考点08 直线的一般式方程-2020-2021学年高一《新题速递·数学》（人教版）

考点08   直线的一般式方程

一、单选题 

1．（2020·北京昌平区·昌平一中高二期中）已知直线：，：平行，则实数的值是（    ）

A．或3 B．或1 C． D．3

【答案】C

【分析】

利用直线平行的必要条件,求得的值，然后代回直线的方程，排除重合的情况.

【详解】

解：由题意得,解得或,

当时，两直线的方程都是,两直线重合，

当时，两直线的方程分别为和,两直线平行，

故选:C.

【点睛】

本题考查根据直线平行求参数的值，属基础题，直线平行的必要条件,一定要代回检验，排除重合的情况.

2．（2020·安徽省蚌埠第三中学高二月考（理））直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

将直线化为斜截式得到斜率，从而得到倾斜角.

【详解】

由得，

所以直线的斜率为，倾斜角为.

故选：C

3．（2020·湖北武汉市·高二期中）直线，的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据直线方程确定斜率，再由求出倾斜角.

【详解】

直线方程化为斜截式方程为：，

可知直线斜率，又因为，所以.

故选：A.

4．（2020·渝中区·重庆巴蜀中学高二期中）直线l的方程是，则直线l经过（    ）

A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限

【答案】A

【分析】

画出图形即可判断.

【详解】

画出直线图形如下：

由图可得直线过一、二、三象限.

故选：A.

5．（2020·河北区·天津二中高二期中）已知直线，平行，则实数a的值为（    ）

A．或 B． C． D．

【答案】B

【分析】

当与平行时，有且，然后解方程得的值即可.

【详解】

若直线，平行，

则有且，

解得：.

故选：B．

【点睛】

本题考查根据两条直线的平行求参数的值，解答时，易错解为，得或，注意当时，，与重合．

6．（2020·安徽池州市·池州一中高二期中（文））已知直线：，与：平行，则的值是（　　）

A．0或1 B．0或 C．0 D．

【答案】C

【分析】

根据直线一般式方程下直线平行的关系列式求解即可.

【详解】

解：因为对于直线（不同时为零），直线（不同时为零）；当直线时，等价于；

所以有，解得.

故选：C.

【点睛】

方法点睛：

对于直线（不同时为零），直线（不同时为零）；

当直线时，等价于；

当直线时，等价于；

7．（2020·江苏南京市·高三月考）已知，，直线：，：，且，则的最小值为（    ）

A．2 B．4 C． D．

【答案】D

【分析】

根据得到，再将化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.

【详解】

因为，所以，即，

因为，所以，

所以，

当且仅当时，等号成立.

故选：D

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

8．（2020·四川省资中县第二中学高二月考（理））已知直线：的横截距与纵截距相等，则的值为（    ）

A．1 B． C．或2 D．2

【答案】C

【分析】

由直线方程，分别令，，然后根据直线横截距与纵截距相等求解.

【详解】

由题意得：，由直线：，

令，得

令，得

因为直线：的横截距与纵截距相等，

所以，即，

解得或，

故选：C

9．（2020·秭归县第一中学高二期中）设直线过定点A，直线2kx-y-8k＝0过定点B，则直线AB的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

分别求出定点和定点，然后求即可求出倾斜角

【详解】

由，得，则点A的坐标为.由2kx-y-8k＝0，得y＝2k(x-4)，则点B的坐标为(4，0).所以，故直线AB的倾斜角为.

故选：A

10．（2020·江西高二期中（理））点，直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ）

A．或 B．或

C． D．

【答案】B

【分析】

作出图形，求出边界直线的斜率，根据图形列式可得结果.

【详解】

因为直线经过定点，直线的斜率为，

因为，，

由图可知，或，

解得或.

故选：B

【点睛】

关键点点睛：利用边界直线的斜率表示直线的斜率的取值范围是解题关键.

