2018版高考数学（人教a版理科）一轮复习真题演练集训：第六章　数列 6-1 word版含答案

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由递推公式求通项的常用方法和技巧

递推数列是高考考查的热点，由递推公式求通项时，一般需要先对递推公式进行变形，然后利用转化与化归的思想解决递推数列问题．下面给出几种常见的递推数列，并讨论其通项公式的求法．

类型1　an＋1＝an＋f(n)

把原递推公式转化为an＋1－an＝f(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解．

　已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，求数列{an}的通项公式．

　因为a1＝2，an＋1－an＝n＋1，

所以an－an－1＝(n－1)＋1，

an－1－an－2＝(n－2)＋1，an－2－an－3＝(n－3)＋1，

…

a2－a1＝1＋1，

由已知，a1＝2＝1＋1，

将以上各式相加，得

an＝＋n＋1

＝＋n＋1

＝＋n＋1

＝＋1.

类型2　an＋1＝f(n)an

把原递推公式转化为＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解．

　已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝·an，求数列{an}的通项公式．

　由an＋1＝·an，得＝.

当n≥2，n∈N*时，an＝··…··a1＝··…··＝，即an＝.

又当n＝1时，＝＝a1，故an＝.

类型3　an＋1＝pan＋q

先用待定系数法把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝，再利用换元法转化为等比数列求解．

　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求数列{an}的通项公式．

　设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，

即an＋1＝2an－t，解得t＝－3.

故an＋1＋3＝2(an＋3)．

令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2.

所以{bn}是以4为首项，以2为公比的等比数列．

所以bn＝4×2n－1＝2n＋1, 即an＝2n＋1－3.

类型4　an＋1＝pan＋qn

(1)一般地，要先在递推公式两边同除以qn＋1，得＝·＋，引入辅助数列{bn}，得bn＋1＝·bn＋，再用待定系数法解决；

(2)也可在原递推公式两边同除以pn＋1，得＝＋n，引入辅助数列{bn}，得bn＋1－bn＝n，再利用累加法(逐差相加法)求解．

　已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋n＋1，求数列{an}的通项公式．

　解法一：将an＋1＝an＋n＋1两边分别乘以2n＋1，得2n＋1an＋1＝(2nan)＋1.

令bn＝2nan，则bn＋1＝bn＋1，

根据待定系数法，得bn＋1－3＝(bn－3)．

所以数列{bn－3}是首项为b1－3＝2×－3＝－，公比为的等比数列．

所以bn－3＝－·n－1，

即bn＝3－2·n.

于是，an＝＝－.

解法二：将an＋1＝an＋n＋1两边分别乘以3n＋1，得3n＋1an＋1＝3nan＋n＋1.

令bn＝3nan，则bn＋1＝bn＋n＋1，

所以bn－bn－1＝n，bn－1－bn－2＝n－1，…，b2－b1＝2.

将以上各式叠加，得

bn－b1＝2＋…＋n－1＋n，

又b1＝3a1＝3×＝＝1＋，

所以bn＝1＋＋2＋…＋n－1＋n＝＝2·n＋1－2，

即bn＝2·n＋1－2.

故an＝＝－.

类型5　an＋1＝pan＋an＋b(p≠1，p≠0，a≠0)

这种类型的题目一般是利用待定系数法构造等比数列，即令an＋1＋x(n＋1)＋y＝p(an＋xn＋y)，然后与已知递推式比较，解出x，y，从而得到{an＋xn＋y}是公比为p的等比数列．

　设数列{an}满足a1＝4，an＝3an－1＋2n－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．

→→

　设递推公式可以转化为

an＋An＋B＝3，

化简后与原递推式比较，得

解得

则an＋n＋1＝3．

令bn＝an＋n＋1，(*)

则bn＝3bn－1，

又b1＝6，故bn＝6·3n－1＝2·3n，

代入(*)，得an＝2·3n－n－1.

类型6　an＋1＝pa(p>0，an>0)

这种类型的题目一般是将等式两边取对数后转化为an＋1＝pan＋q型，再利用待定系数法求解．

　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝·a(m>0)，求数列{an}的通项公式．

 　对an＋1＝·a两边取对数，得

lg an＋1＝2lg an＋lg .

令bn＝lg an，则bn＋1＝2bn＋lg .

因此得bn＋1＋lg ＝2，

记cn＝bn＋lg ，则cn＋1＝2cn.

所以数列{cn}是首项c1＝b1＋lg ＝lg ，公比为2的等比数列．

所以cn＝2n－1·lg .

所以bn＝cn－lg ＝2n－1·lg －lg ＝lg ，

即lg an＝lg ，

所以an＝m·2n－1.

类型7　an＋1＝(p，q，r≠0且an≠0，qan＋r≠0)

这种类型的题目一般是将等式两边取倒数后，再进一步处理．

若p＝r，则有＝＝＋，此时为等差数列．

若p≠r，则有＝·＋，此时可转化为类型3来处理．

　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求数列{an}的通项公式．

　因为an＋1＝，a1＝1，

所以an≠0，

所以＝＋，

即－＝.

又a1＝1，则＝1，

所以是以1为首项，以为公差的等差数列．

所以＝＋(n－1)×＝，

所以an＝(n∈N*)．

类型8　an＋1＋an＝f(n)

将原递推关系改写成an＋2＋an＋1＝f(n＋1)，两式相减即得an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，然后将n按奇数、偶数分类讨论即可．

　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＋an＝2n，求数列{an}的通项公式．

　因为an＋1＋an＝2n，

所以an＋2＋an＋1＝2n＋2，故an＋2－an＝2，

即数列{an}是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列．

当n为偶数时，a2＝1，

故an＝a2＋2＝n－1.

当n为奇数时，因为an＋1＋an＝2n，an＋1＝n(n＋1为偶数)，故an＝n.

综上知，an＝n≥1，n∈N*.

类型9　an＋1·an＝f(n)

将原递推关系改写成an＋2·an＋1＝f(n＋1)，两式作商可得＝，然后将n按奇数、偶数分类讨论即可．

　已知数列{an}中，a1＝3，an＋1·an＝2n，求数列{an}的通项公式．

 　因为an＋1·an＝2n，

所以an＋2·an＋1＝2n＋1，故＝2，

即数列{an}是奇数项与偶数项都是公比为2的等比数列．

当n为偶数时，a2＝，

故an＝a2·2＝·2，

即an＝·2；

当n为奇数时，n＋1为偶数，

故an＋1＝·2，

代入an＋1·an＝2n，得an＝3·2.

综上知，an＝