2018版高考数学（人教a版理科）一轮复习真题演练集训：第五章　平面向量 5-3 word版含答案

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1．已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)

A．30°   B．45° 

C．60°   D．120°

答案：A

解析：由两向量的夹角公式，可得

cos∠ABC＝＝＝，则∠ABC＝30°.

2．设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：D

解析：取a＝－b≠0，则|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|＝0.|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|a－b|，故由|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|.

由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|.

故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．故选D.

3．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)

A.   B. 

C.   D．π

答案：A

解析：由(a－b)⊥(3a＋2b)，得

(a－b)·(3a＋2b)＝0，

即3a2－a·b－2b2＝0.

又∵ |a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，

即3|a|2－|a||b|cos θ－2|b|2＝0，

∴ |b|2－|b|2·cos θ－2|b|2＝0.

∴ cos θ＝.

又∵ 0≤θ≤π，∴ θ＝.

4．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)

A．1   B．2 

C．3   D．5

答案：A

解析：由条件可得，(a＋b)2 ＝10，(a－b)2 ＝6，两式相减得4a·b＝4，所以a·b＝1.

5．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·

的值为(　　)

A．－   B. 

C.   D.

答案：B

解析：如图，设＝m，＝n.

根据已知得，＝m，

所以＝＋＝m＋n，＝m－n，

·＝·(m－n)

＝m2－n2－m·n＝－－＝.

 6.已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤ ，则a·b的最大值是________．

答案：

解析：由题意，令e＝(1,0)，a＝(cos α，sin α)，b＝(2cos β，2sin β)，则由|a·e|＋|b·e|≤，可得

|cos α|＋2|cos β|≤.①

令sin α ＋2sin β＝m.②

①2 ＋②2，得4≤1＋m2对一切实数α，β恒成立，

所以4≤1.

故a·b＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2≤.

课外拓展阅读

以向量为背景的创新题

　(1)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α·β＝，若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈，且a·b和b·a都在集合中，则a·b等于(　　)

A.   B. 

C．1   D.

　D　

　先根据定义表示a·b和b·a，利用其属于集合，将其表示成集合中元素的形式，两式相乘即可表示出cos θ，然后利用θ∈确定cos θ的取值范围，结合集合中n∈Z的限制条件即可确定n的值，从而求出a·b的值．

　根据新定义，得

a·b＝＝＝cos θ，

b·a＝＝＝cos θ.

又因为a·b和b·a都在集合中，

设a·b＝，b·a＝(n1，n2∈Z)，

那么(a·b)·(b·a)＝cos2θ＝，

又θ∈，故cos2θ∈，

所以0<n1n2<2.

所以n1，n2的值均为1.

故a·b＝＝.

(2)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积a⊗b＝(a1b1，a2b2)．已知向量m＝，n＝，点P(x，y)在y＝sin x的图象上运动，Q是函数y＝f(x)图象上的点，且满足＝m⊗＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域是________．

　根据定义先写出m⊗，进而求出，确定函数y＝f(x)的解析式．

　设Q(c，d)，由新的运算可得

＝m⊗＋n＝＋

＝，

由消去x，得

d＝sin，

所以y＝f(x)＝sin，

易知y＝f(x)的值域是.

方法点睛

解答创新型问题时，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，将问题转化为我们熟悉的定义运算，然后确定解题策略，根据题目条件进行求解．