高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.4 曲线与方程优秀教案及反思

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本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，本节课主要学习曲线与方程


“曲线和方程”这节，揭示了几何中的“形”与代数中的“数”的统一，为“依形判数”和“就数论形”的相互转化奠定了扎实的基础， 由于曲线和方程的概念是解析几何中最基本的内容，因而学生用解析法研究几何图形的性质时，只有透彻理解曲线和方程的意义，才能算是寻得了解析几何学习的入门之径。求曲线与方程的问题，也贯穿了这一章的始终，所以应该认识到，本节内容是解析几何的重点内容之一。本节中提出的曲线与方程的概念，它既是对以前学过的函数及其图象、直线的方程、圆的方程等数学知识的深化，又是学习圆锥曲线的理论基础，它贯穿于研究圆锥曲线的全过程，根据曲线与方程的对应关系，通过研究方程来研究曲线的几何性质，是几何的研究实现了代数化。数与形的有机结合，在本章中得到了充分体现。








重点：曲线的方程与方程的曲线的概念


难点：求曲线的方程及由方程研究曲线的性质





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新课标强调返璞归真，努力揭示数学概念、结论的发展背景，过程和本质，揭示人们探索真理的道路。本节课在学生学习了集合和直线的方程、圆的方程知识的基础上，使学生理解数学概念、结论产生的背景和逐步形成的过程，体会孕育在其中的思想，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。为突破曲线的方程与方程的曲线定义的难点，选择学生认知结构中与新知最邻近“直线的方程”，“ 圆的方程”入手，以集合相等，辅助理解 “曲线的方程”与“方程的曲线”，进一步强化了概念理解的深刻性。无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则。








课程目标
学科素养
A..学习本节要掌握曲线的方程与方程的曲线的概念,明确曲线的点集和方程解集间的一一对应关系,并能根据点的坐标是否适合方程,来判断该点是否在曲线上.


B.能够通过求方程组的解,来确定曲线的交点.


C.初步掌握由曲线的已知条件求曲线的方程及根据曲线的方程研究曲线的性质的方法.
1.数学抽象：曲线与方程的关系


2.逻辑推理：曲线的方程与方程的曲线的关系


3.数学运算： 根据条件求曲线的方程


4.数学建模：运用方程研究曲线的性质



教学过程
教学设计意图


核心素养目标
创设问题情境，探究新知


前面我们学习了直线与圆的方程，知道平面直角坐标系中的一个点，在直线和圆上的充要条件，是它的坐标满足直线和圆的方程，我们还借助直线与圆的方程讨论了直线与直线，直线与圆，圆与圆的位置关系，不难想到借助方程，应该还可以讨论平面内的其他几何对象及其性质等。


（1）如图所示，设l1,l2是平面内两条相互垂直的直线，且M是所有到l1,l2的距离相等的点组成的集合，在图中找出M中的所有元素，如果以l1,l2分别为坐标轴建立直角坐标系，那么M中的点的坐标有什么特点？








（2）将y=x看成x与y的方程，如果x=a且y=b(a,b为实数) 能使方程y=x成立，则称(a,b)是方程y=x的一组实数解，你能找出满足这个方程的三组实数解吗？这个方程有多少组实数解 ？如果将每一组实数解都看成平面直角坐标系中的一点，那么所有实数解表示的点组成的集合与（1）一中的集合M有什么关系？





1.曲线的方程与方程的曲线的定义


在平面直角坐标系中,如果曲线C与方程F(x,y)=0之间具有如下关系:


(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;


(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.


则曲线C为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.





思考1.若曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程,则曲线上的点集与方程的解集之间是一一对应关系吗?


提示:①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.它阐明的含义是曲线上没有坐标不满足方程的点.


②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.它阐明的含义是适合条件的所有点都在曲线上,即没有遗漏的点.所以两个条件充分保证了曲线上的点一个也不多,一个也不少,即曲线上的点集与方程的解集之间建立了一一对应关系.


