还剩52页未读，
继续阅读
高中数学人教版新课标A选修1-22.1合情推理与演绎推理授课课件ppt
展开
这是一份高中数学人教版新课标A选修1-22.1合情推理与演绎推理授课课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了个别事实，另一类等内容，欢迎下载使用。
主题一：归纳推理【自主认知】1.在以前的数学学习中，我们知道三角形的内角和是180°，那么凸四边形的内角和是多少呢？凸五边形的内角和呢？提示：凸四边形的内角和是360°=2×180°，凸五边形的内角和是540°=3×180°.
2.你能归纳出凸n(n≥3，n∈Z)边形的内角和是多少吗？提示：凸n(n≥3，n∈Z)边形的内角和是(n-2)·180°.
3.阅读下面的材料，考虑这几则材料在预测结果时有什么共同的特点？(1)成语“一叶知秋”意思是从一片树叶的凋落，知道秋天将要来到.(2)谚语“瑞雪兆丰年”.(3)物理学中牛顿发现万有引力.(4)化学中的门捷列夫元素周期表.提示：它们都是由细微的迹象看出整体形势的变化，由个别推知一般.
➡根据以上探究过程，试着写出归纳推理的定义：(1)定义：由某类事物的_____对象具有某些特征，推出该类事物的_____对象都具有这些特征的推理，或者由_________概括出__________的推理，称为归纳推理(简称归纳).(2)简述：归纳推理是由_____到_____、由_____到_____的推理.
【合作探究】1.归纳推理的前提和结论是什么？提示：归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的判断，而结论是关于该类事物或现象的普遍性判断.2.你能概括出归纳推理解决问题的思维过程吗？提示：其思维过程为：试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论.
【过关小练】1.数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于( )A.28B.32C.33D.27【解析】选B.由以上各数可得每两个数之间依次差3，6，9，12，…，故x=20+12=32.
2.已知数列{an}中，a1=1，an+1= (n∈N*)，则可归纳猜想{an}的通项公式为 .【解析】由条件可知：由此可猜测an= 答案：an=
主题二：类比推理【自主认知】已知三角形的如下性质，据此回答下列问题①三角形的两边之和大于第三边；②三角形的面积等于高与底乘积的
(1)试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质.提示：①四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；②四面体的体积等于底面积与高乘积的 (2)以上两个推理有什么共同特点？提示：都是根据三角形的特征，类比四面体相关元素得出结论的.
➡根据以上探究过程，试着写出类比推理的定义：1.类比推理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中_____对象的某些已知特征，推出_______对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).(2)简述：类比推理是由_____到_____的推理.
2.合情推理(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、_____、_____、联想，再进行归纳、类比，然后提出_____的推理，我们把它们统称为合情推理.(2)推理的过程：
【合作探究】1.归纳推理与类比推理有没有共同点？提示：有.二者都是从具体事实出发，推断猜想新的结论.2.归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？提示：不一定.归纳推理的前提和结论之间的联系不是必然的，而是偶然性的，结论不一定正确；而类比推理的结果具有猜测性，也不一定可靠，因此也不一定正确.
【过关小练】1.已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S= ，可推知扇形面积公式S扇等于( )【解析】选C.底 弧长l，高 半径r，故选C.
2.正方形的面积为边长的平方，则在空间中，与之类比的结论是 .【解析】由平面中正方形的面积为边长的平方，则在空间中可类比得到正方体的体积为棱长的立方.答案：正方体的体积为棱长的立方
【归纳总结】1.归纳推理的特点(1)归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论，该结论超越了前提所包含的范围.(2)归纳出的结论具有猜测性质，是否属实，还需逻辑证明和实践检验，即结论不一定可靠.(3)归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题.
2.类比推理的特点(1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，以旧认识为基础，类比出新结果.(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠.(3)类比的结果是猜测性的，不一定正确.但它却具有发现的功能.
3.类比推理的适用前提(1)运用类比推理的前提是两类对象在某些性质上有相似性或一致性，关键是把这些相似性或一致性确切地表述出来，再由一类对象具有的特性去推断另一类对象也可能具有此类特性.(2)运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象.
类型一：归纳推理在数、式中的应用【典例1】(1)观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=( )A.28B.76C.123D.199(2)已知f(x)= ，设f1(x)=f(x)，fn(x)=fn-1(fn-1(x))(n>1，且n∈N*)，则f2(x)的表达式为 ，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为 .
