专题9 计数原理与概率统计-2021届高考数学重点专题强化卷
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专题9 计数原理与概率统计
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知某药店只有，，三种不同品牌的N95口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的N95口罩，若甲、乙买品牌口罩的概率分别是0.2，0.3，买品牌口罩的概率分别为0.5，0.4，则甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为（ ）
A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.26
【答案】C
【详解】
由题意，得甲、乙两人买品牌口罩的概率都是0.3，所以甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为．
故选：C．
2．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为．从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为．
所以所求的概率，
故选：B．
3．为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
【答案】C
【详解】
因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家
看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，
先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和
其余二个看成三个元素的全排列共有：种；
又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，
所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有种，
所以不同的分配方法种数有：
故选：C
4．在的展开式中，常数项为（ ）
A． B．15 C． D．60
【答案】D
【详解】
，
令，即，
∴常数项为60，
故选：D
5．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ）
A．72种 B．144种 C．288种 D．360种
【答案】B
【详解】
第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有种排法，所以不同的排表方法共有种.
选.
6．六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
丙排第一，除甲乙外还有3人，共种排法，此时共有4个空，插入甲乙可得，
此时共有种可能；
丙排第二，甲或乙排在第一位，此时有排法，甲和乙不排在第一位，
则剩下3人有1人排在第一位，则有种排法，
此时故共有种排法.
故概率.
故选：C.
7．现在有张奖券，张元的，张元的，某人从中随机无放回地抽取张奖券,则此人得奖金额的数学期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：当取三张都是两元的得奖金额是元；当取两张两元一张五元得奖金额是元； 当取一张两元两张五元得奖金额是元.故得奖金额为,对应的概率分别是,故其数学期望是,应选B.
考点：概率和数学期望的计算.
8．现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为.某检验员从该生产线上随机抽检个零件，设其中优等品零件的个数为.若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
∵，∴，化简得，即，又，解得或，∴，故选C．
9．七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形.现从这个正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
号与号是全等的等腰直角三角形，设其面积为，可得号板面积为号板面积为号板面积为，则正方形面积为，阴影的面积为，由古典概型概率的公式可得，此点取自阴影部分的概率为，故选C.
10．已知三个村庄A，B，C构成一个三角形，且AB=5千米，BC=12千米，AC=13千米．为了方便市民生活，现在△ABC内任取一点M建一大型生活超市，则M到A，B，C的距离都不小于2千米的概率为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，则△ABC为直角三角形，且∠B为直角．
则△ABC的面积S＝，
若在三角形ABC内任取一点，则该点到三个定点A，B，C的距离不小于2，
则该点位于阴影部分，
则三个小扇形的圆心角转化为180°，半径为2，则对应的面积之和为S＝，
则阴影部分的面积S＝ ，
则对应的概率P＝＝＝ ，
故选C．
11．关于圆周率，数学发展史上出现过多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验，受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计的值，试验步骤如下：①先请高二年级名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对；②若卡片上的，能与构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为；④根据统计数，估计的值.那么可以估计的值约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意，实数对，即面积为1
且卡片上的，能与构成锐角三角形，即满足，且 ，所以面积为
所以，能与构成锐角三角形的概率为：
由题，n张卡片上交m张，即
故选C
12．在面积为 1 的正方形中任意取一点 ，能使三角形，，，的面积
都大于的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意可知，当P点落在距离正方形各边距离为的小正方形内时，能使三角形，，，的面积都大于，根据几何概型概率公式知 ，故选C.
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．伟大出自平凡，英雄来自人民.在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会6名男生和8名女生骨干成员中选出2人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用表示事件“抽到的2名队长性别相同”，表示事件“抽到的2名队长都是男生”，则______.
【答案】
【详解】
由已知得，，
则.
故答案为：
14．有9张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，从中任取3张，则抽出的3张卡片标有的数字至少有2个是相邻的概率是______.
【答案】
【详解】
解法一：记“抽出的张卡片标有的数字至少有个相邻”为事件.
总的基本事件个数为，
抽出的张卡片标有的数字只有个相邻的情况有：（种），
抽出的张卡片标有的数字有个相邻的情况有种，
则.
解法二：记“抽出的张卡片标有的数字至少有个相邻”为事件.
总的基本事件个数为，
表示事件“抽出的张卡片标有的数字均不相邻”，则包括的基本事件的个数为，
则.
15．二项式的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）
【答案】60
【详解】
有题意可得，二项式展开式的通项为：
令可得 ，此时.
16．4名学生参加3个兴趣小组活动，每人参加一个或两个小组，那么3个兴趣小组都恰有2人参加的不同的分组共有_________种.
【答案】90
【详解】
由题意得4名学生中，恰有2名学生参加2个兴趣小组，，其余2 名学生参加一个兴趣小组，首先4名学生中抽出参加2个兴趣小组的学生共有种.
下面对参加兴趣小组的情况进行讨论：
参加两个兴趣小组的同学参加的兴趣小组完全相同，共种；
2、参加两个兴趣小组的同学参加的兴趣小组有一个相同，共种.
故共有种.
即答案为90.
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17（10分）．某单位在2020年8月8日“全民健身日”举行了一场趣味运动会，其中一个项目为投篮游戏．游戏的规则如下：每个参与者投篮3次，若投中的次数多于未投中的次数，得3分，否则得1分．已知甲投篮的命中率为，且每次投篮的结果相互独立．
（1）求甲在一次游戏中投篮命中次数的分布列与期望；
（2）若参与者连续玩次投篮游戏获得的分数的平均值不小于2，即可获得一份大奖．现有和两种选择，要想获奖概率最大，甲应该如何选择？请说明理由．
【答案】（1）分布列见解析，；（2）甲选择玩10次投篮游戏的获奖概率最大．理由见解析.
