2023高考数学复习专项训练《不等式的性质》

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这是一份2023高考数学复习专项训练《不等式的性质》，共14页。试卷主要包含了、单选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）若aA. 1a<1bB. 0b2D. ba>ab
2.（5分）下列关系式一定正确的是( )
A. sin2<0B. cs3>0
C. sin(π-3)=-sin3D. |sin2α|⩽2|sinα|
3.（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c若a=3，b=3，A=π3，则sinB=()
A. 12B. 33C. 32D. -12
4.（5分）设首项为1，公比为23的等比数列{an}的前n项和为Sn，则( )
A. Sn=2an-1B. Sn=3an-2C. Sn=4-3anD. Sn=3-2an
5.（5分）若a＞0，则a+9a的最小值是（）
A. 3B. 4C. 6D. 8
6.（5分）已知数列{an}满足an-an-1=2(n∈N+,n⩾2)，且a1=1，那a3等于( )
A. -3B. -1C. 3D. 5
7.（5分）已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，若a3-a2=4，则a4+8a2的最小值为 ()
A. 40B. 20C. 10D. 32
8.（5分）在ΔABC中，sinA=2sinBcsC，则ΔABC必是( )
A. 钝角三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形
9.（5分）在△ABC中，AB=2，C=π3，且AB边上的高为2，则满足条件的△ABC的个数为()
A. 0B. 1C. 2D. 3
10.（5分）给出下列命题：
①若b|b|；
②若b③若b2；
④若b⑤若bab；
⑥若a+b=1，则a2+b2⩾12．
其中正确的命题有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
11.（5分）已知函数y=x2和y=8x的图象都过点A，且点A在直线xm+y2n=1(m>0,n>0)上，则lg2m+lg2n的最小值为( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
12.（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用他的名字定义的函数称为高斯函数f(x)=[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数．已知数列{an}满足a1=2，a2=5，an+2+4an=5an+1，若bn=[lg2an+1]，Sn为数列{1000bnbn+1}的前n项和，则[S2022]=()
A. 249B. 499C. 749D. 999
13.（5分）已知向量a→,b→满足|a→|=1，|b→|=2，且a→在b→方向上的投影与b→在a→方向上的投影相等，则|a→-b→|等于( )
A. 3B. 3C. 5D. 5
二、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知实数x，y满足不等式组y⩾-1,4x+y-4⩽0,2x-y-1⩾0,则目标函数z=4x2+y2的最大值与最小值之和为______．
15.（5分）在平面直角坐标系中，已知三个点列{An}、{Bn}、{Cn}，其中An(n,an)、Bn(n,bn)、Cn(n-1,0)，满足向量An→An+1与向量Bn→Cn共线，且bn+1-bn=6，a1=b1=0，则an=______.(用n表示)
16.（5分）求值：sin50°(1+3tan10°)=______．
17.（5分）如图在平面四边形 ABCD 中，∠A=45°，∠B=60°，∠D=150°，AB=2BC=4，则四边形 ABCD 的面积为______．
18.（5分）对于给定的正整数n，设集合Xn={ 1,2,3,…,n}，A⊆Xn，且A≠∅.记I(A)为集合A中的最大元素，当A取遍Xn的所有非空子集时，对应的所有I(A)的和记为S(n)，则S(2018)=______．
三、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知：在ΔABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=3，sinA+asinB=23.
(1)当a=7时，求ΔABC的面积；
(2)当ΔABC为锐角三角形时，求sin B+sin C的取值范围．
20.（12分）已知f(x)=2x2-x+1，g(x)=x．
(1)求不等式f(x)x-1⩾2g(x)的解集；
(2)若不等式mg(x)+f(x)⩾0对任意x∈(0,2]恒成立，求m的取值范围．
21.（12分）已知等比数列{an}的公比为q(q≠1)，等差数列{bn}的公差也为q，且a1+2a2=3a3．
(Ⅰ)求q的值；
(Ⅱ)若数列{bn}的首项为2，其前n项和为Tn，当n⩾2时，试比较bn与Tn的大小．
22.（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-an.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且2bn=(n-2)(an-1)，若Tn⩾λbn对于n∈N*恒成立，求λ的取值范围.
