2020届二轮复习辨析函数与方程的根的情况学案（全国通用）
展开专题02 辨析函数与方程的根的情况
一．方法综述
确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：
(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．
(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．
(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．
二．解题策略
类型一 求方程解的个数
例1、(2013·高考安徽卷)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解题秘籍】方程的解的个数问题可转化为求函数图象的交点的个数.
【举一反三】若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的解的个数是( )
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【解析】画出周期函数f(x)和y＝log3|x|的图象，如图所示，方程f(x)＝log3|x|的解的个数为4.*
热点题型二 已知方程的根求参数
例2.【2017广西柳州市模拟】设定义域为的函数若关于的方程有7个不同的实数解，则（ ）
A．6 B．4或6 C．6或2 D．2
【答案】D
【举一反三】【2018广西南宁市摸底】设是定义在上的偶函数，且时，当时， ，若在区间内关于的方程且有且只有4个不同的根，则实数的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为对于任意的，都有，*
所以，所以函数是一个周期函数，且，
又因为当时， ，且函数是定义在R上的偶函数，
若在区间内关于的方程恰有4个不同的实数解，
则函数与在区间上有四个不同的交点，如下图所示：
又，则对于函数，由题意可得，当时的函数值小于1，即，由此解得，所以的范围是，故选D.*
三．强化训练
1．【2018湖北省襄阳市调研】已知函数，若a、b、c互不相等，且f (a) = f (b) = f (c)，则 的取值范围是（ ）
A. (1， 2 017) B. (1，2 018) C. [2，2 018] D. (2，2 018)
【答案】D
2.【2018湖北省稳派教育联考】已知定义在R上的函数满足，若关于的方程恰有5个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. (1，2) D. (2，3)
【答案】B
3.【2018内蒙古呼和浩特市调研】已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意设，
则，
所以 在（上递减，在（上递增，
且 ，*
在一个坐标系中画出两个函数图象如图：
因为存在唯一的正整数 ，使得即，
所以由图得，则 ，即
解得，所以的取值范围是.故选C. *
4.【2017河北唐山市摸底】设是方程的解，则所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
5.【2017湖北百所重点校高三联考】设函数，若对任意，都存在，使得，则实数的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【解析】由题设可得关于方程有解,由于当时,,
所以有解,即有解,所以,也即,
故实数的最大值为,故应选A.*
6.【2017年第二次全国大联考（山东卷）】已知函数且，若在内有且仅有两个不同的根，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
7.【2017江西九江地区联考】若函数（，且）的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
8.【2017河北衡水中一调】已知存在，使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作出函数的图象，如图所示，
因为存在当时，，所以，
因为在上的最小值为在上的最小值为，
所以，所以，
因为，所以，
令（），所以为开口向上，对称轴为上抛物线，
所以在区间上递增，
所以当时，，当时，，即的取值范围是，
故选A．
9.已知函数，则关于的方程的实根个数不可能为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】A
所以有四个根，
当时，方程有一个负根，三个正根，所以有七个根，
当时，方程有三个正根，一个小于的负根，所以有八个根，
当时，方程有两个正根，一个小于的负根，所以有六个根，
当时，方程有一个正根一个小于的负根，所以有四个根，
所以根的个数可能为，，，，，，故选A.
10.【2018江西南昌摸底】已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．
【答案】
11.【2018河南漯河三模】已知函数，若，且，则 .
【答案】2
【解析】不妨设 ，
则令 ，
则 或 ；
故
故
．
12.【2018安徽阜阳一中二模】已知 ，若关于的方程 恰好有个不相等的实数根，则实数的取值范围是______________.
【答案】