【详解】
（1）由题意知．
则，
，
，
，
所以的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | |
．
（2）由（1）可知在一次游戏中，甲得3分的概率为，得1分的概率为．
若选择，此时要能获得奖品，则需10次游戏的总得分不小于20．
设10次游戏中，得3分的次数为，则，即．
易知，故此时获奖的概率．
若选择，此时要能获得奖品，则需15次游戏的总得分不小于30．
设15次游戏中，得3分的次数为，则，，又，所以．
易知，故此时获奖的概率．
因为，所以甲选择玩10次投篮游戏的获奖概率最大．
18（12分）．某电子产品加工厂购买配件并进行甲、乙两道工序处理，若这两道工序均处理成功，则该配件加工成型，可以直接进入市场销售；若这两道工序均处理不成功，则该配件报废；若这两道工序只有一道工序处理成功，则该配件需要拿到丙部门检修，若检修合格，则该配件可以进入市场销售，若检修不合格，则该配件报废．根据以往经验，对于任一配件，甲、乙两道工序处理的结果相互独立，且处理成功的概率分别为，，丙部门检修合格的概率为．
（1）求该工厂购买的任一配件可以进入市场销售的概率．
（2）已知配件的购买价格为元/个，甲、乙两道工序的处理成本均为元/个，丙部门的检修成本为元个，若配件加工成型进入市场销售，售价可达元/个；若配件报废，要亏损购买成本以及加工成本．若市场大量需求配件的成型产品，试估计该工厂加工个配件的利润．（利润售价购买价格加工成本）
【答案】（1）；（2）万元．
【详解】
（1）记任一配件加工成型可进入市场销售为事件，甲、乙两道工序分别处理成功为事件，，丙部门检修合格为事件．
则．
（2）设该工厂加工个配件的利润为元，加工一个配件的利润为元，则．
由题可知的所有可能取值为，，，，
则，
，
，
．
的分布列为
104 | 88 | |||
∴，
∴.
∴估计该工厂加工个配件的利润为万元．
19（12分）．某微商对某种产品每天的销售量(x件）进行为期一个月的数据统计分析，并得出了该月销售量的直方图（一个月按30天计算）如图所示.假设用直方图中所得的频率来估计相应的事件发生的概率.
（1）求频率分布直方图中的的值；
（2）求日销量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）若微商在一天的销售量不低于25件，则上级商企会给微商赠送100元的礼金，估计该微商在一年内获得的礼金数.
【答案】（1）0.02；（2）22.5；（3）10800（元）.
【详解】
（1）由题意可得.
（2）根据已知的频率分布直方图，日销售量的平均值为：
.
（3）根据频率分布直方图，日销售量不低于25件的天数为：
，
可获得的奖励为900元，
依此可以估计一年内获得的礼金数为元.
20（12分）．系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件正常工作的事件相互独立，如果系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作.系统正常工作的概率称为系统的可靠性.
（1）某系统配置有个元件，为正整数，求该系统正常工作概率的表达式.
（2）现为改善（1）中系统的性能，拟增加两个元件，试讨论增加两个元件后，能否提高系统的可靠性.
【答案】（1）；（2）当时，系统可靠性不变；当，系统可靠性降低，当，系统可靠性提高.
【详解】
解：（1）个元件中，恰好个正常工作的概率为，恰好有个元件正常工作的概率为，……，恰好个元件正常工作的概率为，故.
（2）当有个元件时，考虑前个元件，为使系统正常工作，前个元件中至少有个元件正常工作.
①前个元件中恰有个元件，它的概率为，此时后两个必须同时正常工作，所以这种情况下系统正常工作的概率为.
②前个元件中恰好有个正常工作，它的概率为，此时后两个元件至少有一个正常工作即可，所以这种情况下系统正常工作的概率为
.
③前个元件中至少有个元件正常工作，它的概率为，
此时系统一定正常工作.
故.
所以
.
故当时，，系统可靠性不变；当，，系统可靠性降低，当，，系统可靠性提高.
21（12分）．某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0，1，2，3，将这个玩具抛掷次，记第次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为，数列的前和为．记是3的倍数的概率为．
（1）求，；
（2）求．
【答案】（1），（2）
【详解】
解：（1）抛掷一次，一共有个结果，出现一个0和一个3时符合要求，故，
抛掷两次，一共有个结果，出现，，，，，时，符合要求，故计6种情况，
故．
（2）设被3除时余1的概率为，被3除时余2的概率为，
则，①
，②
，③
①②③，得：
，
化简，得，
，
又，
是以为首项，为公比的等比数列
．
22（12分）．2020年6月28日上午，未成年人保护法修订草案二审稿提请十三届全国人大常委第二十次会议审议，修改草案二审稿针对监护缺失、校园欺凌研究损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校住宿经营者网络服务提供者等主体，加大对未成年人保护力度我校为宣传未成年保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3题，被称为“优秀小组”，已知甲乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对题的概率分为，.
（1）若，，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；
（2）若，且每轮比赛互不影响，则在竞赛中甲乙同学要想获得“优秀小组”次数为9次，则理论上至少要进行多少轮竞赛才行？并求此时，的值.
【答案】（1）；（2）理论上至少要进行19轮比赛；此时.
【详解】
（1）由题可知，所以可能的情况有①同学甲答对1次，同学乙答对2次；
②同学甲答对2次，同学乙答对1次；③同学甲答对2次，同学乙答对2次.
故所求概率
（2）他们在轮竞赛中获“优秀小组”的概率为
因为，所以
因为，，，所以，，又
所以，
令，则
所以当时，，
他们小组在竞赛中获“优秀小组”次数满足
由，则，所以理论上至少要进行19轮比赛.
此时，，.