23.（12分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示：
问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨，获得利润总额最大？
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】解：对于A：当a=-2，b=-1时，显然不成立，∴A错误
对于B：∵a|b|>0∴ab>1，∴B错误
对于C：由已知条件知a根据不等式的性质得：a⋅b>b⋅b
即ab>b2
∴C正确
对于D：由已知条件知：ba<1,ab>1
∴D错误
故选：C.
用不等式的性质和特殊值法可依次验证每个选项
此题主要考查不等式的性质，须牢固掌握并能灵活应用不等式的性质，注意特值法的应用
2.【答案】D;
【解析】解：对于A，由于0<2<π，可得sin2>0，故错误；
对于B，由于π2<3<π，可得cs3<0，故错误；
对于C，由于sin(π-3)=sin3，故错误；
对于D，由于|sin2α|=2|sinα||csα|⩽2|sinα|⇔sinα=0，或|csα|⩽1，成立，故正确．
故选：D．
对于A，B，由于0<2<π，π2<3<π，利用正弦函数，余弦函数的图象即可判断错误；对于C，由于sin(π-3)=sin3，即可判断错误；对于D，利用二倍角公式化简，即可证明正确．
这道题主要考查了正弦函数，余弦函数的图象，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
3.【答案】A;
【解析】解：a=3，b=3，A=π3，
则由正弦定理可得，sinB=bsinAa=3×323=12.
故选：A.
根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．
此题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
4.【答案】D;
【解析】
该题考查等比数列的求和公式和通项公式，涉及指数的运算，属于中档题．
由等比数列求和公式，化简可得要求的关系式．

解：由题意可得Sn=a1-an+11-q=1-23an1-23=3-2an．
故选：D．
5.【答案】C;
【解析】略
6.【答案】D;
【解析】解：根据题意，数列{an}满足an-an-1=2，
则数列{an}为公差d=2的等差数列，
又由a1=1，那a3=a1+2d=1+4=5；
故选：D．
根据题意，分析可得数列{an}为公差d=2的等差数列，结合等差数列的通项公式计算可得答案．
此题主要考查等差数列的定义与性质，涉及数列的递推公式的应用，关键是分析数列{an}为等差数列．
7.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了等比数列的通项公式，利用基本不等式求最值，属于中档题 .
由题意，设等比数列{an}的公比为q，可得a2=4q-1，从而根据a4+8a2=4×[(q-1)+9q-1+2]，利用基本不等式求解即可.

解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
若a3-a2=4，则a2q-a2=4，即a2(q-1)=4，变形可得a2=4q-1，
由于{an}是各项均为正数，所以q-1>0，即q>1.
a4+8a2=a2(q2+8)=4q-1×(q2+8)=4q-1×[(q-1)2+2(q-1)+9]
=4×[(q-1)+9q-1+2]
⩾4(2×(q-1)×9q-1+2)=4×8=32，
当且仅当q-1=3，即q=4时，等号成立，即a4+8a2的最小值为32.
故选D.
8.【答案】D;
【解析】解：由sinA=2sinBcsC，得sin(B+C)=2sinBcsC，
即sinBcsC+csBsinC=2sinBcsC，
∴sinBcsC-csBsinC=0，
∴sin(B-C)=0．
∵0∴-π则B-C=0，即B=C．
∴ΔABC必是等腰三角形．
故选：D．
利用三角形内角和定理把A用B，C表示，展开两角和的正弦，变形后可得sin(B-C)=0，进一步得到B-C=0，即B=C，则答案可求．
该题考查三角形形状的判定，考查两角和与差的正弦，是基础题．
9.【答案】C;
【解析】解：因为△ABC中，A=60°，BC=4，所以△ABC的外接圆半径=12ABsinπ3=23，
如图，顶点A到BC的距离的最大值为：2sinπ3=3>2，
满足条件的△ABC的个数为：2个．
故选：C.
