全册综合（终极练）-2020-2021学年上学期高二数学期末复习制胜宝典（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）

全册综合（终极练）
-2020-2021学年上学期高二数学期末复习制胜宝典（人教A版2019选择性必修第二册）

1．已知函数，若存在点，使得直线与两曲线和都相切，当实数取最小值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分别求出函数在点的切线方程，再根据题意可得出，构造函数，求出的最小值即可求出，从而得到.
【解答】
，
，
又，
过点切线方程为：，①
又，
，即，又，
因此过点的切线方程为：，②
由题意知①②都为直线,
，
，
令，，
令，，
和时，单调递减，且时，恒成立，
时，单调递增，
时，，
，
则，
.
故选：.
【点评】本题主要考查导数的几何意义、导数与函数的单调性以及函数的极值与最值，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算，是难题.
2．记为等比数列的前n项和，且，若，，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】B
【分析】根据条件转化为首项与公比的方程组，解方程组得首项与公比，再根据等比数列通项公式求结果.
【解答】因为，所以公比，
因此

故选：B
【点评】本题考查等比数列通项公式与求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
3．已知函数，则在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义可求得切线斜率，求得切点坐标后，利用直线点斜式方程可整理得到切线方程.
【解答】解： ，
求导得：，
，
又，
在处的切线方程为，即.
故选：D.
4．已知函数的两个极值分别为和，若和分别在区间与内，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由极值点的所在区间即可知的导函数的零点区间，应用根的分布可得，结合目标式的几何意义，即可求其范围.
【解答】函数的两个极值分别为和，
∴的两个根为，，
∵，别在区间与内，
所以化为：.
画出可行域如图（阴影部分），

设，点是可行域内部的点，
则表示直线的斜率，
由图象可得，或，
由得；由得，
所以，，因此或，
即的取值范围为
故选：A.
【点评】关键点【点评】
求解本题的关键在于，根据函数的极值点，求出所满足的等量关系，再由分式型目标函数的取值情况，利用数形结合的方法，即可求解.
5．已知数列的首项，且满足，则的最小的一项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用配凑法将题目所给递推公式转化为，即证得为首项为，公差为的等差数列，由此求得的表达式，进而求得的表达式，并根据二次函数的对称轴求得当时有最小值.
【解答】由已知得，，所以数列为首项为，公差为的等差数列，，则，其对称轴.所以的最小的一项是第项.故选A.
【点评】本小题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，考查二次函数求最值的方法，属于中档题.
6．已知是定义在上的奇函数，满足，则（ ）
A．是增函数，
B．是减函数，
C．是增函数，
D．是减函数，
【答案】C
【分析】利用导数判断函数和函数的单调性，再利用函数的单调性可判断出各选项中不等式的正误.
【解答】构造函数，则，的符号无法确定，所以，函数的单调性不能确定，A、B选项错误；
构造函数，则，所以单调递增，
所以，即，即，
故选：C．
【点评】本题考查利用导数判断函数的单调性，并利用函数的单调性来判断不等式，根据导数不等式的结构构造合适的函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
【答案】B
【解答】设塔顶的a1盏灯，
由题意{an}是公比为2的等比数列，
∴S7==381，
解得a1=3．
故选B．
8．已知函数的图象过点， 为函数的导函数，e为自然对数的底数若 恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数设确定在R单调递增，即可求出不等式的解集．
【解答】解：设，
则，
恒成立，
恒成立，
单调递增，
，
，
不等式，
，
，
故选：C．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确构造函数是关键．
9．函数的最大值是( )
A．1 B． C．0 D．
【答案】A
【分析】求导函数,求出函数的单调区间，得到函数在处取得最大值.
【解答】，令解得
在上单增，在单减

故选：A
【点评】解决函数极值、最值问题的策略
(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．
(2)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．
10．函数（且）的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性排除选项，能过导数求解函数极值点的个数，求出的值，从而可判断选项
【解答】解：因为，
所以为偶函数，故排除B
当时，，则，
令，则，
作出的图像如图，