【解题指南】(1)记an+bn=f(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论.(2)写出前几项发现规律，归纳猜想结果.
【解析】(1)选C.记an+bn=f(n)，则f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4；f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7；f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)=f(4)+f(5)=18；f(7)=f(5)+f(6)=29；f(8)=f(6)+f(7)=47；f(9)=f(7)+f(8)=76；f(10)=f(8)+f(9)=123.所以a10+b10=123.
(2)因为f(x)= ，所以f1(x)= 又因为fn(x)=fn-1(fn-1(x))，所以f2(x)=f1(f1(x))= f3(x)=f2(f2(x))=
f4(x)=f3(f3(x))= f5(x)=f4(f4(x)) = 所以根据前几项可以猜想fn(x)= 答案：
【延伸探究】本例(2)中，若把“fn(x)=fn-1(fn-1(x))”改为“fn(x)=f(fn-1(x))”，其他条件不变，其结论fn(x)的表达式如何呢？
【解析】因为f(x)= 所以f1(x)= 又因为fn(x)=f(fn-1(x))，所以f2(x)=f(f1(x))=
所以根据前几项可以猜想fn(x)=
【规律总结】数、式中归纳推理的一般规律(1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；③提炼出等式(或不等式)的综合特点；④运用归纳推理得出一般结论.
(2)数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和.①通过已知条件求出数列的前几项或前几项和；②根据数列中的前几项或前几项和与对应序号之间的关系求解；③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式.
【巩固训练】(2015·西安高二检测)已知数列{an}的前n项和为S，a1=3，满足Sn=6-2an+1(n∈N*).(1)求a2，a3，a4的值.(2)猜想an的表达式.
【解析】(1)因为a1=3，且Sn=6-2an+1(n∈N*)，所以S1=6-2a2=a1=3解得a2= 又S2=6-2a3=a1+a2=3+ 解得a3= 又S3=6-2a4=a1+a2+a3=3+ 所以有a4= (2)由(1)知 猜想an= (n∈N*).
【补偿训练】观察下列等式 1=1， 2+3+4=9， 3+4+5+6+7=25， 4+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第五个等式为 .
【解析】观察等式左侧：第一行有1个数是1，第二行是3个连续自然数的和，第一个数是2，第三行是5个连续自然数的和，第一个数是3，第四行是7个连续自然数的和，第一个数是4.照此规律，第5行应该是连续9个自然数的和，第一个数为5，所以第5行左侧：5+6+7+8+9+10+11+12+13；等式右侧：第一行1=12，第二行9=32，第三行25=52，第四行49=72，则第5行应为81=92.所以第五个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+13=81.答案：5+6+7+8+9+10+11+12+13=81
类型二：归纳推理在几何中的应用【典例2】(1)(2015·广元高二检测)下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )A.白色B.黑色C.白色可能性大D.黑色可能性大
(2)(2014·陕西高考)观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是 .
(3)如图，连接△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连接△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…，这一系列三角形趋向于一个点M，已知A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)，则点M的坐标是 .
【解题指南】(1)由珠子的排列分析可知其具有周期性.(2)本题是对欧拉公式的考查，观察图形准确数出各图形的顶点数、面数、棱数是解题的关键.(3)根据题意，由△ABC确定△A1B1C1，依次确定△A2B2C2，…，最终逼近△ABC三条中线的交点，从而可得结论.
【解析】(1)选A.由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5=7余1，所以第36颗珠子的颜色为白色.(2)因为5+6-9=2，6+6-10=2，6+8-12=2，所以F+V-E=2.答案：F+V-E=2
(3)由△A1B1C1的三个顶点分别在△ABC的三条中线上，△A2B2C2的三个顶点分别在△A1B1C1的三条中线上，△A3B3C3的三个顶点分别在△A2B2C2的三条中线上，…，由此类推，这一系列的三角形的顶点无限逼近△ABC的重心.故由已知可得，点M的坐标为 答案：
【规律总结】1.几何问题中推理的特点由一组平面或空间图形，归纳猜想其几何元素数量的变化规律，这类题颇有智力趣题的味道，需要仔细观察，从不同的角度探索规律.
2.利用归纳推理解决几何问题的两个策略(1)通项公式法：数清所给图形中研究对象的个数，列成数列，观察所得数列的前几项，探讨其变化规律，归纳猜想通项公式.(2)递推公式法：探究后一个图形与前一个图形中研究对象的个数之间的关系，把各图形中研究对象的个数看成数列，列出递推公式，再求通项公式.