求得△ABC的外接圆半径R=12ABsinπ3=23，利用顶点A到BC的距离的最大值为：2sinπ3=3>2，
满足条件的△ABC的个数为：2个．
此题主要考查了三角形的外接圆，考查了数形结合数学，属于中档题．
10.【答案】D;
【解析】解：①∵b|a|，故①不正确；
②∵b0，∴a+b③∵b0,ba>0，∴ba+ab>2，故③正确；
④∵b2ab，∴a2>b(2a-b)，∴a2b<2a-b，故④正确；
⑤∵ba2+2ab，∴b(2a+b)>a(a+2b)，∴2a+ba+2b>ab，故⑤正确；
⑥∵a2+b2⩾(a+b)22，a+b=1，∴a2+b2⩾12，当且仅当a=b=12时取等号，故⑥正确．
故选：D．
利用不等式的基本性质和基本不等式逐一判断即可．
该题考查了不等式的基本性质和基本不等式，属中档题．
11.【答案】C;
【解析】解：联立y=x2y=8x，解得x=2，y=4，∴点A(2,4)，
将其代入xm+y2n=1，得2m+42n=1，即m+n=12mn⩾2mn，
∴mn⩾16，当且仅当m=n时，等号成立．
∴lg2m+lg2n=lg2mn⩾lg216=4．
故选：C．
联立两个函数，解出点A的坐标，代入直线方程得到2m+42n=1，再结合基本不等式的性质与对数的运算法则即可得解．
该题考查基本不等式在求最值上的应用，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
12.【答案】A;
【解析】解：由an+2+4an=5an+1，得an+2-an+1=4(an+1-an)，
又a2-a1=3，所以数列{an+1-an}是以3为首项，4为公比的等比数列，
则an+1-an=3⋅4n-1，①
由an+2+4an=5an+1得，an+2-4an+1=an+1-4an，
又a2-4a1=-3，
所以数列{an+1-4an}是常数列，
则an+1-4an=a2-4a1=-3，②
由①②联立可得an+1=4n+1，
因为4n<4n+1<2×4n，
所以lg24n即：2n所以bn=[lg2an+1]=[lg2(4n+1)]=2n，
故1000bnbn+1=10002n·2(n+1)=250(1n-1n+1)，
所以S2022=250[(1-12)+(12-13)+⋯+(12022-12023)]=250(1-12023)，则[S2022]=249.
故选：A.
利用已知关系式构造两个新数列，求出an+1=4n+1，利用放缩技巧，可得到数列{bn}的通项公式，再利用裂项相消法求数列{1000bnbn+1}前n项和后，带入函数解析式即可得到答案．
此题主要考查了由递推式求通项公式，裂项相消求和以及放缩法的应用，属于中档题．
13.【答案】A;
【解析】解：∵a→在b→方向上的投影与b→在a→方向上的投影相等，
∴a→.b→|a→|=a→.b→|b→|，
∴a→.b→=0，
∴(a→-b→)2=a2→+b2→=3，
∴|a→-b→|=3，
故选A．
根据投影相等可得a→.b→=0，计算(a→-b→)2即可得出|a→-b→|.