二、典例解析


例1.已知平面直角坐标系中C是端点为原点且其他所有点都在 x轴正半轴上的射线，判断 y=0 以及y=0 （ x>0）是否是C的方程，如果都不是，写出C的方程。


解：可以看出，C上的点的纵坐标必为0，即如果P(x,y)为C上的点，则必有y=0 ; 另一方面，纵坐标为0的点，当横坐标小于0时，在x轴的负半轴上，不在C上。因此y=0不是C的方程。


类似地，因为C上的点的横坐标大于等于0，所以C上的点(0,0)不满足方程y=0 （ x>0） ，因此这也不是C的方程。


由上分析可知，C的方程是y=0 （ x≥0）


1.曲线与方程的定义表明:曲线C的方程是F(x,y)=0的充分必要条件是曲线C上所有点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,并且以方程F(x,y)=0的实数解为坐标的点都在曲线C上,这是识别曲线和方程关系的基本依据.


2.判断点与曲线关系的方法


(1)从点的坐标角度


若点M(x0,y0)在方程f(x,y)=0所表示的曲线C上,则f(x0,y0)=0;或若f(x0,y0)≠0,则点M(x0,y0)不在方程f(x,y)=0表示的曲线C上.


(2)从方程的解的角度


若f(x0,y0)=0,则点M(x0,y0)在方程f(x,y)=0所表示的曲线C上;或若点M(x0,y0)不在方程f(x,y)=0表示的曲线C上,则f(x0,y0)≠0.





跟踪训练1 （1）如果曲线C上所有点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,那么以下说法正确的是( )


A.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上


B.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点有些不在曲线C上


C.不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解


D.坐标不满足方程F(x,y)=0的点都不在曲线C上


解析:由题意可知,曲线C上的所有点构成的集合是方程F(x,y)=0的解构成的集合的子集,它包含两种情形:①真子集;②相等.据以上可知,选项A,B,C都是不正确的,只有选项D是正确的.


答案:D


(2) 方程(2x+3y-1)(x-3-1)=0表示的曲线是( )


A.两条直线 B.两条射线


C.两条线段 D.一条直线和一条射线


解析:原方程可化为2x+3y-1=0,x-3≥0或x-3-1=0,即2x+3y-1=0(x≥3)或x=4,故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.


答案:D


例2.已知曲线C1 的方程是x2-y=0，曲线C2的方程是y=x，判断C1与C2是否有交点，如果有，求出交点坐标；如果没有说明理由。


分析：有曲线的方程的定义可知，一个点是两条曲线的交点的充要条件是，该点的坐标是这两条曲线的方程的公共实数解，因此可以通过解方程组来判断两条曲线是否有交点等。


解：联立两个方程得方程组x2-y=0y=x


解方程组可得x=0y=0或x=1y=1或x=-1y=1


因此C1与C2有三个交点，且交点坐标为(0,0)， (1,1) ，(-1,1)


2.求两曲线的交点


已知曲线C1:F(x,y)=0和曲线C2:G(x,y)=0,求这两条曲线的交点坐标,只要求方程组F(x,y)=0,G(x,y)=0的实数解就可以得到.





已知l1,l2是平面内两条相互垂直的直线，且曲线C是到l1,l2的距离的乘积等于1的点组成的集合


（1）建立适当的平面直角坐标系，写出曲线C的方程；


（2）根据曲线的方程，说出曲线具有的性质，然后作出曲线C.








例3. 已知平面上两个定点A,B之间的距离为2a,点M到A,B两点的距离之比为2∶1,求动点M的轨迹方程.


分析因为已知条件中未给定坐标系,所以需“恰当”建立坐标系.考虑到对称性,由|AB|=2a,选A,B两点所在的直线为x轴,AB中点为坐标原点,则A(-a,0),B(a,0),然后求解.


解:如图所示,以两定点A,B所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系.


由|AB|=2a,可设A(-a,0),B(a,0),M(x,y).