【巩固训练】(1)(2015·太原高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：根据上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A.6n-2B.8n-2C.6n+2D.8n+2
(2)(2015·青岛高二检测)某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来 的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图.
①n级分形图中共有 条线段；②n级分形图中所有线段长度之和为 .
【解析】(1)选C.由图形的变化规律可以看出，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，第一个图形为8根，可以写成a1=8=6+2，又a2=14=6×2+2，a3=20=6×3+2，…，所以可以猜测，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n+2.(2)①分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3=(3×2-3)条线段，二级分形图有9=(3×22-3)条线段，三级分形图中有21=(3×23-3)条线段，按此规律n级分形图中的线段条数为3×2n-3(n∈N*).
②分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来 的线段，所以n级分形图中第n级的所有线段的长度为bn=3× (n∈N*)，所以n级分形图中所有线段长度之和为Sn=答案：①3×2n-3 ②9-9×
【补偿训练】设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)= ；当n≥3时，f(n)= (用n表示).
【解析】如图，可得f(4)=5，因为f(3)=2，f(4)=5=f(3)+3，f(5)=9=f(4)+4，f(6)=14=f(5)+5，…，f(n)=f(n-1)+n-1，所以每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数.累加得f(n)=2+3+4+…+…+(n-1)=答案：5
类型三：类比推理的应用【典例3】如图所示，在平面上，设ha，hb，hc分别是△ABC三条边上的高，P为△ABC内任意一点，P到相应三边的距离分别为pa，pb，pc，可以得到结论 =1.证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论.
【解题指南】三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高.【解析】 同理， 因为S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC，所以
类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD中，设ha，hb，hc，hd分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P为该四面体内任意一点，P到相应四个面的距离分别为pa，pb，pc，pd，可以得到结论
【延伸探究】1.(改变问法)对上述类比得出的结论加以证明.【证明】 同理， 因为VP-BCD+VP-ACD+VP-ABD+VP-ABC=VA-BCD，所以
2.(变换条件)在本例中，若△ABC的边长分别为a，b，c，其对角分别为A，B，C，那么由a=b·cs C+c·cs B可类比四面体的什么性质？【解析】在如图所示的四面体中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小.猜想S=S1·csα+S2·csβ+S3·csγ.
【规律总结】1.类比推理的基本思路根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论.
2.平面图形与空间图形类比如下：
【拓展延伸】类比推理的基本逻辑形式及适用前提(1)类比推理的基本逻辑形式A类事物具有性质a，b，c，dB类事物具有性质a′，b′，c′，所以B类事物可能具有性质d′.(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)
(2)类比推理的适用前提①两类对象在某些性质上有相似性或一致性，关键是把这些相似性或一致性确切地表述出来，再由一类对象具有的特性去推断另一类对象也可能具有的特性.②运用类比推理常常先寻找合适的类比对象.
【巩固训练】1.在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有 也成等比数列，且公比为4100，类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和，可类比得到的结论为： .
【解析】因为等差数列{an}的公差d=3，所以(S30-S20)-(S20-S10)=(a21+a22+…+a30)-(a11+a12+…+a20)= =100d=300，同理可得：(S40-S30)-(S30-S20)=300，所以数列S20-S10，S30-S20，S40-S30也是等差数列，且公差为300.答案：数列S20-S10，S30-S20，S40-S30也是等差数列，且公差为300
2.在△ABC中，D为BC的中点，则 将命题类比到四面体中去，得到一个命题为： .【解析】平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心，顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线.答案：在四面体A-BCD中，G是△BCD的重心，则
【补偿训练】已知椭圆具有以下性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线 写出具有类似的性质，并加以证明.
【解析】类似的性质为：若M，N是双曲线 上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.证明如下：设点M，P的坐标为(m，n)，(x，y)，则N(-m，-n).因为点M(m，n)在已知双曲线上，所以n2= m2-b2.同理y2= x2-b2.则kPM·kPN= (定值).
主题一：归纳推理【自主认知】1.在以前的数学学习中，我们知道三角形的内角和是180°，那么凸四边形的内角和是多少呢？凸五边形的内角和呢？提示：凸四边形的内角和是360°=2×180°，凸五边形的内角和是540°=3×180°.
