2018版高考数学（人教a版理科）一轮复习真题演练集训：第四章　三角函数与解三角形 4-5 word版含答案

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1．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(　　)

A．y＝cos   B．y＝sin

C．y＝sin 2x＋cos 2x   D．y＝sin x＋cos x

答案：A

解析：y＝cos＝－sin 2x，最小正周期T＝＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确；y＝sin＝cos 2x，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于对称，故B不正确；C，D均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C，D不正确．

2．设函数f(x)＝sin2x＋bsin x＋c，则f(x)的最小正周期(　　)

A．与b有关，且与c有关

B．与b有关，但与c无关

C．与b无关，且与c无关

D．与b无关，但与c有关

答案：B

解析：由于f(x)＝sin2x＋bsin x＋c＝＋bsin x＋c.当b＝0时，f(x)的最小正周期为π；当b≠0时，f(x)的最小正周期为2π.c的变化会引起f(x)图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B.

3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)

A．11   B．9 

C．7   D．5

答案：B

解析：因为x＝－为函数f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，所以＝＋(k∈Z，T为周期)，得T＝(k∈Z)．又f(x)在上单调，所以T≥，k≤.又当k＝5时，ω＝11，φ＝－，f(x)在上不单调；当k＝4时，ω＝9，φ＝，f(x)在上单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9.

4．函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．

答案：π　(k∈Z)

解析：∵f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1

＝＋sin 2x＋1

＝sin 2x－cos 2x＋

＝sin＋，

∴ 函数f(x)的最小正周期T＝π.

令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．

5．已知函数f(x)＝sinsin x

－cos2x.

(1)求f(x)的最小正周期和最大值；

(2)讨论f(x)在上的单调性．

解：(1)f(x)＝sinsin x－cos2x

＝cos xsin x－(1＋cos 2x)

＝sin 2x－cos 2x－

＝sin－，

因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.

(2)当x∈时，0≤2x－≤π.

当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增；

当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．

综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减．

课外拓展阅读

三角函数的最值问题

三角函数的最值问题是三角函数中最基本的问题，是历年高考考查的重点和热点内容，对于这类问题如果能找到恰当的方法，掌握其规律，就可以简捷地求解．前面考点3中介绍了两种类型，还有如下几种常见类型．

1．y＝asin2x＋bsin x＋c型函数的最值

可将y＝asin2x＋bsin x＋c中的sin x看作t，即令t＝sin x，则y＝at2＋bt＋c，这样就转化为二次函数的最值问题．但这里应注意换元前后变量的取值范围要保持不变，即要根据给定的x的取值范围，求出t的范围．另外，y＝acos2x＋bcos x＋c，y＝asin2x＋bcos x＋c等形式的函数的最值都可归为此类．

　设x∈，求函数y＝4sin2x－12sin x－1的最值．

→

→

　令t＝sin x，由于x∈，

故t∈.

y＝4t2－12t－1＝42－10，

因为当t∈时，函数单调递减，

所以当t＝－，即x＝－时，ymax＝6；

当t＝1，即x＝时，ymin＝－9.

2．y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x型函数的最值

可利用降幂公式将y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x整理转化为y＝Asin 2x＋Bcos 2x＋C求最值．

　求函数y＝sin x(cos x－sin x)的最大值．

　y＝sin x(cos x－sin x)

＝sin xcos x－sin2x

＝sin 2x－

＝(sin 2x＋cos 2x)－

＝sin－.

因为0<x<，所以<2x＋<，

所以当2x＋＝，即x＝时，ymax＝.

3．y＝型函数的最值

此类题目的特点是分子或分母中含有sin x或cos x的一次式的形式，一般可将其化为f(y)＝sin(ωx＋φ)的形式，然后利用三角函数的有界性求其最值．

　求函数y＝的最值．

　由y＝，得ysin x－cos x＝－2y，

所以sin(x－φ)＝－2y(其中φ为辅助角)，

所以sin(x－φ)＝，

又|sin(x－φ)|≤1，

所以≤1，2≤1，

解得－1≤y≤1，故ymax＝1，ymin＝－1.

4．y＝a(sin x±cos x)＋bsin xcos x＋c型函数的最值

对于y＝a(sin x＋cos x)＋bsin xcos x＋c，令sin x＋cos x＝t，t∈，因为(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x，所以sin xcos x＝，则函数就变为y＝at＋b·＋c的形式，因此，此类函数的最值也可通过换元转化为二次函数的最值问题．对于形如y＝a(sin x－cos x)＋bsin xcos x＋c的函数也可采用同样的方法，另外，此类题目也应注意换元前后变量的取值范围要保持相同．

　求函数y＝(4－3sin x)(4－3cos x)的最小值．

　y＝16－12(sin x＋cos x)＋9sin xcos x，

令t＝sin x＋cos x，则t∈，

且sin xcos x＝，

所以y＝16－12t＋9×＝(9t2－24t＋23)．

故当t＝时，ymin＝.

5．通过换元转化为代数函数的最值

通过换元的方法将三角函数的最值问题转化为代数函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性等求函数的最值．

　已知x∈(0，π)，求函数y＝的最大值．

→

→

　令sin x＝t(0<t≤1)，

则y＝＝≤＝，

当且仅当t＝时等号成立．故ymax＝.

　已知x∈(0，π)，求函数y＝sin x＋的最小值．

　令sin x＝t(0<t≤1)，然后求导，利用函数的单调性求最值．

　设sin x＝t(0<t≤1)，

则原函数可化为y＝t＋，

因为y′＝1－＝＝，

所以当0<t≤1时，y′<0，则y＝t＋在(0,1]上为减函数，所以当t＝1时，ymin＝3.

即函数y＝sin x＋的最小值是3.

温馨提示

y＝sin x＋型三角函数求最大值时，当sin x>0，a>1时，不能用基本不等式求最值，宜用函数在区间上的单调性求解．