该题考查了平面向量投影公式，模长计算，属于中档题．
14.【答案】314;
【解析】解：令t=2x，则x=t2，
原可行域等价于y⩾-12t+y-4⩽0t-y-1⩾0，目标函数z=4x2+y2变为z=t2+y2．
作出可行域如图：

联立y=-12t+y-4=0，解得C(52,-1)．
z=t2+y2的几何意义是可行域内的点P(t,y)到原点O的距离d的平方，
由图可知，当点P与点C重合时，d取最大值，d的最小值为点O到直线AB：t-y-1=0的距离，
故zmax=254+1=294，zmin=(112+12)2=12．
∴z=4x2+y2的最大值与最小值之和为314．
故答案为：314．
令t=2x，则x=t2，把原可行域与目标函数变形，画出可行域，再由z=t2+y2的几何意义，即可行域内的点P(t,y)到原点O的距离d的平方求解．
此题主要考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．
15.【答案】3n2-9n+6（n∈N*）;
【解析】解：∵bn+1-bn=6，a1=b1=0，
∴bn=0+6(n-1)=6n-6．
向量An→An+1=(1,an+1-an)，
向量Bn→Cn=(-1,-bn)，
∵向量An→An+1与向量Bn→Cn共线，
∴-bn+an+1-an=0，
∴an+1-an=bn=6n-6，
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=[6(n-1)-6]+[6(n-2)-6]+…+[6×1-6]+0
=6×n(n-1)2-6(n-1)
=3n2-9n+6.3n2-9n+6(n∈N*)
bn+1-bn=6，a1=b1=0，利用等差数列的通项公式可得：bn=6n-6.向量An→An+1=(1,an+1-an)，向量Bn→Cn=(-1,-bn)，利用向量共线定理可得：an+1-an=bn=6n-6，再利用“累加求和”与等差数列的前n项和公式即可得出．
该题考查了“累加求和”、等差数列的通项公式及其前n项和公式、向量共线定理、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16.【答案】1;
【解析】解：原式=sin50°⋅cs10°+3sin10°cs10°=cs40°2sin40°cs10∘=sin80°cs10∘=cs10°cs10∘=1
故答案为：1
先把原式中切转化成弦，利用两角和公式和整理后，运用诱导公式和二倍角公式化简整理求得答案．
这道题主要考查了三角函数的恒等变换及其化简求值，以及两角和公式，诱导公式和二倍角公式的化简求值．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．
17.【答案】6-3;
【解析】
该题考查的知识要点：解三角形知识的应用，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用．
采用分割法对三角形进行分割，进一步利用余弦定理，勾股定理的逆定理及三角形的面积公式求出结果．

解：连接AC，

在ΔABC中，AB=2BC=4，∠B=60°，
利用余弦定理得：AC2=BC2+AB2-2BC⋅AB⋅cs∠B，
解得：AC=23，
所以：AB2=AC2+BC2，
则：ΔABC是直角三角形．
所以：∠DAC=∠DCA=15°，
即DA=DC，
所以AC2=DA2+DC2-∠ADC，
所以DA2=122-3，
所以SΔADC=12DA2.sin∠ADC
=12×122-3×12=6-33，
则：S四边形ABCD=SΔACD+SΔABC，
=6-33+23，
=6-3．
故答案为：6-3．
18.【答案】2017×22 018+1;
【解析】解：对于集合Xn，满足I(A)=1的集合A只有1个，即{ 1}；
满足I(A)=2的集合A有2个，即{ 2}，{ 1,2}；
满足I(A)=3的集合A有4个，即{ 3}，{ 1,3}，{ 2,3}，{ 1,2,3}；…；
满足I(A)=n的集合A有2n-1个，所以S(n)=1+2⋅2+3⋅22+…+n⋅2n-1.①
2S(n)=1×2+2⋅22+3⋅23+…+n⋅2n.②，
由①-②可得-S(n)=1+2+22+23+…+2n-1-n⋅2n=(1-n)2n-1
∴S(n)=(n-1)2n+1，
∴S(2 018)=2017×22018+1，
故答案为：2017×22018+1．
由题意可得：A的最大元素为n时，A={ n}，{ 1,n}，{ 2,n}，……{ 1,2,……,n}，共有2n-1个．可得S(n)=1+2×2+3×22+……n×2n-1，利用错位相减法即可得出．
该题考查了等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、集合的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)∵b=3，sinA+asinB=23，asinB=bsinA，
∴sinA+3sinA=23，∴sinA=32.
当a=7时，由b=3>7=a，得A∈(0,π2)，
又∵sinA=32，∴A=π3，
由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccsA，
∴7=9+c2-3c，解得c=1或c=2.
当c=1时，ΔABC的面积SΔABC=12bcsinA=334；
当c=2时，ΔABC的面积SΔABC=12bcsinA=332.