因为|MA|∶|MB|=2∶1,


所以(x+a)2+y2∶(x-a)2+y2=2∶1,


所以(x+a)2+y2=2(x-a)2+y2.


化简,得x-53a2+y2=169a2,


所以所求动点M的轨迹方程为x-53a2+y2=169a2.


3.求曲线的方程与根据方程研究曲线的性质


(1)点的轨迹方程


曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹,所以曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程.


(2)求动点M轨迹方程的一般步骤:


①设动点M的坐标为(x,y)(如果没有平面直角坐标系,需先建立);


②写出M要满足的几何条件,并将该几何条件用M的坐标表示出来;


③化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程.


例4. 求以A(-2,0),B(2,0)为直径端点的圆的圆内接三角形的顶点C的轨迹方程.


错解:设点C的坐标为(x,y).△ABC为圆内接三角形,且圆以线段AB为直径,∴AC⊥BC,则kAC·kBC=-1.


∵kAC=y-0x+2,kBC=y-0x-2, ∴yx+2·yx-2=-1.


化简,有x2+y2-4=0, 即点C的轨迹方程为x2+y2-4=0.


错因分析(1)在表述kAC,kBC时没有注意斜率不存在的情况.


(2)没有验证以方程的解为坐标的点是否都在曲线上.


正解:设C的坐标为(x,y).


∴(x+2,y)·(x-2,y)=x2-4+y2=0.


又当x=±2时,C与A或B重合,不构成三角形,


∴所求C点的轨迹方程为x2+y2-4=0(x≠±2).


∵△ABC为圆的内接三角形,且圆以线段AB为直径,


∴AC⊥BC,即AC·BC=0.


又AC=(x+2,y),BC=(x-2,y),






通过具体的情景，帮助学生回顾已经学习过的直线与圆的方程，归纳抽象出曲线与方程的关系问题。

















































































































通过典例解析，帮助学生进一步理解曲线与方程的关系问题，体会数形结合的思想方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。




















































































































通过根据几何条件求出曲线的方程，再由方程研究曲线的几何的，提升学生数学建模，数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。



三、达标检测


1.方程y=-25-x2表示的曲线是( )


A.一条射线B.一个圆


C.两条射线D.半个圆


答案:D


2.点P(2,-3)在曲线x2-ay2=1上,则a= .


解析:将点P的坐标代入方程中即可求得a=13.


答案:13


3.平面直角坐标系中,已知A,B分别为坐标轴上的动点且|AB|=5,若线段AB的中点为M(x,y),则动点M的轨迹方程为 .


解析:根据题意及三角形的几何性质可知|OM|=12|AB|,即|OM|=52,


∴动点M的轨迹为以原点O为圆心,以52为半径的圆.


答案:x2+y2=254


5.已知点A(1,0),直线l:y=2x-4,点R是直线l上的一点,若RA=AP,则点P的轨迹方程为 .


解析:设P(x,y),R(x1,y1),由RA=AP知,点A是线段RP的中点,∴x+x12=1,y+y12=0,即x1=2-x,y1=-y.


∵点R(x1,y1)在直线y=2x-4上, ∴y1=2x1-4,∴-y=2(2-x)-4,即y=2x.


答案:y=2x


6.已知方程x2+(y-1)2=10.


(1)判断点P(1,-2),Q(2,3)是否在此方程表示的曲线上;


(2)若点Mm2,-m在此方程表示的曲线上,求m的值.


解:(1)∵12+(-2-1)2=10,(2)2+(3-1)2=6≠10,∴点P(1,-2)在方程x2+(y-1)2=10表示的曲线上,点Q(2,3)不在方程x2+(y-1)2=10表示的曲线上.


(2)∵点Mm2,-m在方程x2+(y-1)2=10表示的曲线上,∴x=m2,y=-m适合上述方程,即m22+(-m-1)2=10,解得m=2或m=-185,∴m的值为2或-185.



通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。



四、小结





五、课时练



通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。