2018版高考数学（人教a版理科）一轮复习真题演练集训：第四章　三角函数与解三角形 4-7 word版含答案

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1．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1 ，BC＝，则AC＝(　　)

A．5   B. 

C．2   D．1

答案：B

解析：由题意可得AB·BC·sin B＝，

又AB＝1 ，BC＝，所以sin B＝，

所以B＝45°或B＝135°.

当B＝45°时，由余弦定理可得

AC＝＝1，

此时AC＝AB＝1，BC＝，易得A＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B＝135°.

由余弦定理可得

AC＝＝.

2．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．

答案：

解析：∵＝＝＝2R，a＝2，又(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C可化为(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.

∴＝＝＝cos A，∴A＝60°.

∵△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos 60°＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(当且仅当b＝c时等号成立)，

∴S△ABC＝·bc·sin A≤×4×＝.

3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.

答案：

解析：解法一：因为cos A＝，cos C＝，

所以sin A＝，sin C＝，

从而sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C

＝×＋×＝.

由正弦定理＝，得b＝＝.

解法二：因为cos A＝，cos C＝，

所以sin A＝，sin C＝，

从而cos B＝－cos(A＋C)＝－cos Acos C＋sin Asin C＝－×＋×＝.

由正弦定理＝，得c＝＝.

由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得b＝.

解法三：因为cos A＝，cos C＝，所以sin A＝，sin C＝，

由正弦定理＝，得c＝＝.

从而b＝acos C＋ccos A＝.

解法四：如图，作BD⊥AC于点D，

由cos C＝，a＝BC＝1，知CD＝，BD＝.

又cos A＝，所以tan A＝，从而AD＝.

故b＝AD＋DC＝.

4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.

(1)求C；

(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

解：(1)由已知及正弦定理，得

2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，

2cos Csin(A＋B)＝sin C，

故2sin Ccos C＝sin C，C∈(0，π)．

可得cos C＝，所以C＝.

(2)由已知，absin C＝.

又C＝，所以ab＝6.

由已知及余弦定理，得a2＋b2－2abcos C ＝7，

故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.

所以△ABC的周长为5＋.

课外拓展阅读

转化与化归思想在解三角形中的应用

　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.

(1)求C；

(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

　(1)利用正弦定理进行边角互化求解；(2)利用三角形的面积公式得出ab，再结合余弦定理联立方程求出a＋b，进而求得△ABC的面积．

　(1)由已知及正弦定理得，

①

2cos Csin(A＋B)＝sin C．故2sin Ccos C＝sin C.

可得cos C＝，所以C＝.

(2)由已知，得absin C＝.

又C＝，所以ab＝6.

由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcos C＝7.

故②

所以△ABC的周长为5＋.

满分心得

1．(1)题中①处不能利用正弦定理将边化为角，使已知条件中的式子转化为同类．

(2)题中②处不能结合余弦定理将(a＋b)视为整体进行求解而走入误区．

2．转化与化归思想在解三角形中的应用主要体现在边角之间利用正、余弦定理统一的转化化简上，使关系式中的量达到统一性．