数学人教A版 (2019)第四章 数列4.1 数列的概念精品同步训练题

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第1课时 数列的概念及通项公式
学习目标
1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.
2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.
3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项.
4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．
知识点一 数列及其有关概念
1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．
2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
思考 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？
答案 不是．顺序不一样．
知识点二 数列的分类
知识点三 函数与数列的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．
知识点四 数列的单调性
知识点五 通项公式
1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
思考 既然数列是一类特殊的函数，那么表示数列除了用通项公式外，还可以用哪些方法？
答案 还可以用列表法、图象法．
1．1,1,1,1是一个数列．( √ )
2．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}．( × )
3．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列．( × )
4．an与{an}表达不同的含义．( √ )
一、数列的有关概念和分类
例1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？
(1)1,0.84,0.842,0.843，…；
(2)2,4,6,8,10，…；
(3)7,7,7,7，…；
(4)eq \f(1,3)，eq \f(1,9)，eq \f(1,27)，eq \f(1,81)，…；
(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；
(6)0，－1,2，－3,4，－5，….
解 (5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常数列．
反思感悟 (1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断．
(2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外．
跟踪训练1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？
(1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021； (2)0，eq \f(1,2)，eq \f(2,3)，…，eq \f(n－1,n)，…；
(3)1，eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，…，eq \f(1,2n－1)，…； (4)－eq \f(1,1×2)，eq \f(1,2×3)，－eq \f(1,3×4)，eq \f(1,4×5)，…；
(5)1,0，－1，…，sin eq \f(nπ,2)，…； (6)9,9,9,9,9,9.
解 (1)(6)是有穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(6)是常数列．
二、由数列的前几项写出数列的一个通项公式
例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)－1，eq \f(1,2)，－eq \f(1,3)，eq \f(1,4)； (2)eq \f(1,2)，2，eq \f(9,2)，8； (3)0,1,0,1； (4)9,99,999,9 999.
解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，
所以它的一个通项公式为an＝eq \f(－1n,n)，n∈N*.
(2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：eq \f(1,2)，eq \f(4,2)，eq \f(9,2)，eq \f(16,2)，…，
所以它的一个通项公式为an＝eq \f(n2,2)，n∈N*.
(3)这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，n为奇数，,1，n为偶数，))由第(1)题也可以写成an＝eq \f(1＋－1n,2)(n∈N*)或an＝eq \f(1＋cs nπ,2)(n∈N*)．
(4)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*.
反思感悟 根据数列的前几项求通项公式的解题思路
(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等．
(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式．
(3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号．
(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．
跟踪训练2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)－eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(5,8)，eq \f(13,16)； (2)eq \f(22－1,2)，eq \f(32－1,3)，eq \f(42－1,4)，eq \f(52－1,5)； (3)7,77,777,7 777.
解 (1)各项分母分别为21,22,23,24，易看出第1,2,3,4项分子分别比分母少了3，
则原数列可化为eq \f(21－3,21)，eq \f(22－3,22)，eq \f(23－3,23)，eq \f(24－3,24)，所以它的一个通项公式为an＝eq \f(2n－3,2n)，n∈N*.
(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，
所以它的一个通项公式为an＝eq \f(n＋12－1,n＋1)，n∈N*.
(3)这个数列的前4项可以变为eq \f(7,9)×9，eq \f(7,9)×99，eq \f(7,9)×999，eq \f(7,9)×9 999，
即eq \f(7,9)×(10－1)，eq \f(7,9)×(100－1)，eq \f(7,9)×(1 000－1)，eq \f(7,9)×(10 000－1)，
即eq \f(7,9)×(10－1)，eq \f(7,9)×(102－1)，eq \f(7,9)×(103－1)，eq \f(7,9)×(104－1)，
所以它的一个通项公式为an＝eq \f(7,9)×(10n－1)，n∈N*.
三、数列通项公式的简单应用
例3 已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N*.
(1)写出数列的前3项；
(2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项．
解 (1)在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3项分别为1,6,15.
(2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－eq \f(9,2)(舍去)，故45是数列{an}中的第5项．
令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝eq \f(3,2)，故3不是数列{an}中的项．
反思感悟
(1)利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
(2)判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．
跟踪训练3 已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72.