可知两个函数图像有一个交点，就是函数的极值点，所以排除A
因为，所以排除C，
当时，，故时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，所以D满足.
故选：D
【点评】此题考查了与三角函数有关的函数图像识别，利用了导数判断函数的单调性，考查数形结合的思想，属于中档题
11．已知是的极小值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先对函数求导，分别讨论，，三种情况，分别研究函数单调性，确定极值，即可得出结果.
【解答】因为，
所以
，
由得或，
若，则时，，即单调递增；
时，，即单调递减；
时，，即单调递增；
所以是极大值点，不满足题意；
若，则时，，即单调递增；
时，，即单调递减；
时，，即单调递增；
满足是极小值点；
若，则恒成立，故在定义域上单调递增，无极值；
综上，.
故选：D.
【点评】本题主要考查已知函数极值点求参数范围，熟记导数的方法求函数极值即可，属于常考题型.
12．已知，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】判断出为奇函数,且在R上单调递增,将所求不等式利用函数性质转化为利用单调性解得答案.
【解答】由得所以函数为奇函数,又因为 故在R上单调递增,则不等 ,即解得:.
所以不等式的解集为.
故选:A.
【点评】本题考查判断函数的奇偶性,单调性,根据函数性质解不等式,属于中档题.
13．下面是利用数学归纳法证明不等式（，且的部分过程：“……，假设当时，＋＋…＋，故当时，有　　　　，因为　　　　，故＋＋…＋，……”，则横线处应该填（　）
A．＋＋…＋+＜，
B．＋＋…＋，
C．2＋＋…＋+，
D．2＋＋…＋，
【答案】A
【分析】由归纳假设，推得的结论，结合放缩法，便可以得出结论．
【解答】假设当时，＋＋…＋，故当时，＋＋…＋+＜，因为
，
＋＋…＋，故选A．
【点评】本题主要考查数学归纳法的步骤，以及放缩法的运用，意在考查学生的逻辑推理能力．
14．如果关于x的不等式x3﹣ax2+1≥0在[﹣1，1]恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤0 B．a≤l C．a≤2 D．a
【答案】A
【分析】当时，不等式成立，当时 将不等式x3﹣ax2+1≥0在恒成立，转化为在恒成立，最后求解即可.
【解答】当时，不等式成立，
当时 关于x的不等式x3﹣ax2+1≥0在恒成立，
即在恒成立，
令，，
当时，，当时，.
所以在递增，在递减
当时，
当时，
所以的最小值为0.
所以
故选：A
【点评】本题主要考查不等式恒成立问题及导数求最值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
15．设定义在的函数的导函数为，且满足，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可．
【解答】解：，
（3），
（3），
定义在的函数，
，
令，
不等式（3），
即为（3），
，
，
，
，
，
，
单调递增，
又因为由上可知（3），
，，
．
故选：．
【点评】本题主要考查不等式的解法：利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，属于中档题．
16．函数的最大值为，且对任意实数，都有，则有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根据，可得函数关于对称，结合三角函数和二次函数的对称性与最值即可得解.
【解答】由，可得函数关于对称，关于对称，
所以必有关于对称，
依题意有.
故选：B
【点评】此题考查根据函数的最值和对称性求参数的取值，关键在于熟练掌握常见基本初等函数的基本性质.
17．已知函数，，若成立，则的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据得到，的关系，利用消元法转化为关于的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．
【解答】设，则，，
令，所以，
又在增函数，且，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增．
所以，即的最小值为．
故选A.
【点评】本题主要考查导数的应用，利用消元法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键，有一定的难度．
18．数列中，，且，则这个数列的前30项的绝对值之和为（ ）
A．495 B．765 C．3105 D．120
【答案】B
【分析】先求数列的通项，再求该数列的前多少项是负数，再求这个数列的前30项的绝对值之和.
【解答】由题得，所以数列是以-60为首项，以3为公差的等差数列，
所以，
令，
所以，
所以

=.
故答案为B
【点评】(1)本题主要考查等差数列的性质和通项，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)对于含绝对值的数列求和，首先要判定数列的各项的符号的特征,再研究解答.
19．已知a、b为正实数，直线y＝x﹣a与曲线y＝ln（x+b）相切，则的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（0，） C．（0，+∞） D．[1，+∞）
【答案】B
【分析】先求导数结合切线求出参数
【解答】因为y＝ln（x+b）的导数为，设切点，所以，.
解得，所以，
因为a、b为正实数，所以，设，
，，所以为增函数，所以.故选B.
【点评】本题主要考查导数的几何意义，利用导数的几何意义解决切线问题及利用导数求解函数的最值，侧重考查数学运算的核心素养.
20．已知，函数，若在上是单调减函数，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的解析式，可求导函数，根据导函数与单调性的关系，可以得到；分离参数 ，根据所得函数的特征求出 的取值范围.
【解答】因为
所以

因为在上是单调减函数
所以
即
所以
当时， 恒成立
当 时，


令 ，可知双刀函数，在 上为增函数，所以
即
所以选C
【点评】导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；
（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）..


