专题2 空间向量的数量积运算（原卷版）2020-2021学年高二数学培优对点题组专题突破（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2 空间向量的数量积运算

考点1 空间向量数量积的概念和性质

1.如下图，点P是单位正方体ABCD－A1B1C1D1中异于A的一个顶点，则·的值为（    ）

A．0

B．1

C．0或1

D．任意实数

2.如下图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是（    ）

A．2·

B．2·

C．2·

D．2·

3.在空间四边形ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，则下列结论不成立的是（    ）

A．|＋＋|＝|＋－|

B．|＋＋|2＝||2＋||2＋||2

C．(＋＋)·＝0

D．·＝·＝·

4.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，则||为（    ）

A．a

B．a

C．a

D．a

5.平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于（    ）

A．5

B．6

C．4

D．8

6.对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是（    ）

A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0

B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0

C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b

D．若a·b＝a·c，则b＝c

7.已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，设＝a，＝b，＝c，则

(1)·＝________；cos〈，〉＝________；(2)·＝________.

考点2 空间向量数量积的应用

8.已知PA⊥平面ABC，垂足为A，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于（    ）

A．6

B．6

C．12

D．144

9.如下图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为（    ）

A．0

B．

C．

D．

10.已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，设＝a，＝b，＝c，则〈，〉等于（    ）

A．30°

B．60°

C．90°

D．120°

11.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，MN分别是A1B1，BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为(　　)

A．－

B．

C．

D．

12.若O是△ABC所在平面内一点，且满足(＋)·(－)＝0，则△ABC一定是(　　)

A．等边三角形

B．斜三角形

C．直角三角形

D．等腰直角三角形

13.设O，A，B，C为空间四点，若·＝0，·＝0，·＝0，则△ABC是(　　)

A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．直角三角形

D．不确定

14.如下图所示，已知正三棱锥A－BCD的侧棱长和底面边长都是a，点E，F，G是AB，AD，DC上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝CG∶GD＝1∶2.

求下列向量的数量积：

15.如下图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．

(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；

(2)求MN的长．

16.如下图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CD＝∠C1CB＝∠BCD＝60°.

(1)求证：C1C⊥BD；

(2)当的值是多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明．

17.如下图，在四棱锥M—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB、AD的夹角都是60°，N是CM的中点，设a＝，b＝，c＝，试以a，b，c为基向量表示出向量，并求BN的长．

18.正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为.

(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；

(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．

19.如图：在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M是线段A1D的中点，点N在线段C1D1上，且D1N＝D1C1，∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠BAD＝90°，AB＝AD＝AA1＝1.

(1)求满足＝x＋y＋z的实数x、y、z的值．

(2)求AC1的长．

20.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将△ACD沿对角线AC折起，使得AB与CD成60°角，求折起后BD的长．

21.直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点．

(1)求证：CE⊥A′D；

(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．

22.在三棱锥O－ABC中，已知侧棱OA，OB，OC两两垂直，用空间向量知识证明：底面三角形ABC是锐角三角形．

23.如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1.

(1)若G为△ABC的重心，＝3，设＝a，＝b，＝c，用向量a、b、c表示向量；

(2)若平行六面体ABCD－A1B1C1D1各棱长相等且AB⊥平面BCC1B1，E为CD中点，AC1∩BD1＝O，求证：OE⊥平面ABC1D1.

24.如图，已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.