(1)求实数q的值；
(2)判断－81是否为此数列中的项．
解 (1)由题意知q4－q2＝72，则q2＝9或q2＝－8(舍去)，∴q＝±3.
(2)当q＝3时，an＝3n.显然－81不是此数列中的项；
当q＝－3时，an＝(－3)n.令(－3)n＝－81，无解，∴－81不是此数列中的项．
延伸探究
已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，n∈N*.问当n为何值时，an取得最小值？并求出最小值．
解 ∵an＝n2－5n＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(5,2)))2－eq \f(9,4)，∴当n＝2或3时，an取得最小值，为a2＝a3＝－2.
数列单调性的应用
典例 已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n，n∈N*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．
解 方法一 an＋1－an＝(n＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n＋1－(n＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n＝eq \f(9－n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n,11)，
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1a11>a12>…，
故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))9.
方法二 根据题意，令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an－1≤an，,an≥an＋1，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n－1≤n＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n，,n＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n≥n＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n＋1，))解得9≤n≤10.
又n∈N*，则n＝9或n＝10.故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))9.
[素养提升] (1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件．
(2)可以利用不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an－1≤an，,an≥an＋1，))找到数列的最大项；利用不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an－1≥an，,an≤an＋1，))找到数列的最小项．
(3)通过数列单调性的应用，培养数学抽象、数学运算等核心素养.
1．下列说法正确的是( )
A．数列1,3,5,7，…，2n－1可以表示1,3,5,7，…
B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列
C．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(n＋1,n)))的第k项为1＋eq \f(1,k)
D．数列0,2,4,6,8，…可记为{2n}
答案 C
解析 数列1,3,5,7，…，2n－1为有穷数列，而数列1,3,5,7，…为无穷数列，故A中说法错误；
数的顺序不同就是两个不同的数列，故B中说法错误；
在C中，ak＝eq \f(1＋k,k)＝1＋eq \f(1,k)，故C中说法正确；
在D中，an＝2n－2，故D中说法错误．
2．已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(1＋－1n＋1,2)，n∈N*，则该数列的前4项依次为( )
A．1,0,1,0 B．0,1,0,1
C.eq \f(1,2)，0，eq \f(1,2)，0 D．2,0,2,0
答案 A
解析 把n＝1,2,3,4依次代入通项公式，得a1＝eq \f(1＋－11＋1,2)＝1，a2＝eq \f(1＋－12＋1,2)＝0，
a3＝eq \f(1＋－13＋1,2)＝1，a4＝eq \f(1＋－14＋1,2)＝0.
3．(多选)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )
A．1，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，…，eq \f(1,n)，…
B．sin eq \f(π,7)，sin eq \f(2π,7)，sin eq \f(3π,7)，…，sin eq \f(nπ,7)，…
C．－1，－eq \f(1,2)，－eq \f(1,4)，－eq \f(1,8)，…，－eq \f(1,2n－1)，…
D．1，eq \r(2)，eq \r(3)，…，eq \r(n)，…
答案 CD
解析 选项C，D既是无穷数列又是递增数列．
4．已知数列eq \r(3)，eq \r(7)，eq \r(11)，eq \r(15)，…，则该数列的一个通项公式是________________，5eq \r(3)是该数列的第________项．
答案 an＝eq \r(4n－1)(n∈N*) 19
解析 由给出的前几项可归纳出an＝eq \r(4n－1)(n∈N*)．故由eq \r(4n－1)＝5eq \r(3)＝eq \r(75)，得4n－1＝75，
所以n＝19，即5eq \r(3)是该数列的第19项．
5．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是__________________．
答案 an＝2n＋1，n∈N*
1．知识清单：
(1)数列及其有关概念．
(2)数列的分类．
(3)函数与数列的关系．
(4)数列的单调性．
(5)数列的通项公式．
2．方法归纳：观察、归纳、猜想．
3．常见误区：归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系．
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．数列可以用图象来表示
B．数列的通项公式不唯一
C．数列中的项不能相等
D．数列可以用一群孤立的点表示
答案 ABD
解析 数列中的项可以相等，如常数列，故选项C中说法不正确．
2．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是( )
A．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N* B．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*
C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N* D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*
答案 A
解析 数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*.