11．（2020·全国高三专题练习（理））若点是直线：外一点，则方程表示（    ）

A．过点且与平行的直线

B．过点且与垂直的直线

C．不过点且与平行的直线

D．不过点且与垂直的直线

【答案】C

【分析】

易知点的坐标不在直线上，根据两直线方程的一般形式中的系数相同，但不同，可得直线平行；

【详解】

∵点不在直线：上，∴，

∴直线不过点，

又直线与直线：平行，

故选：C.

12．（2020·上海杨浦区·复旦附中高二期中）已知直线与两坐标轴分别交于两点，如果△的面积为，那么满足要求的直线的条数是（    ）.

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】

按照、分类，求出截距后列方程即可得解.

【详解】

当时，直线，不合题意；

当时，

若，则，若，则，

所以，

所以或，

解得或或；

所以满足要求的直线的条数是3.

故选：C.

13．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高二期中）已知是直线上一点，是外一点，则方程表示的直线（    ）

A．与重合 B．与交于点 C．过与平行 D．过与相交

【答案】C

【分析】

由题意有可得，，，，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论．

【详解】

解：由题意有可得，，，，则方程，，，

即，，，它与直线的一次项系数相等，但常数项不相等，

故，，表示过点且与平行的直线，

故选：C ．

【点睛】

根据平行直线系方程，即两直线方程与互相平行.

14．（2020·重庆高二月考）已知直线方程为，和分别为直线上和外的点，则方程表示（    ）

A．过点且与垂直的直线 B．与重合的直线

C．过点且与平行的直线 D．不过点，但与平行的直线

【答案】C

【分析】

先判断直线与平行，再判断直线过点，得到答案.

【详解】

由题意直线方程为，则方程

两条直线平行，

为直线上的点，，，

化为，

显然满足方程，

所以表示过点且与平行的直线．

故答案选C．

【点睛】

本题考查了直线的位置关系，意在考查学生对于直线方程的理解情况.

15．（2019·湖北黄石市·高二月考）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，，若其欧拉线方程为，则顶点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

设的坐标，由重心坐标公式求重心，代入欧拉线得方程，求出的垂直平分线，联立欧拉线方程得三角形外心，外心到三角形两顶点距离相等可得另一方程，两方程联立求得点的坐标.

【详解】

设，因为，，

由重心坐标公式得重心为，

代入欧拉线方程得： ①

的中点为，，

所以的中垂线方程为， 

联立，解得

所以的外心为，

则，化简得： ②

联立①②得：或，

当时，、重合，舍去，

所以顶点的坐标是

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了直线方程的各种形式，重心坐标公式，属于中档题.

二、填空题

16．（2020·太原市·山西大附中高二月考）若直线不经过第四象限，则k的取值范围为_______．

【答案】

【分析】

直线过定点，根据点所在的象限可得斜率的取值范围.

【详解】

因为可化为，故直线过定点，

而为第二象限中的点，且直线不经过第四象限，故斜率.

故答案为：.

17．（2020·四川高二期中（理））已知直线，，若，则m值为________.

【答案】

【分析】

本题考查两直线的垂直的条件，根据两直线垂直的条件列出关于的方程，求解.

【详解】

解：直线，，

若，则,

解得,

故答案为：.

【点睛】

两直线,垂直的充分必要条件是.

18．（2020·全国高三专题练习（理））以A(1,1)，B(3,2)，C(5,4)为顶点的△ABC，其边AB上的高所在的直线方程是________.

【答案】2x＋y－14＝0

【分析】

求出直线AB的斜率，即可得出高的斜率，由点斜式即可求出.

【详解】

由A，B两点得，则边AB上的高所在直线的斜率为－2，

故所求直线方程是y－4＝－2(x－5)，即2x＋y－14＝0.

故答案为：2x＋y－14＝0.

19．（2020·全国高三专题练习（文））过两直线l1：和l2：的交点，且垂直于直线的直线方程为___________.

【答案】x+2y+9=0

【分析】

联立直线方程解方程组可得交点坐标，由垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．

【详解】

联立方程组，解得，

直线和的交点为，

直线的斜率为2，由垂直关系可得所求直线的斜率为，

所求直线的方程为，

化为一般式可得

故答案为：

【点睛】

方法点睛：求直线的方程，一般利用待定系数法，先定式，后定量.先定式，指的是根据已知条件从直线的5种形式里选择合适的一种作为直线的方程，后定量，指的是根据已知求出待定系数得解.

