专题7 直线的倾斜角与斜率（解析版）2020-2021学年高二数学培优对点题组专题突破（人教A版2019选择性必修第一册）

专题7 倾斜角与斜率

考点1 直线的倾斜角

1.下列命题中：

①任意一条直线都只有唯一的倾斜角；

②某直线的倾斜角为330°；

③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；

④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；

⑤若α是直线l的倾斜角，且sinα＝，则α＝45°.其中正确命题的个数是(　　)

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】A

【解析】任意一条直线的倾斜角是唯一确定的，但倾斜角的范围为0°≤α＜180°，故不能为330°，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此①正确，②③错误，④中α＝0°时，sinα＝0，故④错误，⑤α中有可能为135°，故⑤错误．

2.如图：直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则l2倾斜角为(　　)

A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

【答案】C

【解析】直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则l2的倾斜角等于30°＋90°＝120°，故选C.

3.直线l的倾斜角为α，将直线l绕着它与x轴交点逆时针旋转45°后，得到直线l′，则直线l′的倾斜角为(　　)

A．α＋45°

B．α－135°

C．135°－α

D．当0°≤α＜135°时为α＋45°；当135°≤α＜180°时为α－135°.

【答案】D

【解析】由于直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°)，

因此只有当0°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l′的倾斜角才是α＋45°；

而当135°≤α＜180°时，l′的倾斜角为α－135°，

故选D.

4.如图，直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则α1，α2，α3的大小关系为________.

【答案】α1＞α2＞α3

【解析】结合图形及倾斜角的定义，直线l1，l2，l3的倾斜角逐渐变小，即α1＞α2＞α3.

考点2 直线的斜率

5.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)

A．k1＞k2＞k3

B．k3＞k2＞k1

C．k2＞k1＞k3

D．k3＞k1＞k2

【答案】C

【解析】由图象可知，直线l1，l2的倾斜角都为锐角，且l2的倾斜角大于l1的倾斜角，

故k2＞k1＞0.由于l3的倾斜角为钝角，故k3＜0，故有k2＞k1＞k3，故选C.

6.判断下列命题的正确性：

①任何一条直线都有倾斜角，也都有斜率；

②平行于x轴的直线倾斜角是0°或180°；

③直线斜率的范围是(－∞，＋∞);

④直线的倾斜角越大，斜率越大；

⑤两直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等；

⑥两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等．

其中正确的个数为(　　)

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】B

【解析】①错误，当倾斜角是90°时，直线没有斜率；②错误，直线倾斜角的范围0°≤θ＜180°；③正确；④错误，当倾斜角的范围为[0°，90°)时直线的倾斜角越大，斜率越大；当倾斜角的范围为(90°，180°)时，直线的倾斜角越大，斜率越小；⑤正确；⑥错误，当倾斜角为90°时，不存在斜率，故选B.

7.以下四个命题错误的是(　　)

①若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；

②若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应；

③坐标平面上所有的直线都有倾斜角；

④坐标平面上所有直线都有斜率．

A．①②

B．③④

C．①③

D．②④

【答案】D

【解析】每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，比如倾斜角为90°的直线没有斜率．

8.已知直线的倾斜角是120°，则该直线的斜率为(　　)

A．

B．－

C．－

D．－

【答案】D

【解析】因为直线的斜率等于直线倾斜角的正切值，

所以直线l的斜率：

k＝tan120°＝tan(180°－60°)＝－tan60°＝－，

故选D.

9.一条直线的倾斜角的余弦值为，则此直线的斜率为(　　)

A．

B．±

C．

D．±

【答案】C

【解析】设直线的倾斜角为α，

∵α∈[0°，180°)，且cosα＝∴α＝30°，∴直线的斜率k＝tanα＝，

故选C.

10.将倾斜角为30°的直线绕其上一点逆时针方向旋转60°得直线l，则直线l的斜率为(　　)

A．

B．

C．不存在

D．不确定

【答案】C

【解析】倾斜角为30°的直线绕其上一点逆时针方向旋转60°后，倾斜角等于90°，故直线l的斜率不存在，故选C.

11.过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)

A．1

B．4

C．1或3

D．1或4

【答案】A

【解析】由斜率公式得＝1，解得m＝1，故选A.