3．数列eq \f(2,3)，eq \f(4,5)，eq \f(6,7)，eq \f(8,9)，…的第10项是( )
A.eq \f(16,17) B.eq \f(18,19) C.eq \f(20,21) D.eq \f(22,23)
答案 C
解析 由题意知数列的通项公式是an＝eq \f(2n,2n＋1)(n∈N*)，所以a10＝eq \f(2×10,2×10＋1)＝eq \f(20,21).
4．设an＝eq \f(1,n)＋eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋eq \f(1,n＋3)＋…＋eq \f(1,n2)(n∈N*)，则a2等于( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)＋eq \f(1,3) C.eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4) D.eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,5)
答案 C
解析 ∵an＝eq \f(1,n)＋eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋eq \f(1,n＋3)＋…＋eq \f(1,n2)(n∈N*)，∴a2＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4).
5．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的通项公式为( )
A．an＝eq \f(1,9)(10n－1)，n∈N* B．an＝eq \f(2,9)(10n－1)，n∈N*
C．an＝eq \f(1,3)(1－eq \f(1,10n))，n∈N* D．an＝eq \f(3,10)(10n－1)，n∈N*
答案 C
解析 因为数列0.9,0.99,0.999,0.999 9，…的通项公式为1－eq \f(1,10n)，而数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的每一项都是上面数列对应项的eq \f(1,3)，所以an＝eq \f(1,3)(1－eq \f(1,10n))，n∈N*.
6．323是数列{n(n＋2)}的第________项．
答案 17
解析 由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(负值舍去)．∴323是数列{n(n＋2)}的第17项．
7．若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，n∈N*则a2n＝________；eq \f(a2,a3)＝________.
答案 3－4n eq \f(1,5)
解析 因为an＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n，eq \f(a2,a3)＝eq \f(3－22,3－23)＝eq \f(1,5).
8．已知数列{an}的通项公式为an＝2 020－3n，则使an>0成立的正整数n的最大值为________．
答案 673
解析 由an＝2 020－3n>0，得n9．写出下列各数列的一个通项公式：
(1)4,6,8,10，…； (2)eq \f(1,2)，eq \f(3,4)，eq \f(7,8)，eq \f(15,16)，eq \f(31,32)，…； (3)－1，eq \f(8,5)，－eq \f(15,7)，eq \f(24,9)，….
解 (1)各项是从4开始的偶数，所以an＝2n＋2，n∈N*.
(2)每一项分子比分母少1，而分母可写成21,22,23,24,25，…，分子分别比分母少1，
故所求数列的通项公式可写为an＝eq \f(2n－1,2n)，n∈N*.
(3)通过观察，数列中的数正、负交替出现，且先负后正，则选择(－1)n.又第1项可改写成分数－eq \f(3,3)，则每一项的分母依次为3,5,7,9，…，可写成(2n＋1)的形式．分子为3＝1×3,8＝2×4,15＝3×5,24＝4×6，…，可写成n(n＋2)的形式．所以此数列的一个通项公式为an＝(－1)n·eq \f(nn＋2,2n＋1)，n∈N*.
10．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a2 020；
(3)2 020是否为数列{an}中的项？
解 (1)设an＝kn＋b(k≠0)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＋b＝2，,17k＋b＝66，))解得k＝4，b＝－2.∴an＝4n－2，n∈N*.
(2)a2 020＝4×2 020－2＝8 078.
(3)令2 020＝4n－2，解得n＝505eq \f(1,2)∉N*，∴2 020不是数列{an}中的项．
11．(多选)数列eq \r(2)，0，eq \r(2)，0，…的通项公式可以是( )
A．an＝eq \f(\r(2),2)[1－(－1)n](n∈N*) B．an＝eq \r(1＋－1n)(n∈N*)
C．an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(2)，n为奇数,0，n为偶数))(n∈N*) D．an＝eq \f(\r(2),2)(1－cs nπ)(n∈N*)
答案 ACD
解析 经代入检验，A，C，D均可以作为已知数列的通项公式．
12．已知an＝eq \f(n2－21n,2)，则数列{an}中相等的连续两项是( )
A．第9项，第10项 B．第10项，第11项
C．第11项，第12项 D．第12项，第13项
答案 B
解析 假设an＝an＋1，则有eq \f(n2－21n,2)＝eq \f(n＋12－21n＋1,2)，解得n＝10，所以相等的连续两项是第10项和第11项．
13．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－ax－3，x≤7，,ax－6，x>7，))数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，3)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，3))
C．(1,3) D．(2,3)
答案 D
解析 结合函数的单调性，要使数列{an}递增，则应有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－a>0，,a>1，,a7＝3－a×7－314．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝________.
