考点08 期中训练之函数的应用1-2020-2021学年高一《新题速递·数学》（人教版）

考点08 期中训练之函数的应用1

1.（2020•古冶区校级期中）函数f（x）＝x+（b＞0）的单调减区间为（　　）
A．（﹣，） B．（﹣∞，﹣），（，+∞）
C．（﹣∞，﹣） D．（﹣，0），（0，）
【解答】解：函数f（x）＝x+（b＞0）
的导数为f′（x）＝1﹣，
由f′（x）＜0，即为x2＜b，
解得﹣＜x＜0或0＜x＜，
则f（x）的单调减区间为（﹣，0），（0，）．
故选：D．
【知识点】函数的单调性及单调区间
2.（2020•禅城区校级期中）已知f（x）、g（x）均为[﹣1，3]上连续不断的曲线，根据下表能判断方程f（x）＝g（x）有实数解的区间是（　　）
x
﹣1
0
1
2
3
f（x）
﹣0.677
3.011
5.432
5.980
7.651
g（x）
﹣0.530
3.451
4.890
5.241
6.892
A．（﹣1，0） B．（1，2） C．（0，1） D．（2，3）
【解答】解：设h（x）＝f（x）﹣g（x），则
∵h（0）＝f（0）﹣g（0）＝﹣0.44＜0，h（1）＝f（1）﹣g（1）＝0.532＞0，
∴h（x）的零点在区间（0，1），
故选：C．
【知识点】二分法的定义与应用
3.（2020•天心区校级期中）方程lgx+x﹣2＝0一定有解的区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【解答】解：设f（x）＝lgx+x﹣2，∵f（1）＝﹣1＜0，f（2）＝lg2＞0，f（1）f（2）＜0，
根据函数零点的判定定理可得f（x）在（1，2）内必有零点，
故选：B．
【知识点】函数零点的判定定理
4.（2020•天河区校级期中）设函数f（x）＝xlnx（x＞0），则y＝f（x）（　　）
A．在区间（，1），（1，e）内均有零点
B．在区间（，1），（1，e）内均无零点
C．在区间（，1）内有零点，在区间（1，e内无零点
D．在区间（，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点
【解答】解：令函数f（x）＝xlnx＝0，解得x＝1，
∴函数f（x）有唯一的零点x＝1，
故选：B．
【知识点】函数零点的判定定理
5.（2020•马尾区校级期中）已知f（x）是定义在[0，+∞）上单调递增的函数，则满足的x取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵f（x）是定义在[0，+∞）上单调递增的函数，
∴不等式等价为0≤2x﹣1＜，即≤x＜，
即不等式的解集为，
故选：C．
【知识点】函数的单调性及单调区间、函数单调性的性质与判断
6.（2020•天水期中）函数y＝的单调增区间是（　　）
A．（） B．（﹣∞，1] C．[﹣1，] D．[﹣1，2]
【解答】解：函数y＝，
由﹣x2+x+2≥0可得﹣1≤x≤2，
令t＝，
则y＝2t在t∈R递增，
由t＝在[﹣1，]递增，
可得函数y＝的单调增区间是[﹣1，]．
故选：C．
【知识点】函数的单调性及单调区间
7.（2020•青铜峡市校级期中）函数f（x）＝x+3|x﹣1|的单调递增区间是（　　）
A．（﹣∞，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（0，+∞）
【解答】解：函数f（x）＝x+3|x﹣1|，
当x≥1时，f（x）＝x+3x﹣3＝4x﹣3，
可得f（x）在（1，+∞）递增；
当x＜1时，f（x）＝x+3﹣3x＝3﹣2x，
可得f（x）在（﹣∞，1）递减．
故选：B．
【知识点】函数的单调性及单调区间
8.（2020•和平区期中）在下列个区间中，存在着函数f（x）＝2x3﹣3x﹣9的零点的区间是（　　）
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
【解答】解：∵函数f（x）＝2x3﹣3x﹣9是连续函数，
f（﹣1）＝﹣8，
f（0）＝﹣9，
f（1）＝﹣8，