21．已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，则a=________.
【答案】1
【分析】根据函数的奇偶性，确定在上的最大值为，求导函数，确定函数的单调性，求出最值，即可求得的值．
【解答】是奇函数，时，的最小值为1，
在上的最大值为，
当时，，
令得，又，，
令，则，在上递增；令，则，
在，上递减，，，得．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
22．已知函数，，若当时，存在，，使得成立，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【分析】本题将恒成立问题转化为最值，不等式问题，再解不等式即可.
【解答】由题意：存在，，使得成立，等价于.
因为，，所以当时，.
因为，，所以.
所以在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以.又，所以或.
故实数a的取值范围是.
故答案为：
【点评】本题考查不等式恒成立问题，函数的最值问题，是中档题.
23．函数的图象与函数的图象有三个交点，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】利用导数可求得的单调性和极值，进而得到函数图象，利用数形结合的方式可确定的取值范围.
【解答】，
当和时，；当时，，
在，上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，极小值为，
由此可得图象如下图所示：

由图象可知，若与有三个不同的交点，则，
即的取值范围为.
故答案为：
【点评】本题考查根据函数交点个数求解参数范围的问题，关键是能够利用导数求得函数的单调性和极值，进而确定函数的大致图象，利用数形结合的方式求得结果.
24．已知函数在上不单调，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】函数在上不单调,转化为在有零点，即有解，研究取值范围即可.
【解答】函数在上不单调,
即在有零点，
即
当，，故
故答案为：
【点评】本题考查了导数在含参函数的单调性问题中的应用，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
25．在等比数列中，前项和是，，则数列的公比______.
【答案】
【分析】联立，解出和的值，再由可求出的值.
【解答】由题意可得，
得，，
由连比定理得，故答案为.
【点评】本题考查等比数列公比的计算，同时也考查了奇数项和偶数项和的求解，在项数为的等比数列中，利用性质，可简化计算，考查计算能力，属于中等题.
26．已知函数，c为常数，当时，函数取得极值，若函数只有一个零点，则实数c的取值范围为______．
【答案】
【分析】由题意可得可求b，代入后结合导数与单调性的关系即可求解．
【解答】解：，
，
当时，函数取得极值，
，即，
，
当，时，，函数单调递增，当2时，，函数单调递减，
若函数只有一个零点，则或，
或
故实数c的取值范围为．
故而答案为：．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．
27．某厂去年的产值是万元，计划今年后年内每年都比上一年增加，从今年起这年的总产量为______万元（精确到万元）.
【答案】
【分析】设从去年开始第年的产值为万元，根据题意得出数列为等比数列，求出该等比数列的首项和公比，即可求出今年起这年的总产量.
【解答】设从去年开始第年的产值为万元，则数列为等比数列，且首项为，公比为，
所以，今年起这年的总产量为（万元）.
故答案为.
【点评】本题考查等比数列求和公式的应用，解题时要确定出等比数列的首项和公比，考查计算能力，属于中等题.
28．在数列中，，且对于任意自然数，都有，则________．
【答案】
【分析】由题意得，然后利用累加法可得出的值.
【解答】对于任意自然数，都有，则，
，，，，.
上述等式全部相加得，
因此，，故答案为：.
【点评】本题考查数列项的求解，考查累加法在求数列项中的应用，解题时要熟悉几种求通项方法对数列递推式的要求，考查运算求解能力，属于中等题.
29．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8＝32，则a2＋2a5＋a6＝________．
【答案】16
【分析】根据S8＝32，可得，由等差数列的性质可知a4＋a5＝a1＋a8，利用a2＋2a5＋a6＝2(a4＋a5) 即可得出.
【解答】解：∵S8＝32，∴.
可得a4＋a5＝a1＋a8＝8，则a2＋2a5＋a6＝2(a4＋a5)＝2×8＝16.
【点评】本题考查等差数列的性质和前n项和公式.熟练掌握等差数列的性质和前n项和公式是解决此类题的关键.
30．已知在上不单调，则实数的取值范围是______________
【答案】
【解析】【分析】先由函数求f′（x）＝﹣x﹣3，再由“函数f（x）x2﹣3x+4lnx在(t，t+1)上不单调”转化为“f′（x）＝﹣x﹣30在区间（t，t+1）上有解”从而有0在（t，t+1）上有解，进而转化为：x2+3x﹣4＝0在（t，t+1）上有解，进而求出答案．
【解答】∵函数f（x）x2﹣3x+4lnx，
∴f′（x）＝﹣x﹣3，
∵函数f（x）x2﹣3x+4lnx在（t，t+1）上不单调，
∴f′（x）＝﹣x﹣30在（t，t+1）上有解
∴0在（t，t+1）上有解
∴g（x）＝x2+3x﹣4＝0在（t，t+1）上有解，
由x2+3x﹣4＝0得：x＝1，或x＝﹣4（舍），
∴1∈（t，t+1），
即t∈（0，1），
故实数t的取值范围是（0，1），
故答案为（0，1）．
【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性与极值的关系，考查了转化思想，属于中档题．