20．（2018·江西省信丰中学高二月考）直线与直线互相垂直,则__________

【答案】或

【分析】

由两条直线垂直的充要条件求得m的值

【详解】

直线与直线互相垂直，所以，即，解得或

【点睛】

直线与垂直的充要条件为

21．（2020·全国高三专题练习（理））过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_________．

【答案】x＋4y－4＝0

【分析】

设l1与l的交点为A(a,8－2a)，求得关于的对称点坐标，利用对称点在直线上求得，即得点坐标，从而得直线方程．

【详解】

设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，

代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，

即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.

故答案为：x＋4y－4＝0.

【点睛】

本题考查求直线方程，解题方法是根据点关于点的对称点求解，直线与已知两直线各有一个交点，是这两个交点连线段中点，因此可设其中一点坐标，由对称性表示出另一点坐标，代入第二条直线方程可求得交点坐标，从而得直线方程．

22．（2020·上海徐汇区·高二期中）在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_______．（写出所有正确命题的编号）

① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；

② 如果与都是无理数，则直线不经过任何整点；

③ 如果直线经过两个不同的整点，则直线必经过无穷多个整点；

④ 直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数．

【答案】①③

【分析】

给直线分别取不同的方程，可得到②和④的反例，同时找到符合条件①的直线；通过直线经过两个不同的整点可证得其经过无穷多个整点，③正确.

【详解】

①令直线为：，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确；

②令直线为：，则直线经过整点，②错误；

③令直线为：，过两个不同的整点，，

则，两式作差得：，

即直线经过整点，

直线经过无穷多个整点，③正确；

④令直线为：，则不过整点，④错误.

故答案为：①③.

【点睛】

本题考查对于直线方程的理解，关键是能够通过特例来否定命题和验证存在性的问题，对于学生对直线方程特点的掌握有较高的要求.

三、解答题

23．（2020·安徽六安市·六安一中高二月考（理））设直线的方程为.

（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的值；

（2）若不经过第三象限，求的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【分析】

（1）先分析斜率为的情况，然后分别考虑轴对应的截距，根据截距相等求解出的值即可；

（2）先分析过定点，然后根据条件结合图示判断出直线斜率满足的不等式，由此求解出的取值范围.

【详解】

（1）由题意知，当时不符合题意；

当时，令得，

令得，

若在两坐标轴上的截距相等，则，

解得或.

（2）直线的方程可化为，所以，

所以，所以直线过定点，

如下图所示：

若不经过第三象限，则，解得，

故实数的取值范围为.

【点睛】

思路点睛：根据直线的截距相等求解参数的常规思路：

（1）先考虑直线过坐标原点的情况；

（2）再分析直线不过坐标原点但截距相同的情况；

（3）两者综合求解出最终结果.

24．（2020·安徽池州市·池州一中高二期中（理））△ABC中∠C的平分线所在直线方程为，且A（－1，），B（4，0）.

（1）求直线AB的截距式方程；

（2）求△ABC边AB的高所在直线的一般式方程.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）设出直线的截距式方程，代入点的坐标，求解出参数的值，从而截距式方程可求；

（2）先求解出关于直线的对称点，然后根据在上求解出点坐标，再根据高所在直线的斜率与斜率的关系，从而可求解出的高所在直线的一般式方程.

【详解】

（1）设的方程为，代入点，

所以，所以，所以的截距式方程为：；

（2）设关于的对称点为，所以且在直线上，

又因为，所以，即，

又因为在上，也在上，所以，所以，所以，

又因为，设的高所在直线的一般式方程为，代入点，

所以，所以，

所以的高所在直线的一般式方程为.