f（2）＝1，
根据零点存在定理，
∵f（1）•f（2）＜0，
∴函数在（1，2）存在零点，
故选：C．
【知识点】函数零点的判定定理
9.（2020•天水期中）函数的单调增区间是（　　）
A． B．（﹣∞，﹣1] C． D．[﹣1，2]
【解答】解：函数y＝，
由﹣x2+x+2≥0可得﹣1≤x≤2，
令t＝，
则y＝2t在t∈R递增，
由t＝在[﹣1，]递增，
可得函数y＝的单调增区间是[﹣1，]．
故选：C．
【知识点】函数的单调性及单调区间
10.（2020•岳麓区校级期中）函数/f（x）＝（）x+3x的零点所在的区间是（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，2）
【解答】解：函数f（x）＝（）x+3x，可得f（﹣2）＝＜0，
f（﹣1）＝＜0，
f（0）＝1＞0，
f（1）＞0，
故选：C．
【知识点】函数零点的判定定理
11.（2020•碑林区校级期中）今有一组实验数据，如表：
x
1.993
3.002
4.001
5.032
6.121
y
1.501
4.413
7.498
12.04
17.93
现准备从以下函数中选择一个最能代表两个变量x、y之间的规律，则拟合最好的是（　　）
A．y＝2x﹣1+1 B． C． D．y＝﹣2x﹣2
【解答】解：把（x，y）的值分别代入y＝2x﹣1+1中，不成立，故A不是拟合最好的函数模型；
把（x，y）的值分别代入中，不成立，故B不是拟合最好的函数模型；
把（x，y）的值分别代入中，基本成立，故C是拟合最好的函数模型；
把（x，y）的值分别代入y＝﹣2x﹣2中，不成立，故D不是拟合最好的函数模型．
故选：C．
【知识点】根据实际问题选择函数类型
12.（2020•建德市期中）关于x的二次方程x2+（m﹣1）x+1＝0在区间[0，2]上有两个不同实数解，则实数m的范围是（　　）
A．[﹣，﹣1） B．（﹣，﹣1）
C．[﹣，﹣1）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【解答】解：设f（x）＝（x2+（m﹣1）x+1，
要使二次方程x2+（m﹣1）x+1＝0在区间[0，2]上有两个不同实数解，
则函数f（x）＝（x2+（m﹣1）x+1在区间[0，2]上有两个不同的零点，
则满足，即，即，
解得﹣．
故实数m的范围是﹣．
故选：A．
【知识点】函数的零点
13.（2020•扶沟县期中）函数的零点所在区间为（　　）
A． B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．
【解答】解：函数为增函数，
∵f（﹣1）＝，f（﹣2）＝，
∴函数在（﹣2，﹣1）内存在零点．
故选：B．
【知识点】函数的零点、函数单调性的性质与判断
14.（2020•红桥区期中）下列函数图象中，能用二分法求零点的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由函数图象可得，A中的函数没有零点，故不能用二分法求零点，故排除A．
B 和D中的函数有零点，但函数在零点附近两侧的符号相同，故不能用二分法求零点，故排除．
只有C中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反，故能用二分法求函数的零点，
故选：C．
【知识点】函数的图象与图象的变换、函数的零点
15.（2020•金明区校级期中）用二分法求函数f（x）的一个正实数零点时，经计算f（0.64）＜0，f（0.68）＜0，f（0.72）＞0，f（0.74）＞0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为（　　）
A．0.6 B．0.64 C．0.7 D．0.74
【解答】解：由题意根据函数零点的判定定理可得，函数零点所在的区间为（0.68，0.72），
则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值可以为0.7，
故选：C．
【知识点】二分法的定义与应用

