人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置教学设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置教学设计，共11页。教案主要包含了探究新知，典例解析，小结，课时练等内容，欢迎下载使用。

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习圆与圆的位置关系。
学生在初中的几何学习中已经接触过圆与圆的位置关系，上节已经学习了直线与圆的位置关系，因此本节课是对已学内容的深化何延伸；另一方面，本节课对于后面学习直线与圆锥曲线的位置关系等内容又是一个铺垫，具有承上启下的地位。坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。
重点：圆与圆的位置关系及判定方法
难点：综合应用圆与圆的位置关系解决问题
多媒体
针对本节课的特点，在教法上，采用以教师为主导、学生为主体的教学方法；在教学过程中，注重启发式引导、反馈式评价，充分调动学生的学习积极性，鼓励同学们动手计算，采用一题多变的形式，让学生体会由简单到复杂，由特殊到一般的题型及相应解题策略，教师在学生活动后，给予帮助，促进数学概念的建构，促进数学基本素养的形成；在教学手段上，运用黑板板书和多媒体展示，激发学生的创造力，活跃了气氛，加深了理解。注重提升学生逻辑推理、数学抽样、数学运算等数学核心素养。
课程目标
学科素养
A.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.
B.能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系.
C.能综合应用圆与圆的位置关系解决问题.
1.数学抽象：圆与圆的位置关系
2.逻辑推理：判断圆与圆的位置关系
3.数学运算：判断圆与圆的位置关系
4.数学建模：圆和圆的方程解决实际问题
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
情境导学
日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日。日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生。日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食。
我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的?
前面我们运用直线的方程，圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系。
二、探究新知
圆与圆的位置关系的判定方法
1.几何法:
圆O1:(x-x1)2+(y-y1)2=r12(r1>0),圆O2:(x-x2)2+(y-y2)2=r22(r2>0),
两圆的圆心距d=|O1O2|=(x1-x2)2+(y1-y2)2,则有
位置
关系
外离
外切
相交
内切
内含
图
示
d与r1,r2的
关系
d>r1+r2
d=r1+r2
|r1-r2|d=|r1-r2|
d<|r1-r2|
2.代数法:圆O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E12-4F1>0),圆O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D22+E22-4F2>0),两圆的方程联立得方程组,则有
方程组解的情况
2组
1组
0组
两圆的公共点
2个
1个
0个
两圆的位置关系
相交
外切或内切
外离或内含
1. 判断下列两圆的位置关系:
①(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16.
②x2+y2+6x-7=0与x2+y2+6y-27=0.
解:①根据题意得,两圆的半径分别为r1=1和r2=4,两圆的圆心距
d=[2-(-2)]2+(5-2)2=5.
因为d=r1+r2,所以两圆外切.
②将两圆的方程化为标准方程,得(x+3)2+y2=16,x2+(y+3)2=36,
故两圆的半径分别为r1=4和r2=6.
两圆的圆心距
d=[0-(-3)]2+(-3-0)2=32,因为|r1-r2|三、典例解析
例1 已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0),圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时,两圆C1,C2的位置关系为:
(1)相切;(2)相交;(3)外离;(4)内含?
思路分析:求出圆心距,与两半径的和或差比较求出a的值.
解:圆C1,C2的方程,经配方后可得
C1:(x-a)2+(y-1)2=16,
C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,
∴圆心C1(a,1),C2(2a,1),半径r1=4,r2=1.
∴|C1C2|=(a-2a)2+(1-1)2=a.
(1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切;
当|C1C2|=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切.
(2)当3<|C1C2|<5,即3(3)当|C1C2|>5,即a>5时,两圆外离.
(4)当|C1C2|<3,即0判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法:利用两圆半径的和或差与圆心距作比较,得到两圆的位置关系;
(2)代数法:把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题,转化为方程组的解的组数问题.
跟踪训练1 若两圆x2+y2=a与x2+y2+6x-8y-11=0内切,则a的值为 .
解析:∵x2+y2=a表示一个圆,∴a>0.
两圆的圆心、半径长分别为(0,0),a与(-3,4),6.
由于两圆内切,则(0+3)2+(0-4)2=|a-6|,
解得a=121或a=1.
答案:121或1
例2已知圆C1:x2+y2+6x-4=0和圆C2:x2+y2+6y-28=0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长;
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.
思路分析:(1)两圆方程相减求出公共弦所在直线方程,再根据半径、弦心距、弦长的关系求出弦长.
(2)可求出两圆的交点坐标,结合圆心在直线x-y-4=0上求出圆心坐标与半径,也可利用圆系方程求解.
解:(1)设两圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点坐标是方程组x2+y2+6x-4=0, ①x2+y2+6y-28=0,②的解.
①-②,得x-y+4=0.
∵A,B两点坐标都满足此方程,
∴x-y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程.
又圆C1的圆心(-3,0),r=13,
C1到直线AB的距离为d=|-3+4|2=22,
∴|AB|=2r2-d2=213-12=52,
即两圆的公共弦长为52.
(2)(方法1)解方程组x2+y2+6x-4=0,x2+y2+6y-28=0,
得两圆的交点A(-1,3),B(-6,-2).
设所求圆的圆心为(a,b),因圆心在直线x-y-4=0上,故b=a-4.
则(a+1)2+(a-4-3)2=(a+6)2+(a-4+2)2,
解得a=12,故圆心为12,-72,半径为892.
故圆的方程为(x-12)2+(y+72)2=892,
即x2+y2-x+7y-32=0.
(方法2)设所求圆的方程为x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0(λ≠-1),
其圆心为(-31+λ,-3λ1+λ),代入x-y-4=0,解得λ=-7.
故所求圆的方程为x2+y2-x+7y-32=0.
相交弦及圆系方程问题的解决
1.求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数.
2.求两圆公共弦长的方法:一是联立两圆方程求出交点坐标,再用距离公式求解;二是先求出两圆公共弦所在的直线方程,再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.
3.已知圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则过两圆交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).
跟踪训练1 两圆相交于两点A(1,3)和B(m,-1),两圆圆心都在直线x-y+c=0上,则m+c的
值为 .
解析:由题意知直线AB与直线x-y+c=0垂直,
∴kAB×1=-1.即3-(-1)1-m=-1,得m=5,∴AB的中点坐标为(3,1).
AB的中点在直线x-y+c=0上,
∴3-1+c=0,∴c=-2,∴m+c=5-2=3.
答案:3
例3求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+3y=0相切于点M(3,-3)的圆的方程.
思路分析:设圆的方程,利用两圆外切和直线与圆相切建立方程组求得.
解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
由题知所求圆与圆x2+y2-2x=0外切,
则(a-1)2+b2=r+1.①
又所求圆过点M的切线为直线x+3y=0,
故b+3a-3=3.② |a+3b|2=r.③
解由①②③组成的方程组得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-43,r=6.
故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+43)2=36.
变式探究1 将本例变为“求与圆x2+y2-2x=0外切,圆心在x轴上,且过点(3,- 3)的圆的方程”,如何求?
解:因为圆心在x轴上,
所以可设圆心坐标为(a,0),设半径为r,
则所求圆的方程为(x-a)2+y2=r2,
又因为与圆x2+y2-2x=0外切,且过点(3,-3),
所以(a-1)2+02=r+1,(3-a)2+(-3)2=r2, 解得a=4,r=2,
所以圆的方程为(x-4)2+y2=4.
又因为与圆x2+y2-2x=0外切,且过点(3,-3),
所以(a-1)2+02=r+1,(3-a)2+(-3)2=r2, 解得a=4,r=2,
所以圆的方程为(x-4)2+y2=4.
变式探究2将本例改为“若圆x2+y2-2x=0与圆x2+y2-8x-8y+m=0相外切”,试求实数m的值.
解:圆x2+y2-2x=0的圆心为A(1,0),半径为r1=1,
圆x2+y2-8x-8y+m=0的圆心为B(4,4),
半径为r2=32-m.因为两圆相外切,
所以(4-1)2+(4-0)2=1+32-m,解得m=16.
通过具体的情景，帮助学生回顾初中几何中已学的圆与圆的位置关系，同时类比直线与圆的位置关系的研究方法。
通过典例解析，帮助学生进一步熟悉两种基本方法，判断圆与圆的位置关系。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。