答案 61
解析 f(1)＝1＝2×1×0＋1，f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1，f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1，
f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1，故f(n)＝2n(n－1)＋1.当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61.
15．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为( )
A．an＝n，n∈N* B．an＝eq \r(n＋1)，n∈N*
C．an＝eq \r(n)，n∈N* D．an＝n2，n∈N*
答案 C
解析 ∵OA1＝1，OA2＝eq \r(2)，OA3＝eq \r(3)，…，OAn＝eq \r(n)，…，
∴a1＝1，a2＝eq \r(2)，a3＝eq \r(3)，…，an＝eq \r(n)，….
16．在数列{an}中，an＝eq \f(n2,n2＋1).
(1)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；
(2)区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))内有没有数列中的项？若有，有几项？
(1)证明 因为an＝eq \f(n2,n2＋1)＝1－eq \f(1,n2＋1)(n∈N*)，
所以0(2)解 令eq \f(1,3)解得n＝1，即在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))内有且只有1项a1.
第2课时 数列的递推公式
学习目标
1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.
2.了解用累加法、累乘法由递推公式求通项公式.
3.会由数列{an}的前n项和Sn求数列{an}的通项公式．
知识点一 数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
思考 仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列吗？
答案 不能．知道了首项和递推公式，才能确定这个数列．
知识点二 数列的前n项和Sn与an的关系
1．把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
1．在数列{an}中，若an＋1＝2an，n∈N*，则a2＝2a1.( √ )
2．利用an＋1＝2an，n∈N*可以确定数列{an}．( × )
3．递推公式是表示数列的一种方法．( √ )
4．S2n表示数列{an}中所有偶数项的和. ( × )
一、由递推公式求数列的指定项
例1 设数列{an}满足an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,1＋\f(1,an－1)，n≥2，n∈N*.))
写出这个数列的前5项．
解 由题意可知a1＝1，a2＝1＋eq \f(1,a1)＝2，a3＝1＋eq \f(1,a2)＝eq \f(3,2)，a4＝1＋eq \f(1,a3)＝eq \f(5,3)，a5＝1＋eq \f(1,a4)＝1＋eq \f(3,5)＝eq \f(8,5).
反思感悟 由递推公式写出数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．
(2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式．
(3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．
注意：由递推公式写出数列的项时，易忽视数列的周期的判断，导致陷入思维误区．
跟踪训练1 (1)已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝eq \f(1,2)an＋eq \f(1,2n)，则此数列的第3项是( )
A．1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(3,4) D.eq \f(5,8)
答案 C
解析 a1＝1，a2＝eq \f(1,2)a1＋eq \f(1,2)＝1，a3＝eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,2×2)＝eq \f(3,4).
(2)已知数列{an}满足an＋1＝1－eq \f(1,an)，且a1＝2，则a2 020的值为( )
A.eq \f(1,2) B．－1 C．2 D．1
答案 C
解析 由an＋1＝1－eq \f(1,an)及a1＝2，得a2＝eq \f(1,2)，a3＝－1，a4＝2，…，至此可发现数列{an}是周期为3的周期数列：2，eq \f(1,2)，－1,2，eq \f(1,2)，－1，….而2 020＝673×3＋1，故a2 020＝a1＝2.
二、由递推公式求通项公式
例2 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，则an等于( )
A.eq \f(1,n) B.eq \f(2n－1,n) C.eq \f(n－1,n) D.eq \f(1,2n)
答案 B
解析 方法一 (归纳法) 数列的前5项分别为a1＝1，a2＝1＋1－eq \f(1,2)＝2－eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，
a3＝eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＝2－eq \f(1,3)＝eq \f(5,3)，a4＝eq \f(5,3)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＝2－eq \f(1,4)＝eq \f(7,4)，a5＝eq \f(7,4)＋eq \f(1,4)－eq \f(1,5)＝2－eq \f(1,5)＝eq \f(9,5)，
又a1＝1，由此可得数列的一个通项公式为an＝eq \f(2n－1,n).
