高中4.1 数列的概念精品第2课时同步达标检测题

这是一份高中4.1 数列的概念精品第2课时同步达标检测题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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一、选择题


1．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则数列{an}的一个通项公式为( )


A．an＝nB．an＝n＋1


C．an＝2nD．an＝2n－1


D [由题知a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝15，经验证，选D.]


2．已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝eq \f(2,an)＋1，则这个数列的第4项是( )


A．eq \f(11,7) B．eq \f(11,5) C．eq \f(21,11) D．6


B [由an＋1＝eq \f(2,an)＋1，a1＝1得，a2＝eq \f(2,a1)＋1＝3，a3＝eq \f(2,a2)＋1＝eq \f(5,3)，a4＝eq \f(2,a3)＋1＝eq \f(11,5).故选B.]


3．已知数列{an}中，a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，则a2 020＝( )


A．6B．－6


C．3D．－3


D [a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，…，∴周期为6，即an＋6＝an.∴a2 020＝a6×336＋4＝a4＝－3.所以D选项是正确的．]


4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5等于( )


A．－16B．16


C．31D．32


B [由Sn＝2an－1知a1＝S1＝2a1－1，∴a1＝1，又n≥2时an＝Sn－Sn－1＝2an－1－2an－1＋1，∴an＝2an－1.∴n＝2，3，4，5时，a2＝2a1＝2，a3＝2a2＝4，a4＝2a3＝8，a5＝2a4＝16.故选B.]


5．数列{an}定义如下：a1＝1，当n≥2时，an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋a\s\d6(\f(n,2))n为偶数，,\f(1,an－1)n为奇数，))若an＝eq \f(1,4)，则n的值等于( )


A．7B．8


C．9D．10


C [因为a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝eq \f(1,a2)＝eq \f(1,2)，a4＝1＋a2＝3，a5＝eq \f(1,a4)＝eq \f(1,3)，a6＝1＋a3＝eq \f(3,2)，a7＝eq \f(1,a6)＝eq \f(2,3)，a8＝1＋a4＝4，a9＝eq \f(1,a8)＝eq \f(1,4)，所以n＝9.]


二、填空题


6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n＋1，n∈N*，则an＝________.


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4，n＝1,4n－1，n≥2)) [根据递推公式，可得Sn－1＝2(n－1)2＋(n－1)＋1，


由通项公式与求和公式的关系，可得an＝Sn－Sn－1，代入化简得an＝2n2＋n＋1－2(n－1)2－(n－1)－1＝4n－1.


经检验，当n＝1时，S1＝4，a1＝3，所以S1≠a1，∴an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4，n＝1，,4n－1，n≥2.))]


7．已知数列{an}中，a1＝eq \f(1,4)，an＝1－eq \f(1,an－1)(n≥2)，则a2 020的值是________．


eq \f(1,4) [数列{an}中，a1＝eq \f(1,4)，an＝1－eq \f(1,an－1)(n≥2)，


可得a2＝－3；a3＝eq \f(4,3)；a4＝eq \f(1,4)；所以数列的周期为3，a2 020＝a673×3＋1＝a1＝eq \f(1,4).]


8．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an＋eq \f(1,nn＋1)(n∈N*)，则a10的值为________．


eq \f(19,10) [法一：由an＋1＝an＋eq \f(1,nn＋1)得an＋1－an＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，故a2－a1＝1－eq \f(1,2)，


a3－a2＝eq \f(1,2)－eq \f(1,3)，a4－a3＝eq \f(1,3)－eq \f(1,4)，…，a10－a9＝eq \f(1,9)－eq \f(1,10)，所以累加得a10－a1＝1－eq \f(1,10)，a10＝eq \f(19,10).


法二：由an＋1＝an＋eq \f(1,nn＋1)，得an＋1＋eq \f(1,n＋1)＝an＋eq \f(1,n)，故a10＋eq \f(1,10)＝a1＋1＝2，即a10＝eq \f(19,10).]


三、解答题


9．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq \f(3an,an＋3)(n∈N*)，求通项an.


[解] 将an＋1＝eq \f(3an,an＋3)两边同时取倒数得：


eq \f(1,an＋1)＝eq \f(an＋3,3an)，


则eq \f(1,an＋1)＝eq \f(1,an)＋eq \f(1,3)，


即eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(1,3)，


∴eq \f(1,a2)－eq \f(1,a1)＝eq \f(1,3)，eq \f(1,a3)－eq \f(1,a2)＝eq \f(1,3)，…，eq \f(1,an)－eq \f(1,an－1)＝eq \f(1,3)，


把以上这(n－1)个式子累加，


得eq \f(1,an)－eq \f(1,a1)＝eq \f(n－1,3).


∵a1＝1，∴an＝eq \f(3,n＋2)(n∈N*)．


10．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,7)))eq \s\up12(n)，试求数列{an}的最大项．


[解] 假设第n项an为最大项，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n＋2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,7)))eq \s\up12(n)≥n＋1·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,7)))eq \s\up12(n－1)，,n＋2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,7)))eq \s\up12(n)≥n＋3·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,7)))eq \s\up12(n＋1)，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n≤5，,n≥4，))即4≤n≤5，


所以n＝4或5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝eq \f(65,74).





11．(多选题)已知函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)，x≤\f(1,2)，,2x－1，\f(1,2)