人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程优秀课时作业

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程优秀课时作业，共7页。试卷主要包含了以下四个命题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题


1．（2020·北京大兴区高二月考）抛物线上到其焦点距离为5的点有（ ）


A．0个B．1个C．2个D．4个


【答案】C


【解析】依题意抛物线，，准线方程为，结合抛物线的定义可知：抛物线上到其焦点距离为5的点的横坐标为，将代入，得，解得，所以抛物线上到其焦点距离为5的点有个.


2．（2020·江苏泰州高二月考）正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是,灯深,则光源到反光镜顶点的距离是( )





A． B． C． D．


【答案】A


【解析】设抛物线方程为,灯口直径是,灯深


点在抛物线上


光源到反射镜顶点的距离为.


3.如图,抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F,过抛物线上一点A(3,y)作准线l的垂线,垂足为B.若△ABF为等边三角形,则抛物线的标准方程是( )





A.y2=12xB.y2=x C.y2=2xD.y2=4x





【答案】D


【解析】设直线l交x轴于点C.∵AB⊥l,l⊥x轴,∴AB∥x轴,可得∠BFC=∠ABF=60°,Rt△BCF中,|CF|=|BF|cs 60°=p,解得|BF|=2p,由AB⊥y轴,可得3+p2=2p,∴p=2,∴抛物线的标准方程是y2=4x.


4．（2020·乌市一中高二月考）如图，正方体的棱长为1，点M在棱上，且，点P是平面上的动点，且动点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（ ）





A．圆B．抛物线C．双曲线D．直线


【答案】B


【解析】如图所示，在正方体中，作，垂足为，


则平面，过作，则平面，则为点到直线的距离，由题意得，由已知得，所以，即到点的距离等于到的距离，所以根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，故选：B





5．（多选题）（2020·全国高二课时练习）设抛物线的准线与对称轴交于点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，则（ ）


A．点坐标为B．直线的方程为


C．D．


【答案】ABC


【解析】由得，，则焦点．，


其准线方程为，A正确；设切线方程为，由得，令，解得．


∴切点，因此直线的方程为，B正确；


又，．


从而，即，C正确；，D错误．故选：ABC．


6. （多选题）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则（ ）


A．的准线方程为B．点的坐标为


C．D．三角形的面积为（为坐标原点）


【答案】ACD


【解析】如图，不妨设点位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作于点，于点.由抛物线的解析式可得准线方程为，点的坐标为，则，，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有，结合题意，有，故，，.





故选：ACD.


二、填空题


7.AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦,|AB|=4,则AB中点C的横坐标是 _．


【答案】32


【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+p=x1+x2+1=4,∴x1+x22=32.


8.（2020·北京大兴区高二期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，且一个焦点在抛物线的准线上，则该双曲线的方程为_ _．


【答案】


【解析】双曲线的一条渐近线方程为，，①


抛物线的准线方程为，该双曲线一个焦点在抛物线的准线上，，而，，②


由①②，得，，双曲线的方程为．


9.（2020·山西师大附中高二月考）如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点M在AB上,且|AM|=13|AB|,点P在平面ABCD上,且动点P到直线A1D1的距离与P到点M的距离相等,在平面直角坐标系xAy中,动点P的轨迹方程是 ,此曲线的焦点为 .





【答案】x2=2y+8 0,-72


【解析】作PN⊥AD,NH⊥A1D1,N,H为垂足,图略,则PN⊥面A1D1DA,由线面垂直的判定可得出 PH⊥A1D1.以AD,AB,AA1 为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,设P(x,y,0),由题意可得 M(0,1,0),H(x,0,3),|PM|=|PH|,∴x2+(y-1)2=y2+9,整理,得x2=2y+8,即x2=2(y+4),∴该曲线的焦点可以看作是由x2=2y的焦点向下平移4个单位长度得到的,即0,-72.


10.（2020·山东泰安实验中学高二月考）以下四个命题:


①平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线;


②抛物线y=ax2的焦点到原点的距离是|a|4;


③直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p;


④正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,则此正三角形的边长为43p.


其中正确命题的序号是 .


【答案】④


【解析】①当定点F正好在定直线l上时,平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹不是抛物线,故①错;②当a>0时,整理抛物线方程得x2=1ay,p=12a.所以焦点坐标为0,14a,抛物线y=ax2的焦点到原点的距离是14|a|,故②错;③当直线l不是过抛物线焦点的直线时,直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p不成立,故③错;④设正三角形另外两个顶点的坐标分别为m22p,m,m22p,-m,由tan 30°=33=mm22p,解得 m=23p,故这个正三角形的边长为2m=43p,故④正确.


三、解答题


11.（2020·全国高二课时练）已知曲线C上的任意一点到定点F(1,0)的距离与到定直线x=-1的距离相等.


(1)求曲线C的方程;


(2)若曲线C上有两个定点A,B分别在其对称轴的上、下两侧,且|FA|=2,|FB|=5,求原点O到直线AB的距离.


【解析】 (1)∵曲线C上任意一点到点F(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,


∴曲线C的轨迹是以F(1,0)为焦点的抛物线,且p2=1,∴曲线C的方程为y2=4x.


(2)由抛物线的定义结合|FA|=2可得,A到准线x=-1的距离为2,


即A的横坐标为1,代入抛物线方程可得y=2,即A(1,2),同理可得B(4,-4),


故直线AB的斜率k=2-(-4)1-4=-2, 故AB的方程为y-2=-2(x-1),


即2x+y-4=0,由点到直线的距离公式可得,原点O到直线AB的距离为|-4|22+12=455.


12.（2020·全国高二课时练）已知M到点F(1,0)和直线x=-1的距离相等,记点M的轨迹为C.


(1)求轨迹C的方程;


(2)过点F作相互垂直的两条直线l1,l2,曲线C与l1交于点P1,P2,与l2交于点Q1,Q2,


试证明:1|P1P2|+1|Q1Q2|=14.


【解析】(1)∵点M到点F(1,0)和直线x=-1的距离相等,


由抛物线的定义可知,点M的轨迹是抛物线,


设方程为y2=2px(p>0),


∵p2=1,∴p=2. ∴轨迹C的方程为y2=4x.


(2)由题意知,l1,l2的斜率均存在且不为0.


设l1的方程为y=k(x-1),代入抛物线方程,


整理可得k2x-(2k2+4)x+k2=0,


设P1,P2的横坐标分别为x1,x2,则x1+x2=2k2+4k2,


∴|P1P2|=x1+x2+p=4k2+4k2,


以-1k代入,可得|Q1Q2|=4+4k2,


∴1|P1P2|+1|Q1Q2|=14.