人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.1 数列的概念第2课时课后作业题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.1 数列的概念第2课时课后作业题，共4页。试卷主要包含了猜想an=2等内容，欢迎下载使用。

4.1 数列的概念 第2课时 数列的递推公式与前n项和
A级　基础巩固
1.已知数列{an}的首项为a1=1,若an+1=an+,则此数列的第4项是 (　　)
A.1 B. C. D.
解析:根据递推公式结合a1=1逐个求解即可.
答案:B
2.在数列{an}中,a1=2,若an+1=an+ln,则an= (　　)
A.2+ln n B.2+(n-1)ln n
C.2+nln n D.1+n+ln n
解析:由题意,可知an+1=an+ln,
即an+1-an=ln(n+1)-ln n,
所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=lnn-ln(n-1)+ln(n-1)-ln(n-2)+…+ln 2-ln 1+2=2+ln n.
答案:A
3.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=,若an+1=则S820=(　　)
A.408 B.410
C. D.
解析:因为a1=,an+1=
所以a2=2a1-1=,a3=2a2-1=,
a4=2a3=,a5=2a4=,
所以各项以4为周期重复出现.
因为a1+a2+a3+a4=+++=2,820=205×4,
所以S820=205×2=410.
答案:B
4.数列{an}满足an+2=an+1+2an,且a1=1,a2=2,则a6=32.
5.根据下列条件,写出各数列的前4项,并归纳猜想数列的通项公式.
(1)a1=0,an+1=an+2n-1(n∈N*);
(2)a1=1,an+1=an+(n∈N*);
(3)a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N*).
解:(1)a1=0,a2=1,a3=4,a4=9.猜想an=(n-1)2.
(2)a1=1,a2=,a3=2,a4=.猜想an=.
(3)a1=2,a2=3,a3=5,a4=9.猜想an=2n-1+1.
6.在数列{an}中,a1=,an=1-(n≥2,且n∈N*).
(1)求证:an+3=an;
(2)求a1 120.
(1)证明:由题意,知an+3=1-=1-=1-=1-=1-=1-=1-(1-an)=an,所以an+3=an.
(2)解:由(1)知,数列{an}的周期T=3.
因为1 120=373×3+1,
所以a1 120=a1=.
B级　拓展提高
7.已知数列{an}满足a1=2,an=1-,记{an}的前n项之积为Tn,则T2 022= (　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
解析:由an=1-,得an+1=,
所以an+2=====1-,an+3===an,
所以数列{an}是周期为3的周期数列.
因为a1=2,所以a2===-1,a3===,
所以a1a2a3=2×(-1)×=-1.
又因为2 022=674×3,
所以T2 022==(-1)674=1.
答案:C
8.已知数列{an}的通项公式an=ncos,设前n项和为Sn,则S1 021= (　　)
A.1 021 B.1 020 C.510 D.1 008
解析:因为数列an=ncos呈周期性变化,观察此数列规律如下:a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=-6,a7=0,a8=8,…,a1 021=0,
故a1+a2+a3+a4=2,a5+a6+a7+a8=2,
所以S1 021=(a1+a2+a3+a4)+…+(a1 017+a1 018+a1 019+a1 020)+a1 021=×2+a1 021=510+0=510.
答案:C
9.已知数列{an}满足a1=1,若当n≥2时,n2(an-an-1)+an-1=0,则an=.
解析:因为当n≥2时,n2(an-an-1)+an-1=0,所以=.
当n≥2时,
nan=(n-1)an-1=·(n-2)·an-2=…=··…·×1×a1=a1=,
所以an=.
因为当n=1时,=1=a1,所以an=.
10.设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)·-n+an+1an=0(n∈N*),求数列{an}的通项公式.
解:因为(n+1)-n+an+1an=0,
所以(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0.
又因为an>0,所以an+1+an>0.
所以(n+1)an+1-nan=0,即=.
所以当n≥2时,an=···…···a1=×××…×××1=.
又因为a1=1也适合此式,所以an=.
11.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且Sn=an(n+1).
(1)求a2,a3;
(2)求数列{an}的通项公式.
解:(1)因为a1=1,且Sn=an(n+1),
所以当n=2时,1+a2=×3a2,解得a2=2;
当n=3时,1+2+a3=×4×a3,解得a3=3.
(2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an(n+1)-an-1·n,
整理,得=.
因为a2=2,
所以==…===1,所以an=n.
因为当n=1时也成立,
所以an=n.
C级　挑战创新
12.多空题设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=n2-4n,则a1=-3,a4+a5=8.
解析:因为Sn=n2-4n,
所以当n=1时,a1=S1=-3.
a4+a5=S5-S3=8.
13.多空题若数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+1,bn=(-1)n(an-2)(n∈N*),则数列{an}的通项公式为an=,数列{bn}的前50项和为49.
解析:由题可知,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n+1-(n-1)2-(n-1)-1=2n.
当n=1时,a1=S1=12+1+1=3.
所以an=
因为bn=(-1)n(an-2),
所以bn=
所以数列{bn}的前50项和为-1+2×1-2×2+2×3-2×4+…+2×49=-1+2×(1-2+3-4+…+49)=-1+2×25=49.
14.多空题定义“等积数列”:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的乘积都等于同一个不为零的常数,那么这个数列叫做等积数列,这个常数叫做等积数列的公积.已知数列{an}是首项 a1=2,公积为-6的等积数列,则a3=2,数列{an}的前n项和Sn=
解析:因为数列{an}是等积数列,a1=2,公积为-6,
所以a2=-3,a3=2,a4=-3……
所以前n项的和Sn=2+(-3)+2+(-3)+….
当n=2k时,有k个2,k个-3,
所以S2k=2k-3k=-k,即当n为偶数时,Sn=-.
当n=2k+1时,有(k+1)个2,k个-3,
所以S2k+1=2(k+1)-3k=-k+2,
即当n为奇数时,Sn=-,
所以Sn=