2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学练习6 常用逻辑用语（解析版）

练习6  常用逻辑用语

1．（2020秋•鼓楼区期中）命题∀x∈R，x2﹣1＜0的否定为（　　）

A．∀x∈R，x2﹣1≥0 B．不存在x∈R，x2﹣1≥0 

C．∃x∈R，x2﹣1＜0 D．∃x∈R，x2﹣1≥0

【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．

【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定∃x∈R，x2﹣1≥0，

故选：D．

2．（2020秋•启东市期中）“a＞1，b＞1”是“logab+logba≥2”的（　　）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 

C．充要 D．既不充分也不必要

【分析】根据充分必要条件的定义以及对数的运算性质判断即可．

【解答】解：当a＞1，b＞1时logab＞0，logba＞0，

故logab+logba＝logab+≥2＝2，

当且仅当logab＝±1，即a＝b或a＝时“＝”成立，是充分条件，

取a＝，b＝，显然满足logab+logba≥2，

故由logab+logba≥2，推不出a＞1，b＞1，

故不是必要条件，

故“a＞1，b＞1”是“logab+logba≥2”的充分不必要条件，

故选：A．

3．（2020秋•扬州期中）设命题，命题q：（x﹣1）（x+2）≥0，则命题p是命题q的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】解关于p，q的不等式，根据集合的包含关系，判断即可．

【解答】解：命题，解得：x＜﹣2或x≥1，

命题“q：（x﹣1）（x+2）≥0“，解得：x≥1或x≤﹣2，

故命题p是命题q的充分不必要条件，

故选：A．

4．（2020秋•启东市期中）∃x∈，使得ax2﹣2x+1＞0成立，则实数a的取值范围为（　　）

A．[﹣3，+∞） B．（﹣3，+∞） C．[1，+∞） D．（1，+∞）

【分析】不等式化为a＞﹣+，设f（x）＝﹣+，求出f（x）在x∈[，+∞）时的最小值，即可得出实数a的取值范围．

【解答】解：x∈时，不等式ax2﹣2x+1＞0，

可化为ax2＞2x﹣1，即a＞﹣+；

设f（x）＝﹣+，则f（x）＝﹣+1；

当x∈[，+∞），∈（0，3]，

f（x）的最小值为f（）＝﹣（3﹣1）2+1＝﹣3，

所以实数a的取值范围是（﹣3，+∞）．

故选：B．

5．（2020秋•惠山区校级期中）已知函数y＝f（x），y＝g（x）是定义在R上的函数，h（x）＝f（x）+2g（x），则“函数y＝h（x）为偶函数”是“函数y＝f（x），y＝g（x）均为偶函数”的（　　）

A．充要条件 B．充分而不必要条件 

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特值．

【解答】解．若“f（x），g（x）均为偶函数”，

则有f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝g（x），

∴h（﹣x）＝f（﹣x）+2g（﹣x）＝f（x）+2g（x）＝h（x），

∴“h（x）为偶函数”，

故“函数y＝h（x）为偶函数“是”f（x），g（x）均为偶函数”的必要条件；

而反之取f（x）＝x2+x，g（x）＝﹣x+1，h（x）＝x2+2是偶函数，

而f（x），g（x）均不是偶函数”，

故由“函数y＝h（x）为偶函数”推不出“函数y＝f（x），y＝g（x）均为偶函数”，

故“函数y＝h（x）为偶函数”不是“函数y＝f（x），y＝g（x）均为偶函数”的充分条件，

故选：C．

6．（多选）（2020秋•常州期中）下列不等式中可以作为x2＜1的一个必要不充分条件的有（　　）

A．0＜x＜2 B．x＜1 C．﹣1＜x＜0 D．x＜2

【分析】解不等式，求出其充要条件，根据集合的包含关系求出答案即可．

【解答】解：由x2＜1，解得：﹣1＜x＜1，

故x＜1或x＜2是﹣1＜x＜1的必要不充分条件，

故选：BD．

7．（多选）（2020秋•徐州期中）命题“∃x∈[﹣1，2]，x2﹣m≥0”是真命题的一个充分不必要条件是（　　）

A．m≤5 B．m≤4 C．m＜3 D．m＜4

【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件{m|m≤4}，从集合的角度充分不必要条件应为{m|m≤4}的真子集，由选择项不难得出答案．

【解答】解：命题“∃x∈[﹣1，2]，x2﹣m≥0”是真命题，

即只需m≤（x2）max＝4，

即命题“∃x∈[﹣1，2]，x2﹣m≥0”是真命题的充要条件为m≤4，

而要找的一个充分不必要条件即为集合{m|m≤4}的真子集，由选择项可知CD符合题意．

故选：CD．

8．（2020秋•常熟市期中）命题“∃x＞0，x3+x＜0”的否定为　        　．

【分析】特称命题的否定是全称命题，直接写出结果即可．

【解答】解：∵特称命题的否定是全称命题，

∴命题“∃x＞0，x3+x＜0”的否定为：∀x＞0，x3+x≥0，

故答案为：∀x＞0，x3+x≥0．

9．（2020秋•南京期中）设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x﹣1|＜1”的　       　条件（填“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”“既不充分也不必要”）．

