专题10 推理与证明-2021届高考数学重点专题强化卷

2021届高考数学重点专题强化卷

专题10 推理与证明

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．“干支纪法”是我国记年、月、日、时的序号的传统方法，天干地支简称“干支”，天干指：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．“地支”指：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．如，农历1861年为辛酉年，农历1862年为壬戌年，农历1863年为癸亥年，则农历2068年为（    ）

A．丁亥年 B．丁丑年 C．戊寅年 D．戊子年

【答案】D

【详解】

记辛，酉（1861）；壬，戌（1862）；癸，亥（1863），

所以记天干为数列，且最小正周期为10，记地支为数列，且最小正周期为12，

故戊，子（2068），

故选：D．

2．某学习小组有甲、乙、丙、丁四位同学，某次数学测验有一位同学没有及格，当其他同学问及他们四人时，甲说：“没及格的在乙、丙、丁三人中”；乙说：“是丙没及格”；丙说：“是甲或乙没及格”；丁说：“乙说的是正确的”.已知四人中有且只有两人的说法是正确的，则由此可推断未及格的同学是（    ）.

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】B

【详解】

由题意知，有一人没及格，四人中有且只有两人的说法是正确的.

如果甲没及格，则甲的说法错误，乙的说法错误，丙的说法正确，丁的说法错误、有三人说法错误，A错误；

如果乙没有及格，甲的说法正确，乙的说法错误，丙的说法正确，丁的说法错误，四人中有且只有两人的说法是正确的，B正确；

如果是丙没及格，甲的说法正确，乙的说法正确，丙的说法错误，丁的说法正确，有三人说法正确，C错误；

如果丁没及格，甲的说法正确，乙的说法错误，丙的说法错误，丁的说法错误，有一人说法正确，D错误.

故选：B.

3．有四张卡片，每张卡片有两个面，一个面写有一个数字，另一个面写有一个英文字母.现规定：当卡片的一面为字母时，它的另一面必须是数字.如图，下面的四张卡片的一个面分别写有，为检验此四张卡片是否有违反规定的写法，则必须翻看的牌是（ ）

A．第一张，第三张 B．第一张，第四张

C．第二张，第四张 D．第二张，第三张

【答案】B

【解析】

试题分析：由题问题的关键是如果卡片的一面为P，另一面必须是2，所以一定要看P的另一面是否为2，一面为2的另一面可以是任意有关字母，一面为3的卡片的另一面一定不能是P，所以必须翻看第一、第四张卡片.

考点：推理与证明

4．表示不超过的最大整数，例如：.

,

…，

依此规律，那么等于(　 　)

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

试题分析：由题观察可得，分别含3项，5项，7项，则应含21项．

为；

考点：观察归纳能力及取整函数.

5．函数则函数是（ ）

A．奇函数但不是偶函数 B．偶函数但不是奇函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数

【答案】A

【解析】

试题分析：当时，，，，…，当时，，由数学归纳法知对任意的，有，同理当时，，因此的定义域是且不可能是偶函数，由于是奇函数，，假设是奇函数，则，即也是奇函数，因此对任意的，有是奇函数，本题选A.

考点：数学归纳法，函数的奇偶性.

6．观察下列各式：a+b=1.a2+b2=3，a3+b3=4 ，a4+b4=7,a5+b5=11,…，则a10+b10=（  ）

A．28 B．76 C．123 D．199

【答案】C

【详解】

由题观察可发现，

，

，

，

即,

故选C.

考点：观察和归纳推理能力.

7．已知若，则

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

观察所提供的式子可知，等号左边最后一个数是时，则等号右边的数为,

因此，令，则，n=10.

本题选择C选项.

