2021年北京通州区通州区第四中学高二上学期期末数学试卷

这是一份2021年北京通州区通州区第四中学高二上学期期末数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 直线 x−y+1=0 的斜率是
A. 1B. −1C. π4D. 3π4

2. 方程 x2+y2−4x=0 表示的圆的圆心和半径分别为
A. −2,0，2B. −2,0，4C. 2,0，2D. 2,0，4

3. 在空间直角坐标系中，点 P1,2,−3 关于坐标平面 xOy 的对称点为
A. −1,−2,3B. −1,−2,−3
C. −1,2,−3D. 1,2,3

4. 已知三条直线 m，n，l，三个平面 α，β，γ，下面说法正确的是
A. α⊥γ,β⊥γ⇒α∥βB. m⊥l,n⊥l⇒m∥n
C. m∥β,l⊥m⇒l∥βD. m∥n,n⊥γ⇒m⊥γ

5. “直线 l 的方程为 y=kx−2”是“直线 l 经过点 2,0”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件

6. 一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为
A. 53B. 103C. 203D. 253

7. 实数 x，y 满足 x−y+1≥0,x≤1,y≥a, 若 μ=2x−y 的最小值为 −4，则实数 a 等于
A. −4B. −3C. −2D. 6

8. 已知定点 A0,1，点 B 在直线 x+y+1=0 上运动，当线段 AB 最短时，点 B 的坐标是
A. −2,2B. −1,1C. 0,−1D. −1,0

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 双曲线 x2−y24=1 的渐近线方程是 ．

10. 已知 P 是椭圆 x24+y23=1 上一点，F1，F2 为椭圆的两焦点，则 △PF1F2 的周长为 ．

11. 已知命题 p：∀x>1，x2−2x+1>0，则 ¬p 是 （真命题 / 假命题）．

12. 在空间直角坐标系中，已知点 A1,0,2，B2,1,0，C0,a,1 ，若 AB⊥AC，则实数 a 的值为 ．

13. 已知点 P 是圆 x2+y2=1 上的动点，Q 是直线 l：3x+4y−10=0 上的动点，则 ∣PQ∣ 的最小值为 ．

14. 如图，在棱长均为 2 的正三棱柱 ABC−A1B1C1 中，点 M 是侧棱 AA1 的中点，点 P，Q 分别是侧面 BCC1B1 、底面 ABC 内的动点，且 A1P∥平面BCM，PQ⊥平面BCM，则点 Q 的轨迹的长度为 ．

三、解答题（共4小题；共52分）
15. 已知圆 M 过点 A0,3，B1,0，C−3,0．
（1）求圆 M 的方程；
（2）过点 0,2 的直线 l 与圆 M 相交于 D，E 两点，且 ∣DE∣=23，求直线 l 的方程．

16. 已知抛物线 C:y2=4x，过焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，定点 M5,0．
（1）若直线 l 的斜率为 1，求 △ABM 的面积；
（2）若 △AMB 是以 M 为直角顶点的直角三角形，求直线 l 的方程．

17. 如图，在底面是正三角形的三棱锥 P−ABC 中，D 为 PC 的中点，PA=AB=1，PB=PC=2．
（1）求证：PA⊥平面ABC；
（2）求 BD 与平面 ABC 所成角的大小；
（3）求二面角 D−AB−C 的余弦值．