31．已知数列{an}满足an+2+an=2an+1（），数列满足（），且a1=b1，a3=5，a5+a7=22.
（1）求an及bn；
（2）令cn=anbn，，求数列{cn}的前n项和Sn.
【答案】（1）an=2n﹣1，bn=2n﹣1；（2）Sn=3+（2n﹣3）2n.
【分析】（1）由已知可得是等差数列，是等比数列，由基本量法求得，然后可得；
（2）用错位相减法求和．
【解答】（1）由数列{an}满足an+2+an=2an+1（），
可得{an}等差数列，设公差为d，
数列满足=d，
即{bn}等比数列，
由题有可得，
即有an=2n﹣1；
由=2，而b1=a1=1，可得bn=；
（2）cn=anbn=（2n﹣1）2n﹣1，
则前n项和Sn=11+32+522+…+(2n﹣1)，
2Sn=12+322+523+…+（2n﹣1）2n，
两式相减，得﹣Sn=1+2(2+22+…+)﹣(2n﹣1)2n
=1+2﹣(2n﹣1)2n，
化简可得.
【点评】本题考查求等差数列与等比数列的通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法：
设数列是等差数列，是等比数列，
（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；
（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；
（3）裂项相消法；如数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；
（4）分组（并项）求和法：例如数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用用并项求和法；
（5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和．
32．已知函数f（x）＝﹣4x+1．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈[﹣2，5]时，求函数f（x）的最大值和最小值．
【答案】（1）单调递增区间是（﹣∞，﹣1）和（4，+∞），单调递减区间是（﹣1，4）；（2）最大值为，最小值为．
【分析】（1）直接利用导数求函数的单调区间；
（2）利用函数的单调性，比较端点函数值和极值的大小关系即得解.
【解答】（1）由题得＝（x﹣4）（x+1），
所以函数f（x）单调递增区间是（﹣∞，﹣1）和（4，+∞），函数f（x）单调递减区间是（﹣1，4）；
（2）当x∈[﹣2，﹣1]时，＞0，当x∈[﹣1，4]时，＜0，当x∈[4，5]时，＞0，
所以，
所以当x＝﹣1时，函数f（x）为，当x＝4时，函数f（x）的最小值为．
【点评】本题主要考查利用导数求函数的单调区间和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
33．已知函数.
（1）当时，求函数的极值点；
（2）记，若对任意都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）的极小值点为；无极大值点；（2）.
【分析】（1）求出，再求出的零点，结合导数的符号可得函数的极值点；
（2）令，求出，就和讨论的最值的符号后可得实数的取值范围.
【解答】（1），定义域为
∴，
令，得，列表讨论如下：