方法二 (迭代法) a2＝a1＋1－eq \f(1,2)，a3＝a2＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)，…，an＝an－1＋eq \f(1,n－1)－eq \f(1,n)(n≥2)，
则an＝a1＋1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,n－1)－eq \f(1,n)＝2－eq \f(1,n)＝eq \f(2n－1,n)(n≥2)．
又a1＝1，所以an＝eq \f(2n－1,n)(n∈N*)．
方法三 (累加法) an＋1－an＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，a1＝1，a2－a1＝1－eq \f(1,2)，a3－a2＝eq \f(1,2)－eq \f(1,3)，a4－a3＝eq \f(1,3)－eq \f(1,4)，…
an－an－1＝eq \f(1,n－1)－eq \f(1,n)(n≥2)，以上各项相加得an＝1＋1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,n－1)－eq \f(1,n).所以an＝eq \f(2n－1,n)(n≥2)．
因为a1＝1也适合上式，所以an＝eq \f(2n－1,n)(n∈N*)．
反思感悟 由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．
(2)迭代法、累加法或累乘法：递推公式对应的有以下几类：
①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；
②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；
③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决．
跟踪训练2 (1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋eq \r(n＋1)－eq \r(n)(n≥2)，求an.
解 因为an＝an－1＋eq \r(n＋1)－eq \r(n)(n≥2)，所以an－an－1＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝(eq \r(n＋1)－eq \r(n))＋(eq \r(n)－eq \r(n－1))＋…＋(eq \r(3)－eq \r(2))＋1＝eq \r(n＋1)－eq \r(2)＋1.又a1＝1也符合上式，
所以an＝eq \r(n＋1)－eq \r(2)＋1，n∈N*.
(2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，求an.
解 因为ln an－ln an－1＝1，所以ln eq \f(an,an－1)＝1，即eq \f(an,an－1)＝e(n≥2)．
所以an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·…·eq \f(a2,a1)·a1＝en－1(n≥2)，
又a1＝1也符合上式，所以an＝en－1，n∈N*.
三、利用Sn与an的关系求通项公式
例3 设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求a1及an.
解 因为Sn＝2n2－30n，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32. 验证当n＝1时上式成立，
所以an＝4n－32，n∈N*.
延伸探究
将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an.
解 因为Sn＝2n2－30n＋1，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]＝4n－32.
当n＝1时不符合上式．
所以an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－27，n＝1，,4n－32，n≥2.))
反思感悟 由Sn求通项公式an的步骤
(1)当n＝1时，a1＝S1.
(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.
(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；
否则数列{an}的通项公式要分段表示为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
跟踪训练3 已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an.
(1)Sn＝2n2＋3n＋2； (2)Sn＝3n－1.
解 (1)当n＝1时，a1＝S1＝7，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n＋2)－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝4n＋1，
又a1＝7不适合上式，所以an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7，n＝1，,4n＋1，n≥2.))
(2)当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2×3n－1，显然a1＝2适合上式，
所以an＝2×3n－1(n∈N*)．
1．已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4的值为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 D
解析 因为a1＝2，an＋1＝an＋n，所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3，a3＝a2＋2＝3＋2＝5，a4＝a3＋3＝5＋3＝8.
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于( )
A．36 B．35 C．34 D．33
答案 C
解析 a2＝S2－S1＝22－2×2－(12－2×1)＝1，a18＝S18－S17＝182－2×18－(172－2×17)＝33.
∴a2＋a18＝34.
3．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2 020的值为( )
A．2 B．1 C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
答案 B
解析 因为an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，由a1＝1，a2＝2，得a3＝2，由a2＝2，a3＝2，得a4＝1，由a3＝2，a4＝1，得a5＝eq \f(1,2)，由a4＝1，a5＝eq \f(1,2)，得a6＝eq \f(1,2)，由a5＝eq \f(1,2)，a6＝eq \f(1,2)，得a7＝1，由a6＝eq \f(1,2)，a7＝1，得a8＝2，由此推理可得数列{an}是一个周期为6的周期数列，所以a2 020＝a336×6＋4＝a4＝1.
4．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝n2＋n，则an＝________.
答案 2n，n∈N*
解析 ∵Sn＝n2＋n，∴当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n，验证当n＝1时上式成立．∴an＝2n，n∈N*.
