专题12 复数-2021届高考数学重点专题强化卷
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专题12 复数
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题意可得：，
则.
故选A.
2．（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【详解】
由复数的运算法则可得：
.
本题选择D选项.
3．已知复数满足，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
设，则，
所以，复数在复平面内对应的点的轨迹方程为，如下图所示：
圆的圆心坐标为，半径长为，
表示圆上的点到定点的距离，
因此，的最大值为.
故选：A.
4．复数的虚部为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】C
【详解】
，故复数的虚部为.
故选：C.
5．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
复数，在复平面内对应的点分别为，，故，，
，故.
故选：.
6．已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面中对应的点到原点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意知复数在复平面中对应的点到原点的距离为
故选：B
7．已知复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由题意可得：，
则.
故选D.
8．设有下面四个命题，其中的真命题为（ ）
A．若复数，则 B．若复数满足，则或
C．若复数满足，则 D．若复数满足，则
【答案】A
【详解】
设,则由，得,因此,从而A正确；
设, , 则由，得,从而B错误；
设, 则由，得，因此C错误；
设, , 则由，
得，因此D错误；
综上选A.
9．设，则“”是“复数为纯虚数”的( )
A．充分必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
分析：先化简“复数为纯虚数”，再利用充要条件的定义判断.
详解：因为复数为纯虚数，
所以
因为“x=1”是“x=1”的充要条件，
所以“”是“复数为纯虚数”的充分必要条件.
故答案为A.
点睛：（1）本题主要考查纯虚数的概念，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数为纯虚数不要把下面的b≠0漏掉了.
10．已知复数在复平面上对应的点为，则
A．是实数 B．是纯虚数
C．是实数 D．是纯虚数
【答案】C
【解析】
由题意得复数z=1−i，所以z+1=2−i，不是实数，所以选项A错误；
也不是纯虚数，所以选项B错误；
=1是实数，所以选项C正确；
不是纯虚数，所以选项D错误.
故选C．
11．设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：∵在复平面内关于虚轴对称，，∴，∴.
考点：复平面与复数的运算.
12．已知复数，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：∵复数，且，
∴，
∴．
设圆的切线，则，
化为，解得．
∴的最大值为．
故选C．
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．设复数满足，使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为________
【答案】
【详解】
解：设，（且）
则原方程变为
所以，①且，②；
（1）若，则解得，当时①无实数解，舍去；
从而，此时，故满足条件；
（2）若，由②知，或，显然不满足，故，代入①得，
所以
综上满足条件的所以复数的和为
故答案为：
14．已知复数，且满足（其中为虚数单位），则____.
【答案】
【详解】
，所以，所以.
故答案为：-8
15．已知复数在复平面上对应的点在曲线上运动，则的最小值等于__________.
【答案】2
【详解】
设，
则，当且仅当时取等号，
故答案为：2．
16．对于给定的复数，若满足的复数对应的点的轨迹是椭圆，则的取值范围是________
【答案】.
【详解】
由于满足条件的复数对应的点的轨迹是椭圆，
则，即复数在复平面内对应的点到点的距离小于，
所以，复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆的内部，
的取值范围是，故答案为.
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17（10分）．在复平面内复数、所对应的点为、，为坐标原点，是虚数单位.
（1），，计算与；
（2）设，（），求证：，并指出向量、满足什么条件时该不等式取等号.
【答案】（1），；（2）证明详见解析，当时.
【详解】
解：（1）
，
所以
证明（2），
，
，
所以，当且仅当时取“”，此时.
18（12分）．设虚数z满足．
（1）计算的值；
（2）是否存在实数a，使？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）（2）存在，
【详解】
解：（1）设则
∵
∴
∴
∴
∴
∴
（2）设假设存在实数a使
则有
∴
∵
∴
由（1）知
∴
19（12分）．复数，满足的虚部是2，对应的点A在第一象限.（1）求；（2）若在复平面上对应点分别为，求.
【答案】（1）z=1+i,（2）
【解析】
试题分析; （1）利用已知条件列出方程组求解即可．
（2）求出复数的对应点的坐标，然后通过三角形求解即可．
试题解析:
（1）依题意得，结合x>0,y>0知，x=1,y=1
（2）由（1）值z=1+i, ,
所以A（1,1），B（0,2），C（1，-1）
有AB=，AC=2，BC=
由余弦定理可得cos∠ABC=
20（12分）．设虚数满足为实常数，，为实数）.
（1）求的值；
（2）当，求所有虚数的实部和；
（3）设虚数对应的向量为（为坐标原点），，如，求的取值范围.
【答案】（1）（2）见解析（2）见解析
【详解】
解：（1）是虚数，则，，
（或）
（2）是虚数，则，的实部为；
当
当
（3）解：
①恒成立，
由得，
当时，；
当时，.
②如则
当
当
21（12分）．
已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根，，且（为虚数单位），，求实数的值．
【答案】或
【解析】
略由题设，得，，
方程的两虚根为，，
于是，
由，得或．
22（12分）．复数（）.
（1）若为纯虚数求实数的值，及在复平面内对应的点的坐标；
（2）若在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【详解】
解：因为，所以
（1）若为纯虚数，则，解得：，
此时，在复平面内对应的点的坐标为：，
所以为纯虚数时实数，在复平面内对应的点的坐标为：
（2）若在复平面内对应的点位于三象限，
则，解得
所以在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围：.