0


递减
极小值
递增

∴的极小值点为；无极大值点.
（2）由题得，对任意，恒有，
令，
则，其中，
∵
，
∵，∴.
当时，恒有，
所以（不恒为零），函数单调递增，，成立；
当时，令，则，
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
为函数的最小值，
又，所以不成立.
综上所述，.
【点评】本题考查函数的极值、不等式的恒成立，前者利用导数的符号，后者可转化为函数的最值，本题属于中档题.
34．设函数，，已知它们在处有相同的切线.
（1）求函数，的解析式；
（2）求函数在上的最小值.
【答案】（1），；（2）答案见解析.
【分析】（1）利用且，然后求解出的值，则可得到与的解析式；
（2）求导，讨论在上的单调性，然后确定取得最小值的点及最小值.
【解答】解：（1）函数，，
可得，，
由题意，两函数在处有相同的切线.
∴，，
∴，
又，
∴，，
∴，.
（2），由得，由得，
∴在单调递增，在单调递减，
∵，∴，
①当时，在单调递减，单调递增，
∴的最小值为；
②当时，在单调递增，
∴的最小值为.
∴综上可得，当时，的最小值为；
当时，的最小值为.
【点评】本题考查导数的几何意义，考查利用导数分析函数的单调性及最值，难度一般.导数与最值问题解答时要注意分类讨论，分析清楚原函数的单调性是关键.
35．已知函数f(x)＝(x2－ax)ex(x∈R)，a为实数．
(1)当a＝0时，求函数f(x)的单调增区间；
(2)若f(x)在闭区间[－1,1]上为减函数，求a的取值范围．
【答案】（1）(0，＋∞)和(－∞，－2)； （2） .
【分析】(1)利用导数求函数f(x)的单调增区间.(2)先求导得f′(x)＝(2x－a)ex＋(x2－ax)ex＝[x2＋(2－a)x－a]ex，记g(x)＝x2＋(2－a)x－a.依题意知，x∈[－1,1]时，g(x)≤0恒成立．
数形结合分析得到，解不等式即得a的取值范围.
【解答】(1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝2xex＋x2ex＝(x2＋2x)ex.
由f′(x)>0⇒x>0或x<－2.
故f(x)的单调增区间为(0，＋∞)和(－∞，－2)．
(2)由f(x)＝(x2－ax)ex，x∈R⇒f′(x)＝(2x－a)ex＋(x2－ax)ex＝[x2＋(2－a)x－a]ex.
记g(x)＝x2＋(2－a)x－a.
依题意知，x∈[－1,1]时，g(x)≤0恒成立．
结合g(x)的图像特征得，
即a≥，所以a的取值范围是 .
【点评】(1)本题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是数形结合分析得到
.
36．设函数，.
（1）若，求函数在上的最小值；
（2）求函数的极值点.
【答案】（1）1；（2）见解析
【分析】（1）求出函数的导数，判断函数在上的单调性，进而求出在上的最小值；
（2）求出函数的导数，构造函数，再通过讨论的范围，求出函数的单调性，从而确定的极值点.
【解答】（1）当时，，
则，
当时，，
所以在上是增函数，
当时，取得最小值，
所以在上的最小值为1.
（2），则，
令，
①当时，在上恒成立，此时，
所以在上单调递增，
此时，函数没有极值点；
②当时，
当，即时，
在上恒成立，
此时，
所以在上单调递增，
此时，函数没有极值点；
当，即时，
令，则，
当时，，即；
当或时，
，即；
所以当时，是函数的极大值点；是函数的极小值点.
综上，当时，函数没有极值点；
当时，是函数的极大值点；
是函数的极小值点.
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性及极值点，属于中档题.函数与导数问题中，要注意定义域优先法则的应用.利用导数求函数的极值点时，首先确定定义域，再求导，并令导函数等于0得到驻点，分析驻点左右导函数的正负，进而求得极值点.
37．已知函数，.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）证明：.
【答案】（1）单调递减区间，没有递增区间；（2）见解析
【分析】（1）把代入后对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；
（2）原不等式可转化为，结合导数与单调性关系及(1)中结论lnx-x+1≤0可求.
【解答】（1）解：， ，
当时，单调递增，当时，单调递减，
故，
故的单调递减区间，没有递增区间；
（2）证明：，，
因为，
所以当时，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故，
由(1)知，
所以，即，
所以即，
因为，
所以.
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数证明不等式，考查了数学运算能力.
38．已知函数且a≠1,函数.
（1）判断并证明f(x)和g(x)的奇偶性;
（2）求g(x)的值域;