5．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可以是an＝an－1＋________(n∈N*，n≥2)．由a10＝55，则a12＝________.
答案 n 78
解析 由已知，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，所以递推公式可以写成an＝an－1＋n.
所以a12＝a11＋12＝a10＋11＋12＝78.
1．知识清单：
(1)数列的递推公式．
(2)数列的前n项和Sn与an的关系．
2．方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法．
3．常见误区：累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式；由Sn求an时忽略验证n=1时的情况.
1．已知数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2，n∈N*)，且a1＝0，则此数列的第5项是( )
A．15 B．255 C．16 D．63
答案 B
解析 由递推公式，得a2＝3，a3＝15，a4＝63，a5＝255.
2．数列eq \f(1,2)，－eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，－eq \f(1,16)，…的第n项an与第n＋1项an＋1的关系是( )
A．an＋1＝2an B．an＋1＝－2an C．an＋1＝eq \f(1,2)an D．an＋1＝－eq \f(1,2)an
答案 D
3．(多选)数列2,4,6,8,10，…的递推公式是( )
A．an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*) B．an＝2an－1(n≥2，n∈N*)
C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*) D．a1＝2，an＋1＝an＋2(n∈N*)
答案 CD
解析 A，B中没有说明某一项，无法递推．
4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项公式an等于( )
A．n2＋1 B．n＋1
C．1－n D．3－n
答案 D
解析 ∵an＋1－an＝－1.∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.当n＝1时，a1＝2也符合上式．
故数列的通项公式an＝3－n(n∈N*)．
5．(多选)已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，下列说法正确的是( )
A．a1＝3 B．an＝2n(n≥2)
C．an＝2n D．an＝2n(n≥2)
答案 AD
解析 Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n.当n＝1时，不符合上式，
故an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3，n＝1，,2n，n≥2.))
6．已知在数列{an}中，a1＝2，an＝－eq \f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，则a2 020＝________.
答案 －eq \f(1,2)
解析 ∵a2＝－eq \f(1,a1)＝－eq \f(1,2)，a3＝－eq \f(1,a2)＝2＝a1，a4＝－eq \f(1,2)＝a2，∴{an}的周期为2，∴a2 020＝a2＝－eq \f(1,2).
7．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2，n∈N*，则an＝________.
答案 －2n＋1，n∈N*
解析 由an＝Sn－Sn－1(n≥2)得an＝1－2n，当n＝1时，a1＝S1＝－1也符合上式．∴an＝－2n＋1(n∈N*)．
8．已知在数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N*)，则a9＝______.
答案 eq \f(81,64)
解析 a1a2…a8＝82，① a1a2…a9＝92，② ②÷①得，a9＝eq \f(92,82)＝eq \f(81,64).
9．已知数列{an}满足an＋1－an＝n＋2(n∈N*)，且a1＝1.
(1)求a2，a3，a4的值；
(2)令bn＝4an－68n，求数列{bn}的前4项．
解 (1)因为an＋1－an＝n＋2，且a1＝1，所以a2＝4，a3＝8，a4＝13.
(2)b1＝4a1－68×1＝4×1－68×1＝－64，
b2＝4a2－68×2＝4×4－68×2＝－120，
b3＝4a3－68×3＝4×8－68×3＝－172，
b4＝4a4－68×4＝4×13－68×4＝－220.
10．已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋eq \f(1,nn＋1)，n∈N*，求通项公式an.
解 因为an＋1－an＝eq \f(1,nn＋1)，
所以a2－a1＝eq \f(1,1×2)，a3－a2＝eq \f(1,2×3)，a4－a3＝eq \f(1,3×4)，…，an－an－1＝eq \f(1,n－1n)(n≥2)，
以上各式累加得，
an－a1＝eq \f(1,1×2)＋eq \f(1,2×3)＋…＋eq \f(1,n－1n)＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,n－1)－eq \f(1,n)＝1－eq \f(1,n).
