专题09 计数原理与概率统计-十年（2012-2021）高考数学真题分项汇编（浙江专用）

专题09计数原理与概率统计

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．（2020·浙江高考真题（文））从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是(　　)

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】：从装有个红球，个白球的袋中任取个球，共有基本事件种，则全取红球的基本事件只有一种，所以所取个球中至少有个白球的概率为，故选D.

考点：古典概型及其概率的计算.

2．（2019·浙江高考真题）设，则随机变量的分布列是：

则当在内增大时

A．增大 B．减小

C．先增大后减小 D．先减小后增大

【答案】D

【分析】研究方差随变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查.

【详解】

方法1：由分布列得，则

，则当在内增大时，先减小后增大.

方法2：则

故选D.

【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.

3．（2019·浙江高考真题（理））若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有

A．60种 B．63种 C．65种 D．66种

【答案】D

【详解】：要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得个偶数时，有种结果，当取得个奇数时，有种结果，当取得奇偶时有种结果,共有种结果.故答案为D.

考点：分类计数原理.

4．（2019浙江高考真题（理））已知随机变量服从正态分布，，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由正态分布的特征得＝，选A.

5．（2018·浙江高考真题）设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时，

A．减小 B．增大

C．先减小后增大 D．先增大后减小

【答案】D

【详解】

，

，

，∴先增后减，因此选D.

【点睛】

6．（2017·浙江高考真题）已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2.若0<p1<p2<，则

A．<，< B．<，>

C．>，< D．>，>

【答案】A

【详解】

∵，∴，

∵，∴，故选A．

【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得A正确．

7．（2014·浙江高考真题（理））在的展开式中，记项的系数为，则

A．45 B．60 C．120 D．210

【答案】C

【详解】由题意可得，故选C

考点：二项式系数.

8．（2014·浙江高考真题（理））已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个篮球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中.

（a）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；

（b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为.

则

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

，

，，故，，，由上面比较可知，故选A

考点：独立事件的概率,数学期望.

9．（2011·浙江高考真题（理））有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由题意知本题是一个等可能事件的概率，

试验发生包含的事件是把5本书随机的摆到一个书架上，共有A55=120种结果，

下分类研究同类书不相邻的排法种数

假设第一本是语文书（或数学书），第二本是数学书（或语文书）则有4×2×2×2×1=32种可能；

假设第一本是语文书（或数学书），第二本是物理书，则有4×1×2×1×1=8种可能；

假设第一本是物理书，则有1×4×2×1×1=8种可能．

∴同一科目的书都不相邻的概率P=，

故选B．

二、填空题

10．（2020浙江高考真题（文））某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________.

【答案】160

【详解】

∵某个年级共有980人，要从中抽取280人，

∴抽取比例为，

∴此样本中男生人数为，

故答案为160.

考点：本题考查了分层抽样的应用

11．（2019·浙江高考真题（理））某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）=___________．

【答案】

【解析】

∵P(X＝0)＝＝(1－p)2×，∴p＝，随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X＝0)＝，P(X＝1)＝×()2＋2××()2＝，P(X＝2)＝×()2×2＋×()2＝，P(X＝3)＝×()2＝，因此E(X)＝1×＋2×＋3×＝．

12．（2019·浙江高考真题（文））从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点则该两点间的距离为的概率是___________．

【答案】

【详解】

从这5个点中任取2个点共有10种取法；而该两点间的距离为的点只有四个顶点分别和中心的距离符合条件，即事件A有4种，于是两点间的距离为的概率为

【考点定位】考察随机事件的概率，分两步做即可

13．（2019·浙江高考真题（文））某个容量为的样本的频率分布直方图如下，则在区间上的数据的频数为_________．

【答案】 30

【解析】：区间对应的频率为，所以在区间上数据的频数为.

考点：频率分布直方图.

14．（2018·浙江高考真题）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)

【答案】1260.

【详解】

分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.

详解：若不取零，则排列数为若取零，则排列数为

因此一共有个没有重复数字的四位数.

点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：

(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.