2.你能归纳出凸n(n≥3，n∈Z)边形的内角和是多少吗？提示：凸n(n≥3，n∈Z)边形的内角和是(n-2)·180°.
3.阅读下面的材料，考虑这几则材料在预测结果时有什么共同的特点？(1)成语“一叶知秋”意思是从一片树叶的凋落，知道秋天将要来到.(2)谚语“瑞雪兆丰年”.(3)物理学中牛顿发现万有引力.(4)化学中的门捷列夫元素周期表.提示：它们都是由细微的迹象看出整体形势的变化，由个别推知一般.
➡根据以上探究过程，试着写出归纳推理的定义：(1)定义：由某类事物的_____对象具有某些特征，推出该类事物的_____对象都具有这些特征的推理，或者由_________概括出__________的推理，称为归纳推理(简称归纳).(2)简述：归纳推理是由_____到_____、由_____到_____的推理.
【合作探究】1.归纳推理的前提和结论是什么？提示：归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的判断，而结论是关于该类事物或现象的普遍性判断.2.你能概括出归纳推理解决问题的思维过程吗？提示：其思维过程为：试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论.
【过关小练】1.数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于( )A.28B.32C.33D.27【解析】选B.由以上各数可得每两个数之间依次差3，6，9，12，…，故x=20+12=32.
2.已知数列{an}中，a1=1，an+1= (n∈N*)，则可归纳猜想{an}的通项公式为 .【解析】由条件可知：由此可猜测an= 答案：an=
主题二：类比推理【自主认知】已知三角形的如下性质，据此回答下列问题①三角形的两边之和大于第三边；②三角形的面积等于高与底乘积的
(1)试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质.提示：①四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；②四面体的体积等于底面积与高乘积的 (2)以上两个推理有什么共同特点？提示：都是根据三角形的特征，类比四面体相关元素得出结论的.
➡根据以上探究过程，试着写出类比推理的定义：1.类比推理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中_____对象的某些已知特征，推出_______对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).(2)简述：类比推理是由_____到_____的推理.
2.合情推理(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、_____、_____、联想，再进行归纳、类比，然后提出_____的推理，我们把它们统称为合情推理.(2)推理的过程：
【合作探究】1.归纳推理与类比推理有没有共同点？提示：有.二者都是从具体事实出发，推断猜想新的结论.2.归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？提示：不一定.归纳推理的前提和结论之间的联系不是必然的，而是偶然性的，结论不一定正确；而类比推理的结果具有猜测性，也不一定可靠，因此也不一定正确.
【过关小练】1.已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S= ，可推知扇形面积公式S扇等于( )【解析】选C.底 弧长l，高 半径r，故选C.
2.正方形的面积为边长的平方，则在空间中，与之类比的结论是 .【解析】由平面中正方形的面积为边长的平方，则在空间中可类比得到正方体的体积为棱长的立方.答案：正方体的体积为棱长的立方
【归纳总结】1.归纳推理的特点(1)归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论，该结论超越了前提所包含的范围.(2)归纳出的结论具有猜测性质，是否属实，还需逻辑证明和实践检验，即结论不一定可靠.(3)归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题.
2.类比推理的特点(1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，以旧认识为基础，类比出新结果.(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠.(3)类比的结果是猜测性的，不一定正确.但它却具有发现的功能.
3.类比推理的适用前提(1)运用类比推理的前提是两类对象在某些性质上有相似性或一致性，关键是把这些相似性或一致性确切地表述出来，再由一类对象具有的特性去推断另一类对象也可能具有此类特性.(2)运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象.
类型一：归纳推理在数、式中的应用【典例1】(1)观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=( )A.28B.76C.123D.199(2)已知f(x)= ，设f1(x)=f(x)，fn(x)=fn-1(fn-1(x))(n>1，且n∈N*)，则f2(x)的表达式为 ，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为 .
【解题指南】(1)记an+bn=f(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论.(2)写出前几项发现规律，归纳猜想结果.
【解析】(1)选C.记an+bn=f(n)，则f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4；f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7；f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)=f(4)+f(5)=18；f(7)=f(5)+f(6)=29；f(8)=f(6)+f(7)=47；f(9)=f(7)+f(8)=76；f(10)=f(8)+f(9)=123.所以a10+b10=123.