8．富华中学的一个文学兴趣小组中，三位同学张博源、高家铭和刘雨恒分别从莎士比亚、雨果和曹雪芹三位名家中选择了一位进行性格研究，并且他们选择的名家各不相同．三位同学一起来找图书管理员刘老师，让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象．刘老师猜了三句话：“①张博源研究的是莎士比亚；②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹；③高家铭自然不会研究莎士比亚．”很可惜，刘老师的这种猜法，只猜对了一句，据此可以推知张博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是（   ）

A．曹雪芹、莎士比亚、雨果    B．雨果、莎士比亚、曹雪芹

C．莎士比亚、雨果、曹雪芹    D．曹雪芹、雨果、莎士比亚

【答案】A

【解析】假设“张博源研究的是莎士比亚”正确，那么“高家铭自然不会研究莎士比亚”也是正确的，这不符合“刘老师只猜对了一个”这一条件，所以假设错误；
假设“高家铭自然不会研究莎士比亚”正确，故①不正确即张博源研究的不是莎士比亚，②不正确即刘雨恒研究的肯定是曹雪芹．这样的话莎士比亚没人研究了，所以此假设错误；

前两次假设都是错误的，那么“刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹”就是老师猜对了的那个，那么其他两句话是猜错的，即高家铭自然研究莎士比亚，那么张博源只能研究曹雪芹，刘雨恒研究雨果；故顺序为曹雪芹、莎士比亚、雨果，故选A.

此题利用排除法，对于A对于B，一个不满足，故排除B；对于C，满足①③，故排除C；

点睛：充分利用已知条件，利用假设法，逐一分析，讨论所有可能出现的情况，舍弃不合理的情形，最后得到问题的解答；看到此题目，我们可以根据“老师只猜对了一个”这一条件，利用假设推理的方法得出正确答案．具体方法为假设老师的第一句话正确，推理其它两句话正确与否，根据“老师只猜对了一个”这一条件来判断假设是否正确.

9．用数学归纳法证明（，）成立时，第二步归纳假设的正确写法为（   ）

A．假设时，命题成立 B．假设（）时，命题成立

C．假设（）时，命题成立 D．假设（）时，命题成立

【答案】C

【解析】

因为命题中条件是，因此假设为：假设时，命题成立，故选C．

10．甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖.甲说：“乙或丙未获奖”；乙说：“甲、丙都获奖”；丙说：“我未获奖”；丁说：“乙获奖”.四位同学的话恰有两句是对的，则（    ）

A．甲和乙不可能同时获奖    B．丙和丁不可能同时获奖

C．乙和丁不可能同时获奖    D．丁和甲不可能同时获奖

【答案】C

【解析】若甲乙丙同时获奖，则甲丙的话错，乙丁的话对；符合题意；

若甲乙丁同时获奖，则乙的话错，甲丙丁的话对；不合题意；

若甲丙丁同时获奖，则丙丁的话错，甲乙的话对；符合题意；；

若丙乙丁同时获奖，则甲乙丙的话错，丁的话对；不合题意；

因此乙和丁不可能同时获奖，选C.

11．已知，，，，若，则的值为（  ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】C

【解析】

通过归纳得，故解得.

12．由正整数组成的数对按规律排列如下：，，，，， ，，，， ，， ，…．若数对 满足，其中，则数对排在（　　）

A．第351位 B．第353位 C．第378位 D．第380位

【答案】B

【详解】

（673为质数），故 或者，，

得，在所有数对中，两数之和不超过27的有 个，

在两数之和为28的数对中，为第二个（第一个是）,故数对排在第位，

故选B

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13．在平面内，三角形的面积为，周长为，则它的内切圆的半径．在空间中，三棱锥的体积为，表面积为，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径__________．

【答案】

【解析】

试题分析：若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径”证明如下：

设三棱锥的四个面积分别为：，

由于内切球到各面的距离等于内切球的半径

∴

∴内切球半径

考点：类比推理

14．已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，并有＝＋＋；那么，对于公比为的等比数列，设其前项积为，则，，及满足的一个关系式是                               ．

【答案】＝

【详解】

等差数列中类比到等比数列结论为：．

15．已知双曲正弦函数和双曲作弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论______________.