15．（2018·浙江高考真题）二项式的展开式的常数项是___________．

【答案】7

【详解】

分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.

详解：二项式的展开式的通项公式为,

令得，故所求的常数项为

点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出特定项的系数.

16．（2017·浙江高考真题）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）

【答案】660

【详解】

第一类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有 种；第二类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种，根据分类计数原理共有种，故答案为.

17．（2014·浙江高考真题（理））随机变量的取值为0,1,2，若，，则________.

【答案】

【详解】

设时的概率为，则，解得，故

考点：方差.

18．（2014·浙江高考真题（理））    在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有__________种(用数字作答)．

【答案】60

【详解】：当一，二，三等奖被三个不同的人获得，共有种不同的方法，当一，二，三等奖被两个不同的人获得，即有一个人获得其中的两个奖，共有,所以获奖的不同情况有种方法,故填：60.

考点：排列组合

【方法点睛】考察了排列组合和分类计数原理，属于基础题型，重点是分析不同的获奖情况包含哪些情况，其中一，二，三等奖看成三个不同的元素，剩下的5张无奖奖券看成相同元素，那8张奖券平均分给4人，每人2张，就可分为三张奖券被3人获得，或是被2人获得的两种情况，如果是被3人获得，那这4组奖券就可看成4个不同的元素的全排列，如何2人获得，3张奖券分为2组，从4人挑2人排列，最后方法相加.

19．（2013·浙江高考真题（文））从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于　_________　．

【答案】

【分析】利用组合知识求出基本事件总数以及符合条件的基本事件，再由古典概型可得结果.

【详解】

从3男3女共6名同学中任选2名,有15种基本事件，

2名都是女同学有种基本事件，

故其概率为.

20．（2012·浙江高考真题（理））若将函数表示为其中，，，…，为实数，则＝______________．

【答案】10

【详解】

法一：由等式两边对应项系数相等．

即：．

法二：对等式：两边连续对x求导三次得：，再运用赋值法，令得：，即

21．（2011·浙江高考真题（文））13.某小学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图），根据频率分布直方图估计这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是_____.

【答案】600

【分析】首先计算成绩小于60 的三个小矩形的面积之和，即成绩小于60 的学生的频率，再乘以3000即可．

【详解】

解：由频率分布直方图成绩小于60 的学生的频率为10（0.002+0.006+0.012）＝0.2，

所以成绩小于60分的学生数是3000×＝600

故答案为600

【点睛】考查频率分布直方图和由频率分布直方图估计总体的分布．

三、解答题

22．（2013·浙江高考真题（理））设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分．

（1）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和．，求ξ分布列；

（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若，求a：b：c．

【答案】（1）

（2）3：2：1

【详解】

试题分析：（1）由已知,分别计算,,,,时的概率，得到的分布列.

（2）首先计算的分布列，进一步计算期望、方差，建立的关系式.

试题解析：（1）由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时,此时,

当两次摸到的球分别是黄黄,红蓝,蓝红时,此时；

当两次摸到的球分别是红黄,黄红时,此时；

当两次摸到的球分别是黄蓝, 蓝黄时,此时；

当两次摸到的球分别是蓝蓝时,此时；

所以的分布列是：

（2）由已知得到：有三种取值即,所以的分布列是：

所以：

所以.

考点：随机变量的分布列、期望、方差

23．（2012·浙江高考真题（理））已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和．

(Ⅰ)求X的分布列；

(Ⅱ)求X的数学期望E(X)．

【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) ．

【解析】

试题分析：(Ⅰ) X的可能取值有：3，4，5，6．

； ；

； ．

故，所求X的分布列为

(Ⅱ) 所求X的数学期望E(X)为：

E(X)＝．

考点：本题主要考查随机变量的概率计算，古典概型概率的计算，分布列、数学期望．

点评：典型题，统计中的抽样方法，频率直方图，概率计算及分布列问题，是高考必考内容及题型．古典概型概率的计算问题，关键是明确基本事件数，往往借助于“树图法”，做到不重不漏．借助于简单排列组合公式进行计算，注意记清公式．