(2)由(1)知ΔABC为锐角三角形，sinA=32，
∴A=π3，∴C=2π3-B，
依题意得0∴π6∴sinB+sinC=sinB+sin(2π3-B)
=sinB+sin(B+π3)=3sin(B+π6)∈(32,3].;
【解析】此题主要考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数公式，三角形面积公式，考查了运算能力，属于中档题．
(1)首先利用正弦定理可推出sinA=32，从而可得角A的大小，利用余弦定理可求出c的值，进而根据三角形面积公式求解即可；
(2)由(1)可知A=π3，则C=2π3-B，则可求出B的范围，从而利用三角恒等变换可得sinB+sinC=3sin(B+π6)，由此可得结论 .
20.【答案】解：（1）不等式f(x)x-1≥2g（x），
即为2x2-x+1x-1≥2x，
即x+1x-1≥0，解得x＞1或x≤-1，
则解集为（-∞，-1]∪（1，+∞）；
（2）不等式mg（x）+f（x）≥0对任意x∈（0，2]恒成立，
即为mx+2x2-x+1≥0，
可得-m≤2x+1x-1在x∈（0，2]恒成立，
由2x+1x-1≥22x.1x-1=22-1，
当且仅当2x=1x即x=22时，上式取得等号，
可得-m≤22-1，
即m≥1-22．;
【解析】
(1)原不等式可化为x+1x-1⩾0，运用分式不等式的解法，可得解集；
(2)由题意可得mx+2x2-x+1⩾0，可得-m⩽2x+1x-1在x∈(0,2]恒成立，运用基本不等式可得不等式右边的最小值，即可得到所求m的范围．
该题考查分式不等式的解法，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：（Ⅰ）由已知可得a1+2a1q=3a1q2．
∵{an}是等比数列，∴a1≠0，
则3q2-2q-1=0．
解得：q=1或q=-13．
∵q≠1，
∴q=-13；
（Ⅱ）由（l）知等差数列{bn}的公差为-13，
∴bn=2+(n-1)(-13)=7-n3，
Tn=2n+n2(n-1)(-13)=13n-n26，
Tn-bn=-(n-1)(n-14)6，
当n＞14时，Tn＜bn；
当n=14时，Tn=bn；
当2≤n＜14时，Tn＞bn．
综上，当2≤n＜14时，Tn＞bn；
当n=14时，Tn=bn；
当n＞14时，Tn＜bn．;
【解析】
(Ⅰ)由已知列关于公比的方程，求解方程即可得到q值；
(Ⅱ)分别求出等比数列的通项公式及前n项和，分类作出比较得答案．
此题主要考查数列递推式，考查了等比数列的通项公式及前n项和，训练了作差法两个函数值的大小，是中档题．
22.【答案】;
【解析】
(1)根据数列的递推关系，利用作差法构造等比数列，进而求解；
(2)结合(1)的结论得到bn=(2-n)(12)n+1，然后利用错位相减法得到Tn=n2n+1，然后根据题意即可求解．
此题主要考查数列递推式，数列的求和，数列与不等式的综合，错位相减求和法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
23.【答案】解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨．获得利润z万元，
依题意可得约束条件：9x+4y≤3604x+5y≤2003x+10y≤300x≥0y≥0，
利润目标函数z=6x+12y ，
如图，作出可行域，作直线l：z=6x+12y，把直线l向右上方平移至l1位置，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=6x+12y取最大值．
解方程组 3x+10y=3004x+5y=200，得M（20，24），
所以生产甲种产品20t，乙种产品24t，才能使此工厂获得最大利润 .;
【解析】
先设每天生产甲x吨，乙y吨，列出约束条件，再建立目标函数，然后求得最优解，即求得利润的最大值和最大值的状态．
这道题主要考查用简单的线性规划研究目标函数的最大和最小值，关键是通过平面区域，求得最优解．
资源/消耗量/产品
甲产品(每吨)
乙产品(每吨)
资源限额(每天)
煤(t)
9
4
360
电力(kw⋅h)
4
5
200
劳动力(个)
3
10
300
利润(万元)
6
12

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