b∥c，(特殊情况)所以a∥c，(由一般性得特殊)所以这是一个三段论，属于演绎推理.
2.下面几种推理过程是演绎推理的是( )A.某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B.由三角形的性质，推测空间四面体的性质C.平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D.在数列{an}中，a1=1，an= 由此归纳出{an}的通项公式
【解析】选C.选项A，D是归纳推理；选项B是类比推理；选项C运用了“三段论”，是演绎推理.
主题二：演绎推理的一般模式【自主认知】1.“所有金属都导电，因为铁是金属，所以铁导电”，以上推理是演绎推理吗？其推理形式有何特点？提示：是演绎推理，此推理形式可分为三部分：第一句描述的是一般原理，第二句描述的是大前提里的特殊情况，第三句是根据一般原理对特殊情况做出的判断.
2.演绎推理的结论是否正确？是如何得出结论的？提示：推理的结论正确，演绎推理的结论是根据一般原理，对特殊情况做出的判断.
➡根据以上探究过程，试着完成演绎推理一般模式的相关内容1.演绎推理的一般模式：三段论.(1)大前提——已知的_________.(2)小前提——所研究的_________.(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的_____.
2.“三段论”的常用格式：(1)大前提：M是P.(2)小前提：S是__.(3)结论：S是P.3.从集合的角度看演绎推理：(1)大前提：x∈M且x具有性质P.(2)小前提：y∈S且S⊆M.(3)结论：y具有性质__.
【合作探究】1.如何分清“三段论”的大前提、小前提和结论？提示：在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况做出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义.例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有的一般意义.
2.合情推理和演绎推理有怎样的关系？提示：(1)联系：两个推理是相辅相成的，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路的发生，主要靠合情推理.(2)区别：合情推理的前提为真时，结论不一定为真；而演绎推理的前提为真时，结论必定为真.
【拓展延伸】“三段论”的论断基础(1)三段论法的论断基础是这样一个公理：凡肯定(或否定)了某一类对象的全部，也就肯定(或否定)了这一类对象的各部分或个体.简言之，全体概括个体.M，P，S三个概念之间的包含关系表现为：如果概念P包含了概念M，则必包含了M中的任一概念S(如图①)；如果概念P排斥概念M，则必排斥M中的任一概念S(如图②).
(2)只有弄清以上道理，才会使我们在今后的演绎推理中不犯(或少犯)错误.在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定也是正确的.如果大前提是错误的，所得的结论也是错误的.
【过关小练】1.已知△ABC中，A=30°，B=60°，求证：a
【归纳总结】1.对演绎推理的两点说明(1)演绎推理具有证明结论、整理和构建知识体系的作用，是公理体系中的基本推理方法.(2)演绎推理是由一般到特殊的推理.
2.对“三段论”的两点说明(1)三段论中的大前提提供了一个一般性原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般性原理与特殊情况的内在联系，从而得到了第三个命题——结论.(2)若集合M的所有元素都具有性质P，S是M中的一个子集，那么S中的元素也具有性质P；若M中的元素都不具有性质P，那S中的元素也不具有性质P.
类型一：把演绎推理写成三段论的形式【典例1】将下列推理写成“三段论”的形式：(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向.(2) 是有理数.(3)y=sin x(x∈R)是周期函数.
【解题指南】首先分析出每个推理的大前提、小前提及结论，再写成三段论的形式.【解析】(1)大前提：向量是既有大小又有方向的量.小前提：零向量是向量.结论：零向量也有大小和方向.
(2)大前提：所有的循环小数都是有理数.小前提： 是循环小数.结论： 是有理数.(3)大前提：三角函数是周期函数.小前提：y=sin x(x∈R)是三角函数.结论：y=sin x(x∈R)是周期函数.
【规律总结】用三段论写推理过程的技巧(1)关键：用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般原理与特殊情况的内在联系.(2)何时省略：有时可省略小前提，有时甚至也可将大前提、小前提都省略.(3)如何寻找：在寻找大前提时可找一个使结论成立的充分条件作大前提.