【点睛】

思路点睛：点关于直线的对称点坐标的求解步骤（直线的斜率存在且不为零，已知点，直线的斜率）：

（1）设出对称点的坐标；

（2）的中点必在上，由此得到第一个方程；

（3）根据得到第二个方程；

（4）两个方程联立可求解出.

25．（2020·安徽滁州市·高二月考（文））已知直线和点，点A为第一象限内的点且在直线l上，直线PA交x轴的正半轴于点B．

（1）当时，求AB所在直线的方程；

（2）求面积的最小值，并求当面积取最小值时点B的坐标．

【答案】（1）；（2）40，.

【分析】

（1）根据，得到，然后根据直线AB过点求解.

（2）设点，，点B的坐标为，,若直线AB的斜率不存在时，，可得的面积，当直线AB的斜率存在时，根据A，B，P共线得到，然后由的面积求解.

【详解】

（1）∵点，.

∴

又∵，∴.

∵直线AB过点，

∴直线AB的方程为，

即.

（2）设点，，点B的坐标为，，

当直线AB的斜率不存在时，，

此时的面积.

当直线AB的斜率存在时，有，

解得，

故点B的坐标为，

故的面积，

即.①

由题意可得方程有解，

故判别式，

∴，

故S的最小值为40，此时①为，解得.

综上可得，面积的最小值为40，

当面积取最小值时，点B的坐标为.

【点睛】

本题主要考查直线方程的求法以及三角形的面积最值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

26．（2020·宝山区·上海交大附中高二开学考试）已知过点的直线与直线垂直.

（1） 若，且点在函数的图象上，求直线的一般式方程；

（2）若点在直线上，判断直线是否经过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

【答案】（1）；（2）过定点，理由见解析

【分析】

（1）根据点在函数的图象上，求出点的坐标，再利用直线与直线垂直求出直线的斜率，由点斜式方程即可求出直线的一般式方程；

（2）根据点在直线上，找到 之间的关系，消元转化为，则有，即可解出定点坐标．

【详解】

（1）点在函数的图象上，，即点

由，得，即直线的斜率为，

又直线与直线垂直，则直线的斜率满足：，即，

所以直线的方程为，一般式方程为：．

（2）点在直线上，所以，即，

代入中，整理得，

由，解得，

故直线必经过定点，其坐标为.

【点睛】

本题主要考查直线与直线的位置关系应用、直线方程的求法以及过定点的直线系中的定点求法．

27．（2020·泉州科技中学高二月考）已知的三边所在直线的方程分别是，，.

（1）求与边平行的中位线方程；

（2）求边上的高所在直线的方程.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）先根据题意得，，，故线段的中点为，进而可得与边平行的中位线方程；

（2）由（1）得边上的高所在直线的斜率为，其过点，进而可得边上的高所在直线的方程.

【详解】

解：（1）直线与直线方程联立得；

直线与直线方程联立得，

所以线段的中点为 ，

由于直线的方程为，其斜率为，

所以与边平行的中位线方程为：，整理得：.

所以与边平行的中位线方程为：.

（2）由（1）知直线的斜率为，边上的高所在直线的斜率为

所以边上的高所在直线的方程为：，

整理得：.

【点睛】

本题考查直线方程的求解，数列掌握直线平行与垂直的关系是解题的关键，考查运算能力，是中档题.

28．（2020·简阳市阳安中学高二月考）已知直线方程为，其中.

（1）求证：直线恒过定点；

（2）若直线分别与轴､轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时的直线方程.

【答案】（1）证明见解析；（2）面积最小值为4，此时的直线方程.

【分析】

（1）直线的方程为化为：，令，解出即可得出结果；

（2）设出直线的点斜式方程，求出直线与坐标轴的交点，将三角形面积公式和基本不等式相结合即可得出结果.

【详解】

（1）证明：直线的方程为，其中，

化为，

令，解得，

则直线经过定点.

（2）由于直线经过定点，直线的斜率存在且，

因此可设直线的方程为，

可得与轴、轴的负半轴交于，两点，

，，解得．

∴，

当且仅当时取等号．

此时直线的方程为：，化为：.

【点睛】

本题考查了直线系、点斜式、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题