18. 已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1，F2，右顶点为 A，上顶点为 B，△BF1F2 是边长为 2 的正三角形．
（1）求椭圆 C 的标准方程及离心率；
（2）是否存在过点 F2 的直线 l，交椭圆于两点 P，Q，使得 PA∥QF1，如果存在，试求直线 l 的方程，如果不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. A【解析】直线 x−y+1=0 的斜率 =−1−1=1．
2. C【解析】把圆 x2+y2−4x=0 的方程化为标准方程得 x−22−y2=4，
所以圆心坐标为 2,0，半径为 2．
3. D【解析】在空间直角坐标系中，点 P1,2,−3 关于坐标平面 xOy 的对称点为 1,2,3．
4. D【解析】三条直线 m，n，l，三个平面 α，β，γ，知：
在A中，α⊥γ,β⊥γ⇒α 与 β 相交或平行，故A错误；
在B中，m⊥l,n⊥l⇒m 与 n 相交、平行或异面，故B错误；
在C中，m∥β,l⊥m⇒l 与 β 相交、平行或 l⊂β，故C错误；
在D中，m∥n,n⊥γ⇒m⊥γ，由线面垂直的判定定理得 m⊥γ，故D正确．
5. A
【解析】若直线 l 的方程为 y=kx−2，
则直线 l 过 2,0，是充分条件，
若直线 l 经过点 2,0，
则直线方程不一定是：y=kx−2，
比如直线：x=0，故不是必要条件．
6. B【解析】如图所示，
三棱锥 P−ABC，点 P 在平面 ABC 的投影 D，
则四边形 ABCD 是矩形．
则三棱锥的体积 V=13×12×2×5×2=103．
7. C【解析】由约束条件 x−y+1≥0,x≤1,y≥a 作出可行域如图，
联立 y=a,x−y+1=0,
解得：Aa−1,a，
化目标函数 μ=2x−y 为 y=2x−μ，
由图可知，当直线 y=2x−μ 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，μ 有最小值为：2a−1−a=−4，
即 a=−2．
8. D
第二部分
9. y=±2x
【解析】因为双曲线标准方程为 x2−y24=1，
其渐近线方程是 x2−y24=0，
整理得 y=±2x．
10. 6
【解析】由题意知：椭圆 x24+y23=1 中 a=2，b=3，c=1，
所以 △PF1F2周长=2a+2c=4+2=6．
11. 假命题
【解析】因为命题 p：∀x>1，x2−2x+1>0，
所以 ¬p：∃x>1，x2−2x+1≤0，
由 x2−2x+1=x−12>0 在 x>1 时，恒成立，
故 ¬p 为假命题．
12. −1
【解析】A1,0,2，B2,1,0，C0,a,1，AB=1,1,−2，AC=−1,a,−1，
因为 AB⊥AC，
所以 AB⋅AC=−1+a+2=0，
解得 a=−1．
13. 1
【解析】圆心 0,0 到直线 3x+4y−10=0 的距离 d=∣−10∣5=2．
再由 d−r=2−1=1，知最小距离为 1．
14. 43
【解析】因为点 P 是侧面 BCC1B1 内的动点，且 A1P∥平面BCM，
则 P 点的轨迹是过 A1 点与平面 MBC 平行的平面与侧面 BCC1B1 的交线，
则 P 点的轨迹是连接侧棱 BB1，CC1 中点的线段 l，
因为 Q 是底面 ABC 内的动点，且 PQ⊥平面BCM，
则点 Q 的轨迹是过 l 与平面 MBC 垂直的平面与平面 MBC 相交的线段 m，
故线段 m 过 △MBC 的重心，且与 BC 平行，
由正三棱柱 ABC−A1B1C1 中棱长均为 2，
故线段 m 的长为：23×2=43．
第三部分
15. （1） 设圆 M:x2+y2+Dx+Ey+F=0，则 3+3E+F=0,1+D+F=0,9−3D+F=0.
所以 D=2，E=0，F=−3．
故圆 M：x2+y2+2x−3=0，即 x+12+y2=4．
（2） 由（Ⅰ）得，M−1,0．
设 N 为 DE 中点，则 MN⊥l，∣DN∣=∣EN∣=3，
此时 ∣MN∣=4−3=1，
当 l 的斜率不存在时，x=0，此时 ∣MN∣=1，符合题意．
当 l 的斜率存在时，设 l：y=kx+2，由题意 ∣−k+2∣k2+1=1，