在典例分析和练习中掌握判断圆与圆位置关系的方法，即：代数法与几何法。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

通过圆与圆位置关系的综合问题，提升学生数学建模，数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
三、达标检测
1.两圆x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是( )
A.内切B.相交C.外切 D.外离
解析:圆x2+y2-1=0表示以O1(0,0)点为圆心,以R1=1为半径的圆.
圆x2+y2-4x+2y-4=0表示以O2(2,-1)点为圆心,以R2=3为半径的圆.
∵|O1O2|=5,∴R2-R1<|O1O2|∴圆x2+y2-1=0和圆x2+y2-4x+2y-4=0相交.
答案:B
2.圆C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直线方程是 .
解析:两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x+3y-2=0.
答案:4x+3y-2=0
3.半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程为( )
A.(x-4)2+(y-6)2=16 B.(x±4)2+(y-6)2=16
C.(x-4)2+(y-6)2=36 D.(x±4)2+(y-6)2=36
解析:设所求圆心坐标为(a,b),则|b|=6.由题意,得a2+(b-3)2=(6-1)2=25.
若b=6,则a=±4;若b=-6,则a无解.故所求圆方程为(x±4)2+(y-6)2=36.
答案:D
4.若圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-2ax+a2-1=0内切,则a等于 .
解析:圆C1的圆心C1(0,0),半径r1=2.圆C2可化为(x-a)2+y2=1,即圆心C2(a,0),半径r2=1,若两圆内切,需|C1C2|=a2+02=2-1=1.解得a=±1. 答案:±1
5. 已知两个圆C1:x2+y2=4,C2:x2+y2-2x-4y+4=0,直线l:x+2y=0,求经过C1和C2的交点且和l相切的圆的方程.
解:设所求圆的方程为x2+y2+4-2x-4y+λ(x2+y2-4)=0,即(1+λ)x2+(1+λ)y2-2x-4y+4(1-λ)=0.
所以圆心为11+λ,21+λ,
半径为12(-21+λ) 2+(-41+λ) 2-16(1-λ1+λ),
即11+λ+41+λ5=124+16-16(1-λ2)(1+λ)2.
解得λ=±1,舍去λ=-1,圆x2+y2=4显然不符合题意,故所求圆的方程为x2+y2-x-2y=0.
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
四、小结
五、课时练
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。