【巩固训练】(2015·洛阳高二检测)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A.大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B.大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数
C.大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D.大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数
【解析】选B.对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式.
【拓展延伸】判断演绎推理是否正确要四看(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理，只有由一般到特殊的推理才是演绎推理，这是最易出错的地方.(2)看大前提是否正确，大前提往往是定义、定理、性质等，注意其中有无前提条件.(3)看小前提是否正确，注意小前提必须在大前提范围之内.(4)看推理过程是否正确，即看由大前提，小前提得到的结论是否正确.
【补偿训练】指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：(1)整数是自然数，…大前提-3是整数，…小前提-3是自然数.…结论(2)常数函数的导函数为0，…大前提函数f(x)的导函数为0，…小前提f(x)为常数函数.…结论
(3)无理数是无限不循环小数，…大前提 (0.33333…)是无限不循环小数，…小前提 是无理数，…结论
【解析】(1)结论是错误的，原因是大前提错误.自然数是非负整数.(2)结论是错误的，原因是推理形式错误.大前提指出的一般原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”.(3)结论是错误的，原因是小前提错误. (0.33333…)是循环小数而不是无限不循环小数.
类型二：演绎推理在几何中的应用【典例2】证明：如果梯形的两腰和一底相等，那么它的对角线必平分另一底上的两个角.【解题指南】先将文字语言转化为几何语言，利用平行线的性质去寻求角的关系.
【证明】已知在梯形ABCD中(如图所示)，AB=DC=AD，AC和BD是它的对角线，求证：CA平分∠BCD，BD平分∠CBA.证明：①因为等腰三角形的两底角相等，…大前提△DAC是等腰三角形，DC=DA，…小前提所以∠1=∠2.…结论
②因为两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，…大前提∠1和∠3是平行线AD，BC被AC所截得的内错角，…小前提所以∠1=∠3.…结论③因为等于同一个量的两个量相等，…大前提∠2=∠1，∠3=∠1，…小前提所以∠2和∠3相等.…结论即CA平分∠BCD.④同理BD平分∠CBA.
【规律总结】几何证明中演绎推理应用的两个关注点(1)大前提的正确性：几何证明往往采用演绎推理，它往往不是经过一次推理就能完成的，常需要几次使用演绎推理，每一个推理都暗含着大、小前提，前一个推理的结论往往是下一个推理的前提，在使用时不仅要推理的形式正确，还要前提正确，才能得到正确的结论.
(2)大前提可省略：在几何证明问题中，每一步都包含着一般原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般原理应用于特殊情况，就能得出相应结论.提醒：在应用“三段论”进行推理的过程中，大前提、小前提或推理形式之一错误，都可能导致结论错误.
【巩固训练】如图，△ABC中，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD=∠A，DE∥BA.求证ED=AF，写出“三段论”形式的演绎推理.
【证明】因为同位角相等，两直线平行，…大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD=∠A，…小前提所以FD∥AE.…结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，…大前提DE∥BA，且FD∥AE，…小前提所以四边形AFDE为平行四边形.…结论
因为平行四边形的对边相等，…大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，…小前提所以ED=AF.…结论
【补偿训练】如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a，D，E分别为C1C与AB的中点，A1B交AB1于点G.(1)求证：A1B⊥AD.(2)求证：EC∥平面AB1D.
【证明】(1)连接A1D，DG，BD.因为三棱柱ABC-A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱，所以四边形A1ABB1为正方形.所以A1B⊥AB1.因为点D是C1C的中点，所以△A1C1D≌△BCD.所以A1D=BD.
因为点G为A1B与AB1的交点，所以G为A1B的中点.所以A1B⊥DG.又因为DG∩AB1=G，所以A1B⊥平面AB1D.又因为AD⊂平面AB1D，所以A1B⊥AD.
(2)连接GE，所以EG∥A1A，所以GE⊥平面ABC.因为DC⊥平面ABC，所以GE∥DC.又因为GE=DC= a，所以四边形GECD为平行四边形.所以EC∥GD.又因为EC⊄平面AB1D，DG⊂平面AB1D，所以EC∥平面AB1D.