解得：k=34，故直线 l 的方程为 3x−4y+8=0．
综上直线 l 的方程为 x=0 或 3x−4y+8=0．
16. （1） 由题意 F1,0，当 AB 的斜率为 1 时，l:y=x−1，
代入抛物线方程得 x2−6x+1=0．
设 Ax1,y1，Bx2,y2，x1+x2=6，AB=x1+x2+2=8，
点 M 到直线 AB 的距离 d=5−12=22，
所以 △ABM 的面积 S=12×8×22=82．
（2） 易知直线 l⊥x 时不符合题意．
可设焦点弦方程为 y=kx−1，Ax1,y1，Bx2,y2，
代入抛物线方程得 k2x2−2k2+4x+k2=0，
则 x1+x2=2+4k2，x1x2=1，y1y2=−4，
因为 MA⊥MB，MA=x1−5,y1，MB=x2−5,y2，
所以 MA⋅MB=x1x2−5x1+x2+25+y1y2=22−5×2+4k2=0，
所以 k=±153．故 l 的方程为 y=±153x−1．
17. （1） 因为 PA=AB=1，PB=2，
所以 PA⊥AB，
因为底面是正三角形，
所以 AC=AB=1，
因为 PC=2，
所以 PA⊥AC，
因为 AB∩AC=A，AB,AC⊂平面ABC，
所以 PA⊥平面ABC．
（2） 以 A 为原点，AB 为 x 轴，AP 为 z 轴，平面 ABC 中垂直于 AB 的直线为 y 轴，建立空间直角坐标系，
则 A0,0,0，B1,0,0，C12,32,0，P0,0,1，
所以 D14,34,12，BD=−34,34,12，
平面 ABC 的法向量为 n=0,0,1，
记 BD 与平面 ABC 所成的角为 θ，
则 sinθ=∣n⋅BD∣∣n∣⋅∣BD∣=12，
所以 θ=π6，
所以 BD 与平面 ABC 所成角为 π6．
（3） 设平面 ABD 的法向量为 m=x,y,z，
则 m⋅AD=14x+34y+12z=0,m⋅AB=x=0,
取 y=2，得 m=0,2,−3．
记二面角 D−AB−C 的大小为 α，
则 csα=∣m⋅n∣∣m∣⋅∣n∣=217，
所以二面角 D−AB−C 的余弦值为 217．
18. （1） 椭圆 C：x2a2+y2b2=1a>b>0 焦点在 x 轴上，由 △BF1F2 是边长为 2 的正三角形，a=2，c=1，则 b2=a2−c2=3，
所以椭圆 C 的标准方程为 x24+y23=1，椭圆的离心率 e=ca=12．
（2） 解法 1：由（Ⅰ）得，F1−1,0，F21,0，A2,0，设 Px1,y1，Qx2,y2．
显然直线 l 的斜率不为零，设直线 l 的方程为 x=my+1，
则 x=my+1,x24+y23=1.
整理得：3m2+4y2+6my−9=0，
Δ=36m2+363m2+4=144m2+144>0，由韦达定理可知：y1+y2=−6m3m2+4，y1⋅y2=−93m2+4，
则 AP=x1−2,y1=my1−1,y1，F1Q=x2+1,y2=my2+2,y2，
若 PA∥QF1，则 my1−1y2=my2+2y1，即 y2=−2y1，
解得 y1=6m3m2+4,y2=−12m3m2+4, 则 y1⋅y2=−72m23m2+42．
故 72m23m2+42=93m2+4，解得 5m2=4，即 m=±25，
故 l 的方程为 x=25y+1 或 x=−25y+1，即 5x−2y−5=0 或 5+2y−5=0，
解法 2：由（Ⅰ）得 F1−1,0，F21,0，A2,0．
直线 l⊥x 时，∣PF2∣∣QF2∣=1≠∣AF2∣∣F1F2∣，则 PA∥QF1 不成立，不符合题意．
可设直线 l 的方程为 y=kx−1．
y=kx−1,x24+y23=1.
消去 y 可得 4k2+3x2−8k2x+4k2−12=0，
则 Δ=144k2+1>0．设 Px1,y1，Qx2,y2．则 x1+x2=8k24k2+3, ⋯⋯①
x1⋅x2=4k2−124k2+3, ⋯⋯②
AP=x1−2,y1，F1Q=x2+1,y2，若 PA∥QF1，则 AP∥F1Q，
则 kx1−2x2−1−kx2+1x1−1=0．
化简得 2x1+x2−3=0 ,⋯⋯③
联立 ①③ 可得 x1=4k2+94k2+3，x2=4k2−94k2+3，
代入 ② 可以解得：k=±52，
故 l 的方程为 5x−2y−5=0 或 5+2y−5=0．