2018版高考数学（人教a版理科）一轮复习真题演练集训：第九章　解析几何 9-5 word版含答案

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1．已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案：A

解析：设E(0，m)，则直线AE的方程为－＋＝1，由题意可知，M，和B(a,0)三点共线，则＝，化简得a＝3c，则C的离心率e＝＝.

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．

答案：

解析：由题意可得B，C，F(c,0)，则由∠BFC＝90°得·＝·＝c2－a2＋b2＝0，化简得c＝a，则离心率e＝＝＝.

3．设椭圆＋＝1(a＞)的右焦点为F，右顶点为A.已知＋＝，其中O为原点，e为椭圆的离心率．

(1)求椭圆的方程；

(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．

解：(1)设F(c,0)，由＋＝，即＋＝，可得a2－c2＝3c2，

又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.

所以，椭圆的方程为＋＝1.

(2)设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝k(x－2)．设B(xB，yB)，

由方程组消去y，整理得

(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0.

解得x＝2或x＝，

由题意得xB＝，从而yB＝.

由(1)知，F(1,0)，设H(0，yH)，有＝(－1，yH)，＝.由BF⊥HF，得·＝0，所以＋＝0，解得yH＝.因此直线MH的方程为y＝－x＋.

设M(xM，yM)，由方程组消去y，解得xM＝.

在△MAO中，∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤|MO|，

即(xM－2)2＋y≤x＋y，化简得xM≥1，

即≥1，解得k≤－或k≥.

所以，直线l的斜率的取值范围为

∪.

4．已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．

(1)求E的方程；

(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

解：(1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.

又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.

故E的方程为＋y2＝1.

(2)当l⊥x轴时不合题意，

故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

将y＝kx－2代入＋y2＝1得

(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.

当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，x1,2＝.

从而|PQ|＝|x1－x2|＝.

又点O到直线PQ的距离d＝，

所以△OPQ的面积S△OPQ＝d|PQ|＝.

设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.

因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0，

所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.

课外拓展阅读

利用转化与化归思想求圆锥曲线离心率的取值(范围)

　(1)如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1，上顶点为B2，右顶点为A2，过点A2作x轴的垂线交直线F1B2于点P，若|PA2|＝3b，则椭圆C的离心率为________．

(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为________．

　求椭圆的离心率利用方程思想，只需利用题目条件得到a，b，c的一个关系式即可，若得到的关系式含b，可利用a2＝b2＋c2转化为只含a，c的关系式．

　(1)由题设知，＝＝＝＝，则e＝.

(2)依题意及正弦定理，得

＝(注意到P不与F1F2共线)，

即＝，

∴－1＝，

∴＝＋1>，

即e＋1>，∴(e＋1)2>2.

又0<e<1，因此 －1<e<1.

　(1)　(2)(－1,1)

方法点睛

离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围．无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．