(2)因为f(x)= ，所以f1(x)= 又因为fn(x)=fn-1(fn-1(x))，所以f2(x)=f1(f1(x))= f3(x)=f2(f2(x))=
f4(x)=f3(f3(x))= f5(x)=f4(f4(x)) = 所以根据前几项可以猜想fn(x)= 答案：
【延伸探究】本例(2)中，若把“fn(x)=fn-1(fn-1(x))”改为“fn(x)=f(fn-1(x))”，其他条件不变，其结论fn(x)的表达式如何呢？
【解析】因为f(x)= 所以f1(x)= 又因为fn(x)=f(fn-1(x))，所以f2(x)=f(f1(x))=
所以根据前几项可以猜想fn(x)=
【规律总结】数、式中归纳推理的一般规律(1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；③提炼出等式(或不等式)的综合特点；④运用归纳推理得出一般结论.
(2)数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和.①通过已知条件求出数列的前几项或前几项和；②根据数列中的前几项或前几项和与对应序号之间的关系求解；③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式.
【巩固训练】(2015·西安高二检测)已知数列{an}的前n项和为S，a1=3，满足Sn=6-2an+1(n∈N*).(1)求a2，a3，a4的值.(2)猜想an的表达式.
【解析】(1)因为a1=3，且Sn=6-2an+1(n∈N*)，所以S1=6-2a2=a1=3解得a2= 又S2=6-2a3=a1+a2=3+ 解得a3= 又S3=6-2a4=a1+a2+a3=3+ 所以有a4= (2)由(1)知 猜想an= (n∈N*).
【补偿训练】观察下列等式 1=1， 2+3+4=9， 3+4+5+6+7=25， 4+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第五个等式为 .
【解析】观察等式左侧：第一行有1个数是1，第二行是3个连续自然数的和，第一个数是2，第三行是5个连续自然数的和，第一个数是3，第四行是7个连续自然数的和，第一个数是4.照此规律，第5行应该是连续9个自然数的和，第一个数为5，所以第5行左侧：5+6+7+8+9+10+11+12+13；等式右侧：第一行1=12，第二行9=32，第三行25=52，第四行49=72，则第5行应为81=92.所以第五个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+13=81.答案：5+6+7+8+9+10+11+12+13=81
类型二：归纳推理在几何中的应用【典例2】(1)(2015·广元高二检测)下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )A.白色B.黑色C.白色可能性大D.黑色可能性大
(2)(2014·陕西高考)观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是 .
(3)如图，连接△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连接△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…，这一系列三角形趋向于一个点M，已知A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)，则点M的坐标是 .
【解题指南】(1)由珠子的排列分析可知其具有周期性.(2)本题是对欧拉公式的考查，观察图形准确数出各图形的顶点数、面数、棱数是解题的关键.(3)根据题意，由△ABC确定△A1B1C1，依次确定△A2B2C2，…，最终逼近△ABC三条中线的交点，从而可得结论.
【解析】(1)选A.由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5=7余1，所以第36颗珠子的颜色为白色.(2)因为5+6-9=2，6+6-10=2，6+8-12=2，所以F+V-E=2.答案：F+V-E=2
(3)由△A1B1C1的三个顶点分别在△ABC的三条中线上，△A2B2C2的三个顶点分别在△A1B1C1的三条中线上，△A3B3C3的三个顶点分别在△A2B2C2的三条中线上，…，由此类推，这一系列的三角形的顶点无限逼近△ABC的重心.故由已知可得，点M的坐标为 答案：
【规律总结】1.几何问题中推理的特点由一组平面或空间图形，归纳猜想其几何元素数量的变化规律，这类题颇有智力趣题的味道，需要仔细观察，从不同的角度探索规律.
2.利用归纳推理解决几何问题的两个策略(1)通项公式法：数清所给图形中研究对象的个数，列成数列，观察所得数列的前几项，探讨其变化规律，归纳猜想通项公式.(2)递推公式法：探究后一个图形与前一个图形中研究对象的个数之间的关系，把各图形中研究对象的个数看成数列，列出递推公式，再求通项公式.
【巩固训练】(1)(2015·太原高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：根据上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A.6n-2B.8n-2C.6n+2D.8n+2
(2)(2015·青岛高二检测)某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来 的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图.
①n级分形图中共有 条线段；②n级分形图中所有线段长度之和为 .