16.（2020•惠山区期中）函数f（x）＝2x+log3x﹣8的零点有　　个．
【解答】解：函数f（x）＝2x+log3x﹣8的零点与两个函数y＝﹣2x+8与y＝log3x的交点个数相同
由右图知，函数y＝﹣2x+8与y＝log3x的图象仅有一个交点
故函数f（x）＝2x+log3x﹣8的零点有1个
故答案为 1

【知识点】函数的零点
17.（2020•盐城期中）函数f（x）＝3x﹣x3的单调增区间为　　﹣　　　　．
【解答】解：函数f（x）＝3x﹣x3的导数为f′（x）＝3﹣3x2，
令f′（x）＞0，即有x2＜1，
解得，﹣1＜x＜1．
则增区间为（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
【知识点】函数的单调性及单调区间
18.（2020•绥棱县校级期中）函数y＝（k+2）x+1在实数集上是增函数，则k的范围是　　﹣　　　　　．
【解答】解：∵函数y＝（k+2）x+1在实数集上是增函数，
当k+2＝0时，y＝1是常函数，不满足题意，
∴k+2＞0，∴k＞﹣2
故答案为：（﹣2，+∞）
【知识点】函数的单调性及单调区间
19.（2020•海陵区校级期中）函数f（x）＝（x2+3x+2）lnx的零点的集合为　　　　．
【解答】解：令f（x）＝0，
即x2+3x+2＝0或lnx＝0，
解得：x＝﹣1或x＝﹣2或x＝1，
∵x＞0，
故零点的集合是{1}，
故答案为：{1}．
【知识点】函数的零点
20.（2020•杨浦区校级期中）函数y＝x+（x＞0）的递增区间是　　　　　　　．
【解答】解：∵y＝x+（x＞0），
∴y′＝，
∵x＞0
y′≥0可得x≥2
函数y＝x+（x＞0）的递增区间是[2，+∞）
故答案为：[2，+∞）
【知识点】函数的单调性及单调区间
21.（2020•沭阳县期中）某工厂生产某种产品的月产量y与月份x之间满足关系y＝a•1.5x+b现已知该厂年1月份、2月份生产该产品分别为3万件、5万件，则此工厂3月份该产品的产量为　　万件．
【解答】解：由题意可得：，解得：a＝，b＝﹣1．
故y＝•1.5x﹣1，
当x＝3时，y＝•1.53﹣1＝8．
故答案为：8．
【知识点】根据实际问题选择函数类型

22.（2020•东海县期中）已知A，B两地相距24km．甲车、乙车先后从A地出发匀速驶向B地．甲车从A地到B地需行驶25min；乙车从A地到B地需行驶20min．乙车比甲车晚出发2min．
（1）分别写出甲、乙两车所行路程关于甲车行驶时间的函数关系式；
（2）甲、乙两车何时在途中相遇？相遇时距A地多远？
【解答】解（1）设甲车行驶时间为x（min），甲车、乙车所行路程分别为f（x）（km）、g（x）（km）．
则甲车所行路程关于行驶时间的函数为f（x）＝x＝0.96x，（0≤x≤25）；
乙车所行路程关于甲车行驶时间的函数关系式为g（x）＝．
（2）设甲、乙两车在甲车出发x（min）时途中相遇，则2＜x＜22．
于是0.96x＝1.2（x﹣2），解得x＝10，
f（10）＝9.6（km）．
答：甲、乙两车在甲车出发10min时途中相遇，相遇时距甲地9.6km．
【知识点】根据实际问题选择函数类型
23.（2020•秦淮区校级期中）（1）求函数f（x）＝x﹣的值域；
（2）求函数y＝（﹣x2+2x+1）的单调区间．
【解答】解：（1）（t≥0），则x＝t2﹣1，
所以y＝t2﹣t﹣1（t≥0），
因为抛物线y＝t2﹣t﹣1开口向上，对称轴为直线t＝，
所以当t＝时，y取得最小值为﹣，无最大值，
所以函数f（x）的值域为．
（2）设t＝﹣x2+2x+1．令﹣x2+2x+1＞0，解得1﹣＜x＜1+，
所以函数y＝log（﹣x2+2x+1）的定义域为（1﹣，1+），
∵t＝﹣（x﹣1）2+2，对称轴方程为x＝1，
∴t＝﹣x2+2x+1在（1﹣，1）上为单调增函数，而在（1，1+）上为单调减函数，
因为y＝logt为单调减函数，
∴函数y＝log（﹣x2+2x+1）的单调增区间为（1，1+），单调减区间为（1﹣，1）．
【知识点】函数的单调性及单调区间、函数的值域
24.（2020•雨花区校级期中）方程的解为　　．
