专题04 解三角形（解答题）（11月）（理）（原卷版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题04  解三角形（解答题）

1．在中，角，，的对边分别为，，，．

（1）求角的大小；

（2）若，求的取值范围．

2．已知的内角，，所对的边分别为，，，且．

（1）求角的大小；

（2）若，，依次成等比数列，求的值．

3．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知的内角的对边分别为，，而且_____．

（1）求；

（2）求周长的最大值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

4．已知的内角，，满足，的面积为．

（1）求；

（2），求的周长．

5．，，分别为内角，，的对边．已知，．

（1）求；

（2）若，求内切圆的半径．

6．在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．

在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，设的面积为S，已知_____________．

（1）求tanB的值；

（2）若，，求b的值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

7．如图，在直角中，，，，点在线段上．

（1）若，求的长；

（2）点是线段上一点，，且，求的值．

8．已知，，分别为内角，，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④．

（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？

（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应的面积．

9．如图，在中，点在边上，，，．

（1）求边的长；

（2）若的面积是，求的值．

10．的内角的对边分别为，设．

（1）求；

（2）若依次成等差数列，且的外接圆的面积为，求的面积．

11．在中，，，分别为角，，对边，且同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④．

（1）满足有解的序号组合有哪些？

（2）在（1）的组合中任选一组，求的面积．

12．如图所示，在中，点D为边上一点，且， E为的中点，，，．

（1）求的长；

（2）求的面积．

13．在中，角A，B，C对边分别为若．

（1）求角A；

（2）若，且的外接圆半径为1，求的面积．

14．在中，，是上一点，且．

（1）若，求；

（2）求．

15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求角A的大小；

（2）若，试判断的形状并给出证明．

16．在中，角、、所对的边长是、、，向量，且满足．

（1）求角的大小；

（2）若，求的周长的最大值．

17．中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求角的大小；

（2）若为边上的中线，，，求的面积．

18．的内角，，的对边分别为，，．

（1）求的三个角中最大角的大小；

（2）秦九韶是我国古代最有成就的数学家之一，被美国著名科学史家萨顿赞誉“秦九韶是他那个民族，他那个时代，并且确实也是那个时代最伟大的数学家之一”．他的数学巨著《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是有世界意义的重要贡献；他提出的三斜求积术可以已知三边求三角形的面积．试用余弦定理推导该公式，并用该公式求的面积．

19．的内角A，B，C所对的边分别为

（1）若成等差数列，证明：

（2）若成等比数列，且，求的值

20．在中，内角，，的对边分别为，，，且满足，．

（1）求角；

（2）若，求的面积．

21．内角，，的对边分别是，，，其外接圆半径为，面积，．

（1）求；

（2）若，求的值．

22．在中，设角的对边分别为，已知．

（1）求角的大小；

（2）若，求周长的取值范围．

23．在①；②；③（），这三个条件中，任选一个补充在下面问题中的横线处，并加以解答．

已知的内角，，的对边分别为，，，若，的面积为4，______，求及．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

24．如图，某游乐园的平面图呈圆心角为120°的扇形，其两个出入口设置在点B及点C处，且园内有一条平行于的小路．已知某人从C沿走到D用了8分钟，从D沿走到B用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米．

（1）求的面积；

（2）求该扇形的半径的长．

25．在锐角中，、、分别为角、、所对的边，且．

（1）确定角的大小；

（2）若，且的面积为，求的值．

26．在中，，，．

（1）求的大小；

（2）若是的中点，求的长．

27．在中，角，，所对的边分别为，，，若，为边上的一点，且，．

（1）求证：；

（2）求的值．

28．在中，，，是，，所对的边，，，．

（1）求；

（2）若为边上一点，且，求的面积．

29．在中，内角所对的边分别为a，b，c，已知．

（1）求B；

（2）若，求sinC的值．

30．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求A；

（2）若，求面积的最大值．

31．在中，角，，的对边分别为，，，已知．

（1）求的值；

（2）若，的面积为，求，的值．

32．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，__________，且，？

注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．

33．如图，在中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求的大小；

（2）若，点、在的异侧，，，求平面四边形面积的最大值．

34．如图，某自行车手从O点出发，沿折线O﹣A﹣B﹣O匀速骑行，其中点A位于点O南偏东45°且与点O相距20 千米．该车手于上午8点整到达点A，8点20分骑至点C，其中点C位于点O南偏东（45°﹣α）（其中sinα= ，0°＜α＜90°）且与点O相距5 千米（假设所有路面及观测点都在同一水平面上）． 

（1）求该自行车手的骑行速度；   

（2）若点O正西方向27．5千米处有个气象观测站E，假定以点E为中心的3．5千米范围内有长时间的持续强降雨．试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说明理由．   