所以an＋1＝1－eq \f(1,n)，所以an＝－eq \f(1,n)(n≥2)，
因为a1＝－1也符合上式，所以an＝－eq \f(1,n)(n∈N*)．
11．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝eq \f(an－\r(3),\r(3)an＋1)(n∈N*)，则a2 020等于( )
A．－3 B．0 C.eq \r(3) D．3
答案 B
解析 由题意知a1＝0，a2＝eq \f(－\r(3),1)＝－eq \r(3)，a3＝eq \f(－2\r(3),－3＋1)＝eq \r(3)，a4＝eq \f(\r(3)－\r(3),3＋1)＝0，a5＝eq \f(－\r(3),1)＝－eq \r(3)，…，
由此可知，an＋3＝an.所以数列{an}的周期为3，又2 020＝3×673＋1，所以a2 020＝a1＝0.
12．下图是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图．
若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列{an}，{an}的前n项和为Sn，则下列说法中正确的是( )
A．数列{an}是递增数列
B．数列{Sn}是递增数列
C．数列{an}的最大项是a11
D．数列{Sn}的最大项是S11
答案 C
解析 因为1月28日新增确诊人数小于1月27日新增确诊人数，即a7>a8，
所以{an}不是递增数列，所以选项A错误；
因为2月23日新增确诊病例数为0，所以S33＝S34，所以数列{Sn}不是递增数列，所以选项B错误；
因为1月31日新增病例数最多，从1月21日算起，1月31日是第11天，
所以数列{an}的最大项是a11，所以选项C正确；数列{Sn}的最大项是最后项，所以选项D错误．
13．已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝eq \f(n,n＋1)an，则数列{an}的最大项是( )
A．a1 B．a9
C．a10 D．不存在
答案 A
解析 因为a1>0，且an＋1＝eq \f(n,n＋1)an，所以an>0，所以eq \f(an＋1,an)＝eq \f(n,n＋1)<1，所以an＋1所以此数列为递减数列，故最大项为a1.
14．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)aeq \\al(2,n＋1)－naeq \\al(2,n)＋an＋1an＝0(n∈N*)，则它的通项公式an＝________.
答案 eq \f(1,n)
解析 方法一 (累乘法)
把(n＋1)aeq \\al(2,n＋1)－naeq \\al(2,n)＋an＋1an＝0分解因式，得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.
∵an>0，∴an＋1＋an>0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，
∴eq \f(an＋1,an)＝eq \f(n,n＋1)，∴eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·eq \f(a4,a3)·…·eq \f(an,an－1)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)×…×eq \f(n－1,n)＝eq \f(1,n)(n≥2)，∴eq \f(an,a1)＝eq \f(1,n).
又∵a1＝1，∴an＝eq \f(1,n)a1＝eq \f(1,n).又a1＝1也适合上式，∴an＝eq \f(1,n)，n∈N*.
方法二 (迭代法)
同方法一，得eq \f(an＋1,an)＝eq \f(n,n＋1)，∴an＋1＝eq \f(n,n＋1)an，
∴an＝eq \f(n－1,n)·an－1＝eq \f(n－1,n)·eq \f(n－2,n－1)·an－2＝eq \f(n－1,n)·eq \f(n－2,n－1)·eq \f(n－3,n－2)·an－3…＝eq \f(n－1,n)·eq \f(n－2,n－1)·eq \f(n－3,n－2)·…·eq \f(1,2)a1＝eq \f(1,n)a1.
又∵a1＝1，∴an＝eq \f(1,n).
方法三 (构造特殊数列法)
同方法一，得eq \f(an＋1,an)＝eq \f(n,n＋1)，∴(n＋1)an＋1＝nan，∴数列{nan}是常数列，∴nan＝1·a1＝1，∴an＝eq \f(1,n)(n∈N*)．
15．在一个数列中，如果对任意n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.
答案 28
解析 依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
16．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(an,2)，an为偶数，,3an＋1，an为奇数.))若a4＝4，求m所有可能的取值．
解 若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1，若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)，若a2为偶数，则eq \f(a2,2)＝1，a2＝2.若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝eq \f(1,3)(舍去)，
若a1为偶数，eq \f(a1,2)＝2，a1＝4；
若a3为偶数，则eq \f(a3,2)＝4，a3＝8，
若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝eq \f(7,3)(舍去)．
若a2为偶数，则eq \f(a2,2)＝8，a2＝16.
若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5.
若a1为偶数，则eq \f(a1,2)＝16，a1＝32.
故m所有可能的取值为4,5,32.
分类标准
名称
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列