专题6 用空间向量研究句距离、夹角问题（原卷版）2020-2021学年高二数学培优对点题组专题突破（人教A版2019选择性必修第一册）

专题6 用空间向量研究距离、夹角问题

考点1 向量法求空间距离

1.如下图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2，若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为(　　)

A．

B．

C．2

D．

2.若O为坐标原点，＝(1，1，－2)，＝(3，2，8)，＝(0，1，0)，则线段AB的中点P到点C的距离为(　　)

A．

B．2

C．

D．

3.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO－A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为(　　)

A．a

B．a

C．a

D．a

4.长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则D1到直线AC的距离为(　　)

A．a

B．

C．

D．

5.如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是(　　)

A．

B．

C．

D．

6.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是棱AB、BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离等于(　　)

A．

B．

C．

D．

7.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为________．

8.如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，CA＝2，D是CC1的中点，试问在A1B上是否存在一点E，使得点A1到平面AED的距离为？

9.已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．

(1)求点D到平面PEF的距离；

(2)求直线AC到平面PEF的距离．

考点2向量法求直线与平面的角

10.如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为(　　)

A．

B．

C．

D．

11.已知等腰直角△ABC的一条直角边BC平行于平面α，点A∈α，斜边AB＝2，AB与平面α所成的角为30°，则AC与平面α所成的角为(　　)

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

12.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为(　　)

A．90°

B．60°

C．45°

D．30°

13.若平面α的一个法向量n＝(2，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(1，2，3)，则l与α所成角的正弦值为(　　)

A．

B．

C．－

D．

14.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为(　　)

A．

B．

C．

D．

15.如下图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为________．

16.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝CC1＝2，E是AB的中点．

(1)求证：AB1⊥平面A1CE；

(2)求直线A1C1平面A1CE所成角的正弦值．

17.如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝AE＝2，O，M分别为CE，AB的中点，

(1)求异面直线AB与CE所成角的大小；

(2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值．

考点3 向量法求平面与平面的角

18.从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B—PA—C的余弦值是(　　)

A．

B．

C．

D．

19.已知平面α内有一个以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上(异于点A，B)，点D、E分别是点A在PC、PB上的射影，则(　　)

A．∠ADE是二面角A—PC—B的平面角

B．∠AED是二面角A—PB—C的平面角

C．∠DAE是二面角B—PA—C的平面角

D．∠ACB是二面角A—PC—B的平面角

20.如下图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角C－BF－D的正切值为(　　)

A．

B．

C．

D．

21.若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P—BC—A的大小为________．

22.如图，在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2则这个二面角的度数为________．

23.如下图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．

(1)证明B1C1⊥CE；

(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值．

24.在几何体ABC－A1B1C1中，点A1、B1、C1在平面ABC内的正投影分别为A、B、C，且AB⊥BC，AA1＝BB1＝4，AB＝BC＝CC1＝2，E为AB1的中点．

(1)求证：CE∥平面A1B1C1；

(2)求二面角B1－AC1－C的大小．

考点4 向量法求直线与直线的角

25.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于(　　)

A．

B．

C．

D．

26.如下图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　)

A．

B．

C．

D．

27.如下图，正棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)

A．

B．

C．

D．

28.如下图，在三棱锥V－ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x轴、y轴、z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.当θ＝时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值．