（3）若∀x∈R,都有|f(x)|≥|g(x)|成立,求a的取值范围.
【答案】（1）答案见解析.（2）.（3）.
.
【分析】（1）利用定义判断函数的奇偶性得解；（2）利用双勾函数的图象和性质求出值域；（3）考虑到函数f(x),g(x)都是奇函数,故只需保证x≥0时都有|f(x)|≥|g(x)|即可,再对a分两种情况a＞1和0＜a＜1讨论，利用导数求出实数a的取值范围是.
【解答】（1）首先,f(x),g(x)的定义域都是R,是关于原点对称的,
其次,f(﹣x)=a﹣x﹣a﹣(﹣x)=﹣(ax﹣a﹣x)=﹣f(x),,
∴函数f(x),g(x)均为奇函数;
（2）当x=0时,g(0)=0;
当x≠0时,,
令,则由双勾函数的性质可知,t∈(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞),
∴,即此时,
综上,函数g(x)的值域为;
（3）考虑到函数f(x),g(x)都是奇函数,故只需保证x≥0时都有|f(x)|≥|g(x)|即可,
这是因为当x＜0时,|f(x)|=|f(﹣x)|,|g(x)|=|g(﹣x)|,
①先考虑a＞1的情形,此时f(x)=ax﹣a﹣x≥1﹣1=0,g(x)≥0,
因此只需当x≥0时,f(x)﹣g(x)≥0恒成立即可,
令,则,
令,则,
当时,φ′(x)>0,即φ(x)单增,故此时φ(x)min=φ(0)=﹣1;
当时,,故x=0时,φ(x)气的最小值﹣1,
若,则h′(x)=(ax+a﹣x)lna+φ(x)≥2lna﹣1≥0,
∴h(x)单增,故h(x)≥h(0)=0,符合题设;
若,则,
且0＜x＜1时,,h′(x)单增,
故由零点存在性定理可知存在x0∈(0,1),使得h′(x0)=0,
且x∈(0,x0)时h′(x)＜0,h(x)单减,当x∈(x0,1)时h′(x)＞0,h(x)单增,
则h(x0) 故;
②再考虑0＜a＜1的情形,此时,
此时的与①中的a地位等价,同①理可知,即,
综合①②可知,实数a的取值范围是.
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，考查利用导数求函数的值域，考查利用导数综合研究函数的单调性和最值等，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
39．确定函数，的单调区间．
【答案】单调增区间为，单调减区间为．
【分析】求出函数的导数，在上分别解不等式和，可得出函数在区间上的单调递增区间和单调递减区间.
【解答】，，
，则，则.
令，则，又，所以；
令，则，又，所以．
因此，函数的单调增区间为，单调减区间为．
【点评】本题考查利用求导数函数的单调区间，同时也考查了简单复合函数的导数，解题时要熟悉导数符号与单调区间之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.
40．已知曲线.
(1) 求曲线在处的切线方程；
(2) 求曲线过原点的切线方程.
【答案】（1）；(2)或.
【分析】（1）求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）设切点，求出切线的斜率，得到切线方程，代入点（0，0），解得切点坐标，进而得到切线方程.
【解答】(1)由题意得，所以，，可得切线方程为，整理得.
(2)令切点为（，），因为切点在函数图像上，所以，，所以在该点处的切线为
因为切线过原点，所以，解得或，
当时，切点为（0,0），，切线方程为，
当时，切点为，，切线方程为y=0,
所以切线方程为或y=0.
【点评】本题考查导数的几何意义和“过”、“在”某点处的切线区别，关键是利用某点处的切线的斜率是该点处的导数值，以及切点在曲线上和切线上来解题．
41．已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）求证：若对恒成立，则；
（3）设，对任意的，都有成立，求实数的取值范围．.
【答案】（1）极小值为a﹣1﹣alna；（2）证明见解析；（3）[﹣3，0）.
【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对分类求解函数的极值；
（2）由（1）知，当时，函数在上是增函数，而（1），可得当时，，与恒成立相矛盾；当时，函数在上是增函数，在上是减函数，结合（1），可得若对恒成立，则；
（3）设，则等价于函数在区间，上是减函数即使在，上恒成立，然后利用分离法将分离出来，从而求出的范围．
【解答】（1），
若，则在上恒成立，在上单调递增，原函数无极值；
若，则当时，，当时，，
在上为减函数，在上为增函数，
则的极小值为（a）；
（2）由（1）知，当时，函数在上是增函数，
而（1），当时，，与恒成立相矛盾，
不满足题意；
当时，函数在上是增函数，在上是减函数，
（a）
（1），当时，（a）（1），此时与恒成立相矛盾．
；
（3）由（2）可知，
当时，函数在，上是增函数，又函数在，上是减函数，
不妨设，
则，
，即．
设，
则等价于函数在区间，上是减函数．
