专题5 用空间向量研究平面、直线的位置关系（原卷版）2020-2021学年高二数学培优对点题组专题突破（人教A版2019选择性必修第一册）

专题5 用空间向量研究平面、直线的位置关系

考点1 线的方向向量和平面的法向量

1.与向量a＝(1，－3，2)平行的一个向量的坐标是(　　)

A．

B．

C．

D．

2.在如下图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，给出下列结论：

①直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)；

②直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)；

③平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)；

④平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)．

其中正确的个数为(　　)

A．1

B．2

C．3

D．4

3.若点A，B在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)

A．

B．

C．

D．

4.在平面ABCD中，A(0，1，1)，B(1，2，1)，C(－1，0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y2等于(　　)

A．2

B．0

C．1

D．无意义

5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ACB1的一个法向量为(　　)

A．

B．

C．

D．

6.已知正四棱锥(如图)，在向量－＋－，＋，＋，＋＋＋中，不能作为底面ABCD的法向量的向量是________．

7.如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点，D为AC的中点．求O1D，B1E的方向向量．

考点2 法向量求直线与直线的位置关系

8.已知直线l1的方向向量a＝(2，4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是(　　)

A．－3或1

B．3或－1

C．－3

D．1

9.已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a＝(4，－1，0)，b＝(1，4，5)，c＝(－3，12，－9)，则(　　)

A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直

B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直

C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直

D．l1，l2，l3两两互相垂直

10.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系为(　　)

A．平行

B．异面

C．垂直

D．以上都不对

11.l，m是两条直线，方向向量分别为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若l∥m，则(　　)

A．x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2

B．x1＝kx2，y1＝py2，z＝qz2

C．x1x2＋y1y2＋z1z2＝0

D．x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2

12.在正方体AC1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是(　　)

A．异面直线

B．平行直线

C．垂直不相交

D．垂直且相交

13.在长方体，ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点，证明：PQ∥RS.

考点3 法向量求直线与平面的位置关系

14.已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为(　　)

A．，－，4

B．，－，4

C．，－2，4

D．4，，－15

15.已知点A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(2，1，1)，点P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　　)

A．(1，0，－2)

B．(1，0，2)

C．(－1，0，2)

D．(2，0，－1)

16.如图，已知点E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E，C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有(　　)

A．0条

B．1条

C．2条

D．无穷多条

17.直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量，，下列关系中能表示l∥α的是(　　)

A．a＝

B．a＝k

C．a＝p＋λ

D．以上均不能

18.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：

①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.这四个结论中正确的个数为(　　)

A．1

B．2

C．3

D．4

19.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥面B1DE，则AE＝________.

20.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.

21.如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点，

(1)证明：PF⊥FD；

(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD.

考点4 法向量求平面与平面的位置关系

22.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，则(　　)

A．面AED∥面A1FD1

B．面AED⊥面A1FD1

C．面AED与面A1FD1相交但不垂直

D．以上都不对

23.若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1，2，－1)，v＝(－3，－6，3)，则(　　)

A．α∥β

B．α⊥β

C．α，β相交但不垂直

D．以上均不正确

24.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AP＝AD＝AB＝，BC＝t，∠PAB＝∠PAD＝α.

(1)当t＝3时，试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时的值；

(2)当α＝60°时，若平面PAB⊥平面PCD，求此时棱BC的长．

25.如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点．

(1)求证：EF∥平面A1B1BA；

(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1.

26.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．

(1)用向量法证明平面A1BD∥平面B1CD1；

(2)用向量法证明MN⊥面A1BD.