【解答】解：因为lg（x）+lg（＝1，
所以x（）＝10，且x＞0，
解得x＝1
故答案为：1
【知识点】函数的零点与方程根的关系
25.（2020•武侯区校级期中）著名英国数学和物理学家IssacNewton（1643年﹣1727年）曾提出了物质在常温环境下温度变化的冷却模型．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，tmin后物体温度θ℃，可由公式θ＝θ+（θ﹣θ）e﹣kt（e为自然对数的底数）得到，这里k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正的常数．现将一个原来温度为62℃的物体放在15℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是52℃．
（Ⅰ）求k的值（精确到0.01）；
（Ⅱ）该物体从原来的62℃开始冷却多少min后温度是32℃？
（参考数据：ln≈﹣0.24，ln≈﹣0.55，ln≈﹣1.02）
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，θ1＝62，θ0＝15，当t＝1时，θ＝52，
于是52＝15+（62﹣15）e﹣k，
化简得：k＝﹣ln，
∵ln≈﹣0.24，
∴k＝0.24；
（Ⅱ）由（I）可知θ＝15+47e﹣0.24t，
∴当θ＝32时，32＝15+47e﹣0.24t，
解得：t＝4.2．
【知识点】对数的运算性质、根据实际问题选择函数类型
26.（2020•旅顺口区期中）如图所示，定义域为（﹣∞，2]上的函数y=f（x）是由一条射线及抛物线的一部分组成．利用该图提供的信息解决下面几个问题．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x关于的方程f（x）=a有三个不同解，求a的取值范围；
（3）若，求x的取值集合．

【解答】解：（1）由图知当x≤0时，f（x）为一次函数，且过点（0，2）和（﹣2，0）
设f（x）=kx+m（k≠0），则，
解得，∴f（x）=x+2．
当x∈（0，2]时，f（x）是二次函数，且过点（1，0），（2，0），（0，3）
设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），则，
解得，∴f（x）=x2﹣x+3．
综上，．
（2）当0＜x≤2时，f（x）的最小值为f（）=﹣，
∴当﹣＜a≤0时，f（x）=a有三解．
（3）当x≤0时，令x+2=，解得x=﹣．
当0＜x≤2时，令，解得或（舍去）．
综上所述，x的取值集合是．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
27.（2020•贵池区期中）某市出租车的计价标准是：3km以内（含3km）10元；超出3km但不超过18km的部分1元km；超出18km的部分2元km．
（1）如果某人乘车行驶了20km，他要付多少车费？某人乘车行驶了x km，他要付多少车费？
（2）如果某人付了22元的车费，他乘车坐了多远？某人付了10+x（x＞0）元的车费，他乘车坐了多远？
【解答】解：（1）乘车行驶了20km，付费分三部分：前3km付费10（元），3km到18km付费（18﹣3）×1＝15（元），18km到20km付费（20﹣18）×2＝4（元），故总付费10+15+4＝29（元）．
设付车费y元，当0＜x≤3时，车费y＝10；当3＜x≤18时，车费y＝10+（x﹣3）＝x+7；当x＞18时，车费y＝25+2（x﹣18）＝2x﹣11，故y＝
（2）付出22元的车费，说明此人乘车行驶的路程大于3km，且小于18km．
前3km付费10元，余下的12元乘车行驶了12km，故此人乘车行驶了15km．
即付出22元的车费，此人乘车行驶了15km．
设乘车行驶了ykm，某人付了10+x（x＞0）元的车费，故
当0＜x≤15时，y＝3+x；
当x＞15时，y＝18+＝x+．
所以y＝
【知识点】根据实际问题选择函数类型