【分析】解出关于x的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．

【解答】解：∵|x﹣1|＜1，∴0＜x＜2，

∵0＜x＜5推不出0＜x＜2，

0＜x＜2⇒0＜x＜5，

∴0＜x＜5是0＜x＜2的必要且不充分条件，

即0＜x＜5是|x﹣1|＜1的必要且不充分条件

故答案为：必要且不充分．

10．（2020秋•昆山市期中）若命题“∃x∈R，使得x2+ax+a＜0”是真命题，则实数a的取值范围是　    　．

【分析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“∃x∈R，使得x2+ax+a＜0”，则相应二次方程有不等的实根．

【解答】解：∵“∃x∈R，使得x2+ax+a＜0″，

∴x2+ax+a＝0有两个不等实根，

∴△＝a2﹣4a＞0，

∴a＜0或a＞4，

故答案为：（﹣∞，0）∪（4，+∞）．

11．（2020秋•海门市校级期中）已知p：x2﹣2x﹣3＜0，q：m＜x＜m+1，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是　      　．

【分析】解出不等式x2﹣2x﹣3＜0，设其解集为A．q：m＜x＜m+1，设B＝（m，m+1）．根据p是q的必要不充分条件，可得B⫋A．即可得出．

【解答】解：p：x2﹣2x﹣3＜0，解得：﹣1＜x＜3，设A＝（﹣1，3）．

q：m＜x＜m+1，设B＝（m，m+1）．

若p是q的必要不充分条件，∴B⫋A．

∴，且等号不能同时成立．

解得：﹣1≤m≤2．

则实数m的取值范围是[﹣1，2]．

故答案为：[﹣1，2]．

12．（2020秋•如东县期中）已知全集为R，集合，B＝{x∈R|2x2﹣（a+10）x+5a≤0}．

（1）若B⊆∁RA，求实数a的取值范围；

（2）从下面所给的三个条件中选择一个，说明它是B⊆∁RA的什么条件（充分必要性）．

①a∈[﹣7，10）；②a∈（﹣7，10]；③a∈（6，10]．

【分析】首先要对A、B两个集合进行化简分析，再求出A集合的补集，当B集合是A集合的补集时a的取值范围；第二问在不同a范围下考虑B集合与A集合的补集的关系．

【解答】解：（1）集合A＝{x∈R|＞0}＝（﹣∞﹣3）∪（5，+∞），

所∁RA＝[﹣3，5]，

集合B＝{x∈R|2x2﹣（a+10）x+5a≤0}＝{x∈R|（2x﹣a）（x﹣5）≤0}，

若B⊆∁RA，且5∈∁RA＝[﹣3，5]，

只需﹣3≤≤5，所以﹣6≤a≤10．

（2）由（1）可知B⊆∁RA的充要条件是a∈[﹣6，10]，

选择①，则结论是不充分不必要条件；

选择②，则结论是必要不充分条件；

选择③，则结论是充分不必要条件．

13．（2020秋•惠山区校级期中）数列{an}是等比数列，公比为q，且a1＞0．则“q＜﹣1”是“∀n∈N*，2a2n﹣1+a2n＜a2n+1”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【分析】根据充分必要条件导数定义以及等比数列的性质判断即可．

【解答】解：若数列{an}是等比数列，公比为q，且a1＞0，

则a2n﹣1＝a1q2n﹣2，a2n＝a1q2n﹣1，a2n+1＝a1q2n，

故2a2n﹣1+a2n﹣a2n﹣1

＝2a1q2n﹣2+a1q2n﹣1﹣a1q2n

＝a1q2n﹣2（2+q﹣q2）

＝﹣a1q2n﹣2（q﹣2）（q+1），

若q＜﹣1，则﹣a1q2n﹣2（q﹣2）（q+1）＜0即2a2n﹣1+a2n＜a2n+1”是充分条件，

反之若﹣a1q2n﹣2（q﹣2）（q+1）＜0，即（q﹣2）（q+1）＞0，解得：q＞2或q＜﹣1，不是必要条件，

故q＜﹣1”是“∀n∈N*，2a2n﹣1+a2n＜a2n+1”的充分不必要条件，

故选：A．

14．（2020秋•海淀区校级月考）设α：x≤﹣5或x＞1，β：x≤﹣2m﹣3或x≥﹣2m+1，m∈R，α是β的充分不必要条件，则实数m的取值范围是　       　．

【分析】根据充分必要条件的定义得到关于m的不等式组，解出即可．

【解答】解：∵α是β的充分不必要条件，

∴，（＝不同时成立），

解得：0≤m≤1，

故答案为：[0，1]．

15．（2020秋•新区校级月考）已知集合A＝{x|0≤x≤a}，集合B＝{x|m2+3≤x≤m2+4}，如果命题“∃m∈R，使得A∩B≠∅”为假命题，求实数a的取值范围．

【分析】根据命题的否定得出”∀m∈R，A∩B＝∅“为真，对a讨论，即可求出答案．

【解答】解：因为”∃m∈R，A∩B≠∅“为假命题，则其非命题为真，即”∀m∈R，A∩B＝∅“为真，

因为m2+3＜m2+4，所以区间B存在，

因为A∩B＝∅，本题有两种可能，

当a＜0时，区间A＝∅，此时A∩B＝∅，所以a＜0符合题意；

当a≥0时，要使A∩B＝∅成立，只须a＜m2+3，即a＜（m2+3）min＝3，∴a＜3，即0≤a＜3；

综上所述，a的取值范围是{a|a＜0或0≤a＜3}，即{a|a＜3}．