【解析】(1)选C.由图形的变化规律可以看出，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，第一个图形为8根，可以写成a1=8=6+2，又a2=14=6×2+2，a3=20=6×3+2，…，所以可以猜测，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n+2.(2)①分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3=(3×2-3)条线段，二级分形图有9=(3×22-3)条线段，三级分形图中有21=(3×23-3)条线段，按此规律n级分形图中的线段条数为3×2n-3(n∈N*).
②分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来 的线段，所以n级分形图中第n级的所有线段的长度为bn=3× (n∈N*)，所以n级分形图中所有线段长度之和为Sn=答案：①3×2n-3 ②9-9×
【补偿训练】设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)= ；当n≥3时，f(n)= (用n表示).
【解析】如图，可得f(4)=5，因为f(3)=2，f(4)=5=f(3)+3，f(5)=9=f(4)+4，f(6)=14=f(5)+5，…，f(n)=f(n-1)+n-1，所以每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数.累加得f(n)=2+3+4+…+…+(n-1)=答案：5
类型三：类比推理的应用【典例3】如图所示，在平面上，设ha，hb，hc分别是△ABC三条边上的高，P为△ABC内任意一点，P到相应三边的距离分别为pa，pb，pc，可以得到结论 =1.证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论.
【解题指南】三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高.【解析】 同理， 因为S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC，所以
类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD中，设ha，hb，hc，hd分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P为该四面体内任意一点，P到相应四个面的距离分别为pa，pb，pc，pd，可以得到结论
【延伸探究】1.(改变问法)对上述类比得出的结论加以证明.【证明】 同理， 因为VP-BCD+VP-ACD+VP-ABD+VP-ABC=VA-BCD，所以
2.(变换条件)在本例中，若△ABC的边长分别为a，b，c，其对角分别为A，B，C，那么由a=b·cs C+c·cs B可类比四面体的什么性质？【解析】在如图所示的四面体中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小.猜想S=S1·csα+S2·csβ+S3·csγ.
【规律总结】1.类比推理的基本思路根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论.
2.平面图形与空间图形类比如下：
【拓展延伸】类比推理的基本逻辑形式及适用前提(1)类比推理的基本逻辑形式A类事物具有性质a，b，c，dB类事物具有性质a′，b′，c′，所以B类事物可能具有性质d′.(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)
(2)类比推理的适用前提①两类对象在某些性质上有相似性或一致性，关键是把这些相似性或一致性确切地表述出来，再由一类对象具有的特性去推断另一类对象也可能具有的特性.②运用类比推理常常先寻找合适的类比对象.
【巩固训练】1.在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有 也成等比数列，且公比为4100，类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和，可类比得到的结论为： .
【解析】因为等差数列{an}的公差d=3，所以(S30-S20)-(S20-S10)=(a21+a22+…+a30)-(a11+a12+…+a20)= =100d=300，同理可得：(S40-S30)-(S30-S20)=300，所以数列S20-S10，S30-S20，S40-S30也是等差数列，且公差为300.答案：数列S20-S10，S30-S20，S40-S30也是等差数列，且公差为300
2.在△ABC中，D为BC的中点，则 将命题类比到四面体中去，得到一个命题为： .【解析】平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心，顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线.答案：在四面体A-BCD中，G是△BCD的重心，则
【补偿训练】已知椭圆具有以下性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线 写出具有类似的性质，并加以证明.
【解析】类似的性质为：若M，N是双曲线 上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.证明如下：设点M，P的坐标为(m，n)，(x，y)，则N(-m，-n).因为点M(m，n)在已知双曲线上，所以n2= m2-b2.同理y2= x2-b2.则kPM·kPN= (定值).
相关课件
高中数学人教版新课标A选修1-24.2结构图备课ppt课件： 这是一份高中数学人教版新课标A选修1-24.2结构图备课ppt课件，共47页。PPT课件主要包含了系统结构，若干要素，逻辑的先后，常见结构图，解析如图所示等内容，欢迎下载使用。
数学选修1-2第二章 推理与证明2.2直接证明与间接证明课堂教学ppt课件： 这是一份数学选修1-2第二章 推理与证明2.2直接证明与间接证明课堂教学ppt课件，共41页。PPT课件主要包含了不成立，原命题，解题指南等内容，欢迎下载使用。
人教版新课标A选修1-22.2直接证明与间接证明授课课件ppt： 这是一份人教版新课标A选修1-22.2直接证明与间接证明授课课件ppt，共46页。PPT课件主要包含了充分条件，明显成立等内容，欢迎下载使用。
