专题3 空间向量的基本定理（原卷版）2020-2021学年高二数学培优对点题组专题突破（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3 空间向量的基本定理

考点1 空间向量基底的概念

1.若向量，，的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则使向量，，成为空间一组基底的关系是（    ）

A．OM＝＋＋

B．＝＋

C．＝＋＋

D．＝2－

2.给出下列命题：

①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；

②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；

③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；

④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是（    ）

A．1

B．2

C．3

D．4

3.有以下命题：①如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量，，，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；③已知{a，b，c}是空间的一个基底，则{a＋b，a－b，c}也是空间的一个基底．其中正确的命题是（    ）

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

4.以下四个命题中正确的是（    ）

A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示

B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底

C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0

D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底

5.设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间基底的向量组有（    ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

6.长方体ABCD－A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则等于（    ）

A．i＋j＋k

B．i＋j＋k

C．3i＋2j＋5k

D．3i＋2j－5k

7.正方体ABCD－A′B′C′D′，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{，，}为基底，＝x＋y＋z，则x，y，z的值是（    ）

A．x＝y＝z＝1

B．x＝y＝z＝

C．x＝y＝z＝

D．x＝y＝z＝2

8.已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量为（    ）

A．a＋b＋c

B．a－b＋c

C．－a＋b＋c

D．－a＋b－c

9.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且PMMC＝21，N为PD的中点．若＝x＋y＋z，则x＝________，y＝________，z＝________.

10.如下图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，＝a，＝b，AA′＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)；(2)；(3)；(4).

11.如图所示，在空间平移△ABC到△A′B′C′，连接对应顶点，设＝a，＝b，＝c，M是BC′的中点，N是B′C′的中点，用基底，a，b，c表示向量，.

12.已知{i，j，k}是空间的一个基底，设a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k.试问是否存在实数λ，μ，v，使a4＝λa1＋μa2＋va3成立？如果存在，求出λ，μ，v的值，如果不存在，请给出证明．

13.如图所示，在空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示.

考点2 空间向量的正交分解

14.设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为（    ）

A．

B．

C．

D．

15.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E1＝A1B1，则等于（    ）

A．

B．

C．

D．

16.以棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则平面AA1B1B对角线交点的坐标为(　　)

A．

B．

C．

D．

17.三棱锥P－ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC中点，以{，，}为基底，则的坐标为________．

18.给出下列命题：①若a·b＜0，则a，b的夹角为钝角；

②若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b＝；

③若{a，b，c}为空间的一组基底，则对于实数x、y、z满足xa＋yb＋zc＝0时，x2＋y2＋z2＝0；

④|p＋q|·|p－q|＝|p2－q2|；

⑤p在基底{i，j，k}下的坐标为(1,2,3)，则在基底{i＋j，j＋k，k＋i}下的坐标为(0,2,1)．

其中正确的是________(把你认为正确的命题序号都填上)．

19.如下图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD、底面A1B1C1D1的中心，AB＝6，AA1＝4，M为B1B的中点，N在C1C上，且C1N∶NC＝1∶3.

(1)若以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标；

(2)若以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．

20.如下图，正方体ABCD－A′B′C′D′中，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中的x、y、z的值：

(1)＝x＋y＋z.

(2)＝x＋y＋z.

21.已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别是BB1和DC的中点，如图，建立空间直角坐标系，以x轴、y轴、z轴方向上的单位向量e1，e2，e3作为一个基底，试写出向量，的坐标，

22.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的三等分点，且PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，求的坐标．