【答案】

【解析】

试题分析：答案：.

由右边

左边，故知填入，，之一也可．

16．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：

…

…

根据上述分解规律，若，的分解中最小的正整数是21，则    .

【答案】

【解析】

试题分析：

由已知得

∵的分解中最小的数是21，

∴，

,

故答案为.

三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17（10分）．如图1，杨辉三角是我国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》中列出的一张图表，如图2，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，会得到一个数列，其中，，…设数列的前项和为．

（1）求的值，并写，，出满足的递推关系式（不用证明）；

（2）记，用表示．

【答案】（1）；；（2）.

【详解】

（1）；．         

（2）因为，，…，，         

相加得，

所以，所以．

18（12分）．设数列满足，.

（1）计算，.猜想的通项公式并利用数学归纳法加以证明；

（2）记，求数列的前n项和.

【答案】（1），，；证明见解析；（2）.

【详解】

（1）由题意可得，，

由数列的前三项可猜想数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

即，

证明如下：

当时，成立；

假设时，成立.

那么时，也成立.

则对任意的，都有成立；

（2）因为.

∴，①

，②

①-②得：

.

∴.

19（12分）．（1）用数学归纳法证明：当时，

（，且，）；

（2）求的值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）根据数学归纳法格式逐一证明，主要用到两角差正弦公式给以论证（2）先对等式两边分别求导，再取自变量为，即得所求的值

试题解析：（1）①当时，等式右边

等式左边，等式成立.

②假设当时等式成立，

即 .

那么，当时，有

这就是说，当时等式也成立.

根据①和②可知，对任何等式都成立.

（2）由（2）可知， ，

两边同时求导，得

所以

所以 .

20（12分）．（1）当时，试用分析法证明：；

（2）已知，.求证：中至少有一个不小于0.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

试题分析: (1)利用分析法和不等式的性质进行证明;(2)利用反证法进行证明即可.

试题解析:

(1)要证

即证           

只要证

即证

即证

只要证

而上式显然成立                     

所以 成立         

（2）假设 且                     

由得                     

由得，                     

这与矛盾                            

所以假设错误

所以中至少有一个不小于0

21（12分）．已知多项式.（Ⅰ）求及的值；（Ⅱ）试探求对一切整数n，是否一定是整数？并证明你的结论．

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.

【详解】

（1）∵，∴f（1）＝1； f（﹣1）＝0．

（2）对一切整数n，f（n）一定是整数．证明如下：

（10）先用数学归纳法证明：对一切正整数n，f（n）是整数．

①当n＝1时，f（1）＝1，结论成立．

②假设当n＝k（k≥1，k∈N*）时，结论成立，即是整数，

则当n＝k+1时，f（k）+k4+4k3+6k2+4k+1，

根据假设f（k）是整数，而k4+4k3+6k2+4k+1显然是整数，故f（k+1）是整数，从而当n＝k+1时，结论也成立．

由①、②可知对对一切正整数n，f（n）是整数．…（7分）

（20）当n＝0时，f（0）＝0是整数．…（8分）

（30）当n为负整数时，令n＝﹣m，则m是正整数，由（1）f（m）是整数，

所以f（m）+m4是整数．

综上，对一切整数n，f（n）一定是整数．

22（12分）．在正整数集上定义函数，满足，且．

（1）求证：；

（2）是否存在实数a，b，使，对任意正整数n恒成立，并证明你的结论．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）由，整理得，根，根据递推关系先求出，，进而可得结果；（2）由，，可得，再利用数学归纳法证明即可.

试题解析：（1）因为，整理得，

由，代入得，，

所以．

（2）由，，可得．   

以下用数学归纳法证明

存在实数，，使成立．

① 当时，显然成立．   

② 当时，假设存在，使得成立，

那么，当时，

，

即当时，存在，使得成立．

由①，②可知，存在实数，，使对任意正整数n恒成立．