，在，上恒成立，
即在，上恒成立，即不小于在，内的最大值．
而函数在，是增函数，的最大值为．
，
又，，．
【点评】不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.
42．已知函数h(x)=，不等式对于x∈(0，+∞)恒成立.
（1）求函数h(x)的最值；
（2）求实数t的值；
（3）已知实数，其中e为自然对数的底数.若对任意的x∈(0，1]，都恒成立，求正实数m的取值范围.
【答案】（1）最大值为，无最小值；（2）e；（3）(1，+∞).
【分析】（1）先求导，令h′(x)>0，h′(x)<0，得到函数的单调性求解.
（2）将不等式t≥(1+)t对于x∈(0，+∞)恒成立，转化为对于所有的x∈(0，+∞)恒成立，结合（1）中h(x)=的最大值为求解.
（3）令，求导，求其最小值即可.
【解答】（1）由题可得，
则当x∈(0，e)时，h′(x)>0，当x∈(e，+∞)时，h′(x)<0，
∴h(x)在区间(0，e)上单调递增，在区间(e，+∞)上单调递减，
∴h(x)的最大值为，无最小值，
（2）因为不等式对于x∈(0，+∞)恒成立.
则，对于x∈(0，+∞)恒成立.
即：对于所有的x∈(0，+∞)恒成立，
由（1）知h(x)=的最大值为，
所以，
又，
所以 ，
所以 .
（3）令，
化简得：，
当m>0时，,
令得，，
所以在上递减，在上递增；
∵m>0，
∴，
∴F(x)在(0，1)上单调递减
∴F(x)min=F（1）=2m+2>4，
∴m>1
综上：正实数m的取值范围为(1，+∞).
【点评】方法【点评】恒（能）成立问题的解法：
若在区间D上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；；
43．已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间及极值；
（2）讨论函数的零点个数.
【答案】（1）增区间为，减区间为，极大值为，无极小值，（2）答案见解析.
【分析】（1）求导，求出的解，即可求出单调区间，进而求出极值；
（2）求导，求出单调区间，确定极值，根据极值的正负以及零点存在性定理，对分类讨论，即可求解.
【解答】由题得，函数的定义域为.
（1）当时，，
所以，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
所以当时，有极大值，
且极大值为，无极小值.
（2）由，得.
当时，恒成立，函数单调递增，
当时，，
又，所以函数有且只有一个零点；
当时，令，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以的极大值为
，
①当，即得时，
解得，此时函数没有零点；
②当，即时，函数有1个零点；
③当，即时，
.
当时，令，
则在上恒成立，
所以，即，
所以，
故当且时，.
当时，有，
所以函数有2个零点.
综上所述：当时，函数没有零点；
当或时.函数有1个零点；
当时，函数有2个零点.
【点评】本题考查导数在研究函数性质的应用，涉及到函数的单调区间、极值、和零点个数判断，以及零点存在性定理的灵活运用，考查分类讨论思想和数形结合思想，属于较难题.
44．已知函数，其中.
（1）讨论函数的单调性；
（2）记函数的极小值为，若成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）在单调递增，在单调递减;（2）.
【分析】（1）对函数进行求导得到，在解不等式即可得到单调区间；
（2）利用导数求出函数的极小值为，从而得到恒成立，再利用导数研究的单调性，从而求得答案.
【解答】（1）∵，
∵，
∴，，
∴在区间单调递增，在区间单调递减.
（2）∵，
∴，
∵，∴，
∴或，，
∴在单调递减，单调递增，
∴，
∴，
令，
在恒成立，
单调递减，且，
∴时，成立，
∴实数的取值范围是.
【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间、利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
45．已知函数().
（1）若,求函数的单调区间;
（2）当时,若函数在上的最大值和最小值的和为1,求实数的值.
【答案】（1）答案见解析.（2）
【分析】（1）利用的导函数，求得的单调区间.
（2）利用的导函数，求得的单调区间，对分成，，三种情况进行分类讨论，结合在区间上最大值和最小的和为，求得实数的值.
【解答】（1）当a=3时,f(x)=2x3﹣3x2+1,x∈R,
∴f'(x)=6x2﹣6x=6x(x﹣1),
令f'(x)>0得,x<0或x>1;令f'(x)<0得,0 ∴函数f(x)的的单调增区间为(﹣∞,0)和(1,+∞),单调递减区间为(0,1),
（2）函数f(x)=2x3﹣ax2+1,a>0,
∴f'(x)=6x2﹣2ax=2x(3x﹣a),
令f'(x)=0得,x=0或,
列表:
x
(﹣∞,0)
0
(0,)

