2018版高考数学（人教a版理科）一轮复习真题演练集训：第五章　平面向量 5-4 word版含答案

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1．在平面内，定点A，B，C，D满足||＝||＝||，·＝·＝·＝－2，动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案：B

解析：由||＝||＝||知，D为△ABC的外心．

由·＝·＝·知，D为△ABC的内心，所以△ABC为正三角形，易知其边长为2.取AC的中点E，因为M是PC的中点，所以EM＝AP＝，所以||max＝|BE|＋＝，则||＝，故选B.

2．已知⊥，||＝，||＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于(　　)

A．13   B．15 

C．19   D．21

答案：A

解析：∵ ⊥，故以A为原点，AB，AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．不妨设B，C(t,0)，则＝＋＝(4,1)，

故点P的坐标为(4,1)．

·＝·(t－4，－1)＝－4t－＋17

＝－＋17≤－2＋17＝13.

当且仅当4t＝，即t＝时(负值舍去)取得最大值13.

3．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．

答案：

解析：在等腰梯形ABCD中，由AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，可得AD＝DC＝1.

建立平面直角坐标系如图所示，

则A(0,0)，B(2,0)，C，D，

＝－(2,0)＝，

＝－＝(1,0)．

∵ ＝λ＝，

∴ E.

∵ ＝＝，∴ F.

∴ ·＝·

＝＋λ＝＋＋λ

≥＋2＝，

当且仅当＝λ，即λ＝时等号成立，符合题意．∴ ·的最小值为.

4．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是________．

答案：

解析：解法一：以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，

设B(－a,0)，C(a,0)，A(b，c)，

则E，F，＝(b＋a，c)，

＝(b－a，c)，＝，

＝，＝，

＝，

由·＝b2－a2＋c2＝4，

·＝－a2＋＝－1，

解得b2＋c2＝，a2＝，

则·＝(b2＋c2)－a2＝.

解法二：设＝a，＝b，则·＝(a＋3b)·(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4，·＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2＝－1，解得|a|2＝，|b|2＝， 则·＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝4|b|2－|a|2＝.

课外拓展阅读

巧解平面向量高考题的5种方法

向量是既有大小又有方向的量，具有几何和代数形式的“双重性”，常作为工具来解决其他知识模块的问题．在历年高考中都会对该部分内容进行考查，解决这些问题多可利用平面向量的有关知识进行解决．基于平面向量的双重性，一般可以从两个角度进行思考：一是利用其“形”的特征，将其转化为平面几何的有关知识进行解决；二是利用其“数”的特征，通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决．下面对辽宁省的一道高考试题采用5种不同的求解方法进行解答．

　若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为(　　)

A.－1   B．1

C.   D．2

解法一：目标不等式法

　因为|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝0，

所以|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2，

故|a＋b|＝.

展开(a－c)·(b－c)≤0，得

a·b－(a＋b)·c＋c2≤0，

即0－(a＋b)·c＋1≤0，

整理，得(a＋b)·c≥1.

而|a＋b－c|2＝(a＋b)2－2(a＋b)·c＋c2＝3－2(a＋b)·c，

所以3－2(a＋b)·c≤3－2×1＝1.

所以|a＋b－c|2≤1，即|a＋b－c|≤1.

　B

解法二：向量基底法

　取向量a，b作为平面向量的一组基底，设c＝ma＋nb.

由|c|＝1，即|ma＋nb|＝1，

可得(ma)2＋(nb)2＋2mna·b＝1，

由题意知，|a|＝|b|＝1，a·b＝0.

整理，得m2＋n2＝1.

而a－c＝(1－m)a－nb，b－c＝－ma＋(1－n)b，

故由(a－c)·(b－c)≤0，得

·≤0，

展开，得m(m－1)a2＋n(n－1)b2≤0，

即m2－m＋n2－n≤0.

又m2＋n2＝1，故m＋n≥1.

而a＋b－c＝(1－m)a＋(1－n)b，

故(a＋b－c)2＝＝(1－m)2a2＋2(1－m)(1－n)a·b＋(1－n)2b2

＝(1－m)2＋(1－n)2＝m2＋n2－2(m＋n)＋2

＝3－2(m＋n)．

又m＋n≥1，所以3－2(m＋n)≤1.

故|a＋b－c|2≤1，即|a＋b－c|≤1.

　B

解法三：坐标法

　因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，

所以〈a，b〉＝.

设＝a，＝b，＝c，

因为a⊥b，所以OA⊥OB.

分别以OA，OB所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，

则a＝(1,0)，b＝(0,1)，则A(1,0)，B(0,1)．

设C(x，y)，则c＝(x，y)，且x2＋y2＝1.

则a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x,1－y)，

故由(a－c)·(b－c)≤0，得

(1－x)×(－x)＋(－y)×(1－y)≤0，

整理，得1－x－y≤0，即x＋y≥1.

而a＋b－c＝(1－x,1－y)，

则|a＋b－c|＝

＝.

因为x＋y≥1，

所以3－2(x＋y)≤1，即|a＋b－c|≤1.

所以|a＋b－c|的最大值为1.

　B

解法四：三角函数法

　因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，

所以〈a，b〉＝.

设＝a，＝b，＝c，

因为a⊥b，所以OA⊥OB.

分别以OA，OB所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，

则a＝(1,0)，b＝(0,1)，

则A(1,0)，B(0,1)．

因为|c|＝1，设∠COA＝θ，

所以C点的坐标为(cos θ，sin θ)．

则a－c＝(1－cos θ，－sin θ)，b－c＝(－cos θ，1－sin θ)，故由(a－c)·(b－c)≤0，得

(1－cos θ)×(－cos θ)＋(－sin θ)×(1－sin θ)≤0，

整理，得sin θ＋cos θ≥1.

而a＋b－c＝(1－cos θ，1－sin θ)，

则|a＋b－c|＝

＝.

因为sin θ＋cos θ≥1，

所以3－2(sin θ＋cos θ)≤1，即|a＋b－c|≤1.

所以|a＋b－c|的最大值为1.

　B

解法五：数形结合法

　设＝a，＝b，＝c，

因为|a|＝|b|＝|c|＝1，

所以点A，B，C在以O为圆心、1为半径的圆上．

易知＝a－c，＝b－c，|c|＝||.

由(a－c)·(b－c)≤0，

可知·≤0，

则≤∠BCA<π(因为A，B，C在以O为圆心的圆上，所以A，B，C三点不能共线，即∠BCA≠π)，

故点C在劣弧AB上．

由a·b＝0，得OA⊥OB，

设＝a＋b，如图所示，

因为a＋b－c＝－＝，

所以|a＋b－c|＝||，

即|a＋b－c|为点D与劣弧AB上一点C的距离，

显然，当点C与A或B点重合时，CD最长且为1，即|a＋b－c|的最大值为1.

　B