类型三：演绎推理在代数问题中的应用【典例3】(1)(2015·惠州高二检测)对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn.则在此定义下，集合M={(a，b)|a※b=12，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是( )A.10个 B.15个 C.16个 D.18个(2)已知函数f(x)=x2-aln x在区间[1，2]内是增函数，g(x)=x-a在区间(0，1]内是减函数，则a= .
【解题指南】(1)从定义出发，抓住a，b的奇偶性对12实行分拆是解决本题的关键，当a，b同奇偶时，根据m※n=m+n将12分拆为两个同奇偶数的和，当a，b一奇一偶时，根据m※n=mn将12分拆为一个奇数与一个偶数的积，再算其组数即可.(2)利用导数结合单调性求a.
【解析】(1)选B.若a，b同奇偶，有12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6，前面的每种可以交换位置，最后一种只有1个点(6，6)，这时有2×5+1=11.若a，b一奇一偶，有12=1×12=3×4，每种可以交换位置，这时有2×2=4；所以共有11+4=15个.
(2)f′(x)=2x- 依题意f′(x)≥0，x∈[1，2]，即a≤2x2，x∈[1，2].因为上式恒成立，所以a≤2.①又g′(x)= 依题意g′(x)≤0，x∈(0，1]，
即a≥2 ，x∈(0，1].因为上式恒成立，所以a≥2.②由①②得a=2.答案：2
【延伸探究】典例3(2)中，不改变条件，求证：当x>0时，方程f(x)-g(x)=x2-2x+3有唯一解.【证明】由题(2)可知a=2，所以f(x)=x2-2lnx，g(x)=x-2 ，所以方程f(x)-g(x)=x2-2x+3等价于x+2 -2lnx-3=0.
设h(x)=x+2 -2lnx-3，则h′(x)= 令h′(x)>0，并由x>0，得x+ -2>0，解得x>1.令h′(x)<0，并由x>0，得x+ -2<0，解得0
【规律总结】应用三段论解题的技巧及常见错误(1)技巧：应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的、严密的，才能得出正确的结论.(2)常见的解题错误：①条件理解错误(小前提错)；②定理引入和应用错误(大前提错)；③推理过程错误等.
【拓展延伸】代数中的演绎推理在演绎推理中，前提和结论之间存在着必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确的，结论必定是正确的，而一些代数运算或证明，都是在一些前提条件下进行的，因此在运算或证明的过程中都会用到演绎推理.
【巩固训练】已知a，b，c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c，当|x|≤1时，|f(x)|≤1，证明|c|≤1，并分析证明过程中的三段论.【证明】因为|x|≤1时，|f(x)|≤1.x=0满足|x|≤1，所以|f(0)|≤1，又f(0)=c，所以|c|≤1.
证明过程中的三段论分析如下：大前提是|x|≤1，|f(x)|≤1；小前提是|0|≤1；结论是|f(0)|≤1.
【补偿训练】已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an(n∈N+).(1)求证：数列{an+1-an}是等比数列.(2)求数列{an}的通项公式.(3)若数列{bn}满足4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn(n∈N+)，求证：{bn}是等差数列.
【解析】(1)因为an+2=3an+1-2an，所以an+2-an+1=2(an+1-an).所以 =2(n∈N+)，因为a1=1，a2=3，所以数列{an+1-an}是以a2-a1=2为首项，2为公比的等比数列.(2)由(1)得an+1-an=2n(n∈N+)，所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1(n∈N+).
(3)证明：因为4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn，且an=2n-1，所以4(b1+b2+…bn)-n=2nbn.所以2[(b1+b2+…+bn)-n]=nbn， ①2[(b1+b2+…+bn+bn+1)-(n+1)]=(n+1)bn+1. ②②-①得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nbn，即(n-1)bn+1-nbn+2=0， ③nbn+2-(n+1)bn+1+2=0. ④
④-③得nbn+2-2nbn+1+nbn=0，即bn+2-2bn+1+bn=0，所以bn+2-bn+1=bn+1-bn(n∈N+).所以{bn}为等差数列.
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