(,+∞)
f'(x)
+
0
﹣
0
+
f(x)
递增
极大值
递减
极小值
递增

①当0 ∴函数f(x)在[﹣1,0]上单调递增,在[0,]上单调递减,在[,1]上单调递增,
又∵f(﹣1)=﹣1﹣a,f(0)=1,f（1）=3﹣a≥1,f()=1,且0 ∴f(x)max=f（1）=3﹣a,f(x)min=f(﹣1)=﹣1﹣a,
∴(3﹣a)+(﹣1﹣a)=1,
∴a,
②当2 ∴函数f(x)在[﹣1,0]上单调递增,在[0,]上单调递减,在[,1]上单调递增,
又∵f(﹣1)=﹣1﹣a,f(0)=1,f（1）=3﹣a,f()=1,且0 ∴f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(﹣1)=﹣1﹣a,
∴1+(﹣1﹣a)=1,
∴a=﹣1,不符合题意,舍去,
③当a≥3时,,
∴函数f(x)在[﹣1,0]上单调递增,在[0,1]上单调递减,
∴f(x)max=f(0)=1,
又∵f(﹣1)=﹣1﹣a,f（1）=3﹣a,∴f(x)min=f(﹣1)=﹣1﹣a,
∴1+(﹣1﹣a)=1,
∴a=﹣1,不符合题意,舍去,
综上所述,若函数f(x)在[﹣1,1]上的最大值和最小值的和为1,实数a的值为.
【点评】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究函数的最值，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
46．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】(1)先求出导函数,再对a分情况讨论即可得到f(x)的单调性;
(2)若f(x)≥0恒成立,则f(x)的最小值大于等于0,结合第(1)问函数f(x)的单调性,即可确定最值,求出a的取值范围.
【解答】(1)函数的导函数为,
当时,函数在单调递增;
当时,函数在上单调递减,在上单调递增;
当时,函数在上单调递减,在上单调递增.
(2)当时,满足题意;
由(1)可知:
当时,的最小值为,
解得;
当时,的最小值为,
解得;
综上所述,的取值范围为.
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值,属于中档题.
47．已知函数的图象在处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）若关于的方程在上有解，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）求，由条件可得，得出关于的方程组，求解可得；
（2）令，注意，所以在具有单调性时，则方程无解，求，对分类讨论，求出单调区间，结合函数值的变化趋势，即可求得结论.
【解答】解：（1），
因为，所以，
解得，，所以.
（2）令，
则.
令，则在上单调递增.
当，即时，，
所以单调递增，又，所以；
当，即时，则存在，使得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又，则.
当时，，所以在上有解.
综上，的取值范围为.
【点评】本题考查导数的几何意义求参数，考查导数的综合应用，涉及到单调区间、函数零点的问题，考查分类讨论思想，属于较难题.
48．已知函数，．
（1）若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；
（2）设，为正实数且，求证：．
【答案】（1） （2）见解析
【分析】（1）由题意知，代入可求，然后根据导数的几何意义即可求解．
（2）不妨设，要证，只需证，只需证，构造函数，结合导数与单调性的关系可证．
【解答】（1），
由题意知，代入得，经检验，符合题意，
从而切线斜率，切点为，
切线方程为.
（2）不妨设，要证，只需证，
即证，只需证，
设，则，
故在上是单调递增函数，
又，所以，即成立，
所以．
同理，成立．
【点评】考查利用导数的几何意义、切线方程、利用导数证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．
49．对于给定的正整数k,若数列{an}满足
对任意正整数n(n> k) 总成立，则称数列{an} 是“P(k)数列”.
(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；
（2）若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】试题分析：（1）利用等差数列性质得，即得，再根据定义即可判断；（2）先根据定义得，，再将条件集中消元：，，即得，最后验证起始项也满足即可．
试题解析：证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则，
从而，当时，
，
所以，
因此等差数列是“数列”.
（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，
当时，，①
当时，.②
由①知， ，③
，④
将③④代入②，得，其中，
所以是等差数列，设其公差为.
在①中，取，则，所以，
在①中，取，则，所以，
所以数列是等差数列.
点睛:证明为等差数列的方法：①用定义证明：为常数）；②用等差中项证明：；③通项法：为关于的一次函数；④前项和法：．
50．已知函数，其中.
（1）求证：当时，无极值点；
（2）若函数，是否存在，使得在处取得极小值？并说明理由.
【答案】（1）证明见解析（2）存在；详见解析
【分析】（1）求导，由，可知导函数大于零恒成立，由此即可得出无极值点；

（2）先必要性探路可知，再证明当时，是函数的极小值点，即证明其充分性，由此即可得出结论．
【解答】解：（1）证明：，
显然，，
当时，，
即，
∴函数在其定义域上为增函数，
故无极值点；
（2），
，
显然是的极小值点的必要条件，
为，即，
此时，
显然当时，
，
当时，
，
故，
令，
则，
故是减函数，
故当时，，
即，
令，
则，
当时，，
故在单调递增，
故当时，，
即，
故当时，
，
因此，当时，
是的极小值点，即充分性也成立.
综上，存在，使得在处取得极小值.
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，考查化归与转化思想．