1.4.1三角函数的图象与性质-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版必修4）
展开专题1.4.1 三角函数的图象与性质
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·湖南茶陵三中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】B
【解析】函数的图象向左平移个单位长度,有.
2．（2018·临川一中实验学校）已知函数的周期为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，所以.
3．（2020·江苏徐州）若函数的图像经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为的图象过点，所以，从而，
解得.又，所以，则，，所以.
4．（2020福建福州·）已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】当时，，因为函数在区间上单调递增，正弦函数在上递增，所以可得，解得，即的最大值为2，故选C．
5．（2020·湖南天心·长郡中学）已知函数，若对于任意的，都有成立，则的最小值为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．
【答案】B
【解析】对任意的,成立,所以,,
所以,又的周期,所以,
6．（2020·贵州南明·贵阳一中）函数（其中，）的部分图象如图所示，为得到的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】由图象可知，的最小正周期为，，
，，，，得，，，
因此，只需将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象.
7．（2020河北邯郸）已知函数在同一周期内，当时取最大值，当时取最小值，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，故，又，所以,，所以的值可能为.
8．（2020·辽宁和平·沈阳铁路实验中学）设函数，若方程恰好有三个根，分别为，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，由得，∴，由得，∴，∴。
9．（2020四川武侯·成都七中）已知函数)的图象在区间上恰有3个最高点，则的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数)的图象在区间上恰有3个最高点,所以函数)的图象在区间上至少有两个周期加八分之一周期,少于三个周期加八分之一周期,所以,所以。
10．（2020西北工业大学附属中学）已知函数且对任意的，都有，若函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据函数对任意的，都有，可得函数的图象关于直线对称，故有，。
11．（2020湖南开福·长沙一中）已知函数，是奇函数，且在上单调递减.则的最大值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】是奇函数，，且，，，
令，，解得，，由于函数在上单调递减，故，当时，整理得，故，可得的最大值为.
12．（2020·河南洛阳）已知函数(，)，当时，，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为1
B．函数的图象的一个对称中心为
C．函数的图象的一条对称轴方程为
D．函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到
【答案】D
【解析】因为，所以，又，所以或，因为，所以的最小正周期为，所以，故A错误；
又，所以，又，所以，所以；令()，得()，所以函数的对称中心为()，所以B错误；
由()，解得()，故C错误；，向右平移单位长度得，故D正确.
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．（2020·江西临川一中）若函数对任意的实数且则=_______ .
【答案】 或
【解析】对任意的实数,说明函数图像的一条对称轴为，，
则 ， 或.
14．（2020·山东省五莲县第一中学）已知曲线（，，）在同一周期内的最高点的坐标为，最低点的坐标为，此曲线的函数表达式是______.
【答案】
【解析】在同一周期内的最高点的坐标为，最低点的坐标为，知，且，而，有，且，得，，
∴，有，综上，有.
15．（2020河南中牟）已知函数（）的图象关于点对称，且在区间上单调，则的值为______.
【答案】
【解析】的图像关于点对称，所以，即，，得到，，在区间上单调，所以，即，所以，所以，而，所以，.
16．（2020湖南常德）关于函数有下列命题：①由可得必是的整数倍；②的图象关于点对称；③的表达式可改写为④的图象关于直线对称.其中正确命题的序号是_________.
【答案】②③
【解析】①中是的两个零点，即是的整数倍，①错误；②中，②正确；故④错误；③中，③正确；所以正确命题序号是②③.
三、解答题（本大题共4小题，每题9分，共36分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2020江西省信丰中学）已知函数，.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值.
【答案】（1）；；（2）最大值为，；最小值为，.
【解析】（1），所以，该函数的最小正周期为.
解不等式，得.
因此，函数最小正周期为，单调递增区间为；
（2），.
当时，即当时，函数取得最大值，即；
当时，即当时，函数取得最小值，即.
18．（2020·通榆县第一中学）函数的部分图象如图所示，其中，，.
（Ⅰ）求函数解析式；（Ⅱ）求时，函数的值域.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）根据函数的一部分图象，其中，，，
可得，，，∴.又，得，
∴，即，∵，∴，∴；
（Ⅱ）∵，∴，∴，∴.
19．（2020阜阳市第三中学）已知函数.
（1）若点是函数图像的一个对称中心，且，求函数在上的值域；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】（1）； （2）.
【解析】（1）由题意得：，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，
∴，故函数在上的值域为.
（2）令，解得，
∵函数在上单调递增，∴，，
∴，即，又，∴，
∴，∴，∴，即的取值范围为.
20．（2020·洮南市第一中学）已知函数的一系列对应值如下表：
（1）根据表格提供的数据求函数的一个解析式；
（2）根据（1）的结果，若函数周期为，当时，方程 恰有两个不同的解，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】 (1)绘制函数图象如图所示：
设的最小正周期为，得．由得．又解得,
令，即，，据此可得：，又，令可得．所以函数的解析式为．
(2)因为函数的周期为，又，所以．令，因为，所以．在上有两个不同的解，等价于函数与的图象有两个不同的交点，，所以方程在时恰好有两个不同的解的条件是，即实数的取值范围是．