35．某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路走向垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示．已知，，路宽米．设．

（1）求灯柱的高（用表示）；

（2）此公司应该如何设置的值才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小？最小值为多少？

36．设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosC＝acosB+bcosA．

（1）求角C；

（2）若ABC的面积为，且a+b＝5，求c．

37．的内角，，的对边分别是，，，，．

（1）若，求；

（2）若，求的面积．

38．中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

（1）记BC边上的高为h，求；

（2）若，，求．

39．今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现､早隔离．现某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的四边形区域沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区．经测量，边界与的长都是200米，，．

（1）若，求的长(结果精确到米)；

（2）围成该区域至多需要多少米长度的板材？(不计损耗，结果精确到米)．

40．已知向量，，，其中是的内角．

（1）求角的大小；

（2）若为锐角三角形，角，，所对的边分别为，，，，，求的面积．

41．在①，②，③的面积，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．（如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分）

在中，角、、所对的边分别为、、，且角为锐角，

（1）求角；

（2）若，求的取值范围．

42．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足关系式．

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积．

43．已知的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，，．

（1）求角的大小；

（2）若，边上的中线长为，求的面积．

44．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知

（1）求角C；

（2）若， 且，求△ABC的面积．

45．如图，在中，点D是边BC上的一点，，．

（1）若，求；

（2）若，求AB的长．

46．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．

（1）求角的大小；

（2）设，，求b和的值．

47．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且向量，，且，为锐角．

（1）求角的大小；

（2）若，求的面积的最大值．

48．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

在中，角，，的对边分别为，，，且满足______．

（1）求角的大小；

（2）若，求面积的最大值．

49．如图，某城市有一矩形街心广场，如图．其中百米，百米．现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求．

（1）若百米，判断是否符合要求，并说明理由；

（2）设，写出面积的关于的表达式，并求的最小值．

50．已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且满足．

（1）求角A的大小；

（2）若，，求的面积．

51．在中，角的对边分别为，．有以下3个条件：①；②；③．请在以上3个条件中选择一个，求面积的最大值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

52．在中，角的对边分别为，且．

（1）求的大小；

（2）若的外接圆的半径为，面积为，求的周长．

53．在△ABC中，a， b， c分别为内角A， B， C的对边，且

（1）求A的大小；

（2）求的最大值．

54．在①，②asinC＝ccos，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线处，并完成解答．

问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D是边BC上一点，BD＝5，AD＝7，且________，试判断CD和BD的大小关系________．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

55．在中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求

（1）的大小；

（2）的面积 ．

条件①：； 条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

56．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积S满足．

（1）求A；

（2）若，求的周长的最大值．

57．重庆、武汉、南京并称为三大“火炉”城市，而重庆比武汉、南京更厉害，堪称三大“火炉”之首．某人在歌乐山修建了一座避暑山庄（如图）．为吸引游客，准备在门前两条夹角为（即）的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长且点，落在小路上，记弓形花园的顶点为，且，设．

（1）将，用含有的关系式表示出来；

（2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园（即，长度），才使得喷泉与山庄距离即值最大？

58．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c(sinC-sinA)=(sinA+sinB) (b - a)．

（1）求B；

（2）若c=8，点M，N是线段BC的两个三等分点，，求AM的值．

59．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，．

（1）求角的大小；

（2）若在线段上，且，，求的面积．

60．在中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求的值；

（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围．

61．在中，角，，C所对的边分别为a，b，c，它的面积为且满足，．

（1）求角的大小；

（2）当时，求，的值．

62．如图，在四边形中，，，，，．

（1）求的大小；

（2）求的长；

（3）求四边形的面积．

63．的内角所对边分别为，已知．

（1）求角C；

（2）若D为中点，且，求的最大值．

64．在中，角，，的对边分别为，，．

（1）若，且为锐角三角形，，，求的值；

（2）若，，求的取值范围．

65．在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答．的内角、、的对边分别为、、，已知______．

（1）求；

（2）若，，求的面积．

66．在中，它的内角的对边分别为，且

（1）求角的大小；   

（2）求边的长．

67．如图．在中，点P在边上，，，．

（1）求；

（2）若的面积为．求

68．已知的角A，B，C对边分别为a，b，c，，．

（1）求∠C；

（2）求面积的最大值．

69．如图，在中，，为内一点，．

（1）若，求；

（2）若，求的面积．

70．在非直角三角形ABC中，角的对边分别为，

（1）若，求角B的最大值；

（2）若，

（i）证明：；

（可能运用的公式有）

（ii）是否存在函数，使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由．