2018版高考数学（人教a版理科）一轮复习真题演练集训：第五章　平面向量 5-1 word版含答案

 www.ks5u.com 真题演练集训

1．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)

A.＝－＋ 

B.＝－

C.＝＋ 

D.＝－

答案：A

解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋.故选A.

2．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案：A　解析：＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝，故选A.

3．已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．

答案：90°

解析：∵＝(＋)，

∴点O是△ABC边BC的中点，

∴BC为直径，根据圆的几何性质有〈，〉＝90°.

课外拓展阅读

专题一　平面向量与三角形问题的综合

　已知P是△ABC内一点，且＝＋，△PBC的面积是2 015，则△PAB的面积是________．

　△PBC，△PAB分别与△ABC共底边于BC，AB，由平面几何知识，将每组共底边的三角形面积之比转化为共底边上的对应高的比，即可得出面积关系，进而计算出△PAB的面积．

　设S△ABC＝S，S△PBC＝S1＝2 015，S△PAB＝S2.

解法一：(恰当切入，从“三点共线”突破)如图所示，

延长AP交BC于D，由平面几何知识，得＝.

由A，P，D三点共线，可得

＝μ＝μ＋μ(μ∈R)．①

由B，D，C三点共线，可得

＝λ＋(1－λ)(λ∈R)．②

联立①和②，有解得

则＝μ＝，＝－＝，

那么＝，

于是S＝S1.

同理，延长CP交AB于E，计算可得＝，

所以S2＝S.

于是S2＝S＝×S1＝S1＝×2 015＝2 821.

解法二：(巧妙构造，引出向量“投影”取胜)如图所示，

构造一个单位向量e(其中e⊥)，那么，在单位向量e方向上的投影长度|e·|与|e·|分别是△PBC，△ABC的公共底边上的高，

则S＝||·|e·|

＝|||e||||cos〈e，〉|

＝||·||sin∠ABC；

因为＝＋＝＋＋

＝＋＋(＋)

＝＋，

所以S1＝||

＝||

＝||

＝|||cos〈e，〉|

＝

＝S.

设i为与向量垂直的单位向量，同理，可以推出S2＝S.

于是S2＝S＝×S1＝S1＝×2 015＝2 821.

解法三：(划归转化，牵手三角形“重心”巧解)

由＝＋，

可得5＋6＋7＝0.

令＝5，＝6，＝7，

连接A′B′，B′C′，C′A′，如图所示，

于是＋＋＝0.

即P是△A′B′C′的重心，

S△PA′B′＝S△PB′C′，根据已知条件，得

S1＝||||sin∠BPC

＝sin∠BPC

＝

＝S△PB′C′，

所以S△PB′C′＝42S1，

同理可得S△PA′B′＝30S2.

于是S2＝S1＝2 821.故填2 821.

　2 821

温馨提示

在寻找三个三角形面积之间的关系时，可以从多方面思考：

①可以从“三点共线”突破，运用三点共线向量式求解，思维起点低，思路直接，如解法一；

②可以从向量“投影”得出关系，构造出一个中介性辅助元素单位向量e，i，如解法二；

③可以转化条件形式，将＝＋转化成5＋6＋7＝0，利用三角形“重心”性质引出巧解，如解法三．

专题二　用几何法求解向量填空题

利用向量加法的几何意义或向量减法的几何意义，可以将一些向量问题转化为几何问题，利用数形结合的方法，快速得到答案，避免繁琐的运算和由于运算而产生的错误．

　已知a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角是________．

　令＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，

则OC＝a＋b，BA＝a－b，又|a|＝|b|＝|a－b|，

所以△OAB是正三角形，由向量加法的几何意义，

可知OC是∠AOB的平分线，所以a与a＋b的夹角是.

　已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是________．

①a∥b；②a⊥b；③|a|＝|b|；④a＋b＝a－b.

　根据向量加法、减法的几何意义可知，|a＋b|与|a－b|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a＋b|＝|a－b|.所以该平行四边形为矩形，所以a⊥b.

　②