12.过两点A(2m2＋m，4m)，B(3，1)的直线l的斜率为1，则m的值是(　　)

A．或－2

B．或2

C．－或－2

D．－或2

【答案】D

【解析】由题意可知1＝，化为2m2－3m－2＝0，解得m＝2或m＝－，经验证都符合题意，故选D.

考点3 三点共线

13.下列各组点中，三点共线的是(　　)

A．(1，4)，(－1，2)，(3，5)

B．(－2，－5)，(7，6)，(－5，3)

C．(1，0)，(0，－)，(7，2)

D．(0，0)，(2，4)，(－1，3)

【答案】C

【解析】依据斜率公式，依次计算每个选项中任意两点的斜率，若斜率相同，则三点共线．每组中，前两个点连线的斜率依次为1，，，2，后两个点连线的斜率依次为，，，，故答案为C.

14.若A(－1，－1)，B(1，3)，C(x，5)三点共线，则x等于(　　)

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】B

【解析】∵A(－1，－1)，B(1，3)，C(x，5)三点共线，

∴由三个点两两之间组成的直线的斜率相等，

∴＝，∴x＝2，

故选B.

15.三点A(m，2)，B(5，1)，C(－4，2m)在同一条直线上，则m的值为(　　)

A．2

B．

C．－2或

D．2或

【答案】D

【解析】∵A(m，2)，B(5，1)，C(－4，2m)三点在同一条直线上，

∴直线AB和直线BC的斜率相等，

∴＝，∴(m－5)×(1－2m)＝9.

即m－2m2－5＋10m＝9，

∴2m2－11m＋14＝0，即(m－2)(2m－7)＝0，

∴m＝2或m＝，

故选D.

16.已知m≠0，若经过点A(0，－)，B(－2，0)的直线l也经过点C(1，－1)，则m与a满足的关系为(　　)

A．m＝3a

B．m＝－3a

C．m＝a

D．m＝－a

【答案】C

【解析】∵过点(1，－1)的直线也经过A，B两点，

所以kAB＝kBC，即＝＝－，

∴2m＝2a，即a＝m，故选C.

17.若A(m，1)，B(2，5)，C(3，n)不能成为三角形的三个顶点，则m与n的关系式为________．

【答案】mn－5m－2n＋14＝0

【解析】∵A(m，1)，B(2，5)，C(3，n)不能成为三角形的三个顶点，∴kAB＝kBC，

又kAB＝，同理kBC＝，

∴4＝(2－m)(n－5)，

∴mn－5m－2n＋14＝0.

18.若点A(a，0)，B(0，b)，C(1，－1)(a＞0，b＜0)三点共线，则a－b与ab的关系为__________________．

【答案】a－b＝－ab

【解析】∵A，B，C三点共线，

∴kAB＝kAC，即＝∴－＝1，

∴a－b＝－ab.

19.已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，求x2，y1的值．

【答案】由α＝45°，故直线l的斜率k＝tan45°＝1，

又P1，P2，P3都在此直线上，故kP1P2＝kP2P3＝kl，

即＝＝1，

解得x2＝7，y1＝0.

考点4 直线的图像特征与倾斜角、斜率的关系

20.直线l过原点(0，0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是(　　)

A．0°≤α≤90°

B．90°≤α＜180°

C．90°≤α＜180°或α＝0°

D．90°≤α≤135°

【答案】C

【解析】倾斜角的取值范围为0°≤α＜180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x轴和y轴．

21.下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是(　　)

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距为a>0，A，B，C，D都不成立；②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A，B，C，D都不成立；③当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距为a<0，只有C成立．

22.已知A(1，)，B(－1，)，则直线AB的倾斜角为(　　)

A．30°

B．60°

C．90°

D．0°

【答案】D

【解析】设直线AB的倾斜角为α，α∈[0°，180°)，

由斜率公式可得直线AB的斜率k＝tanα＝＝0，

∴α＝0°，故选D.

23.过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于(　　)

A．1

B．5

C．－1

D．－5

【答案】D

【解析】由斜率公式可得＝tan135°，

∴＝－1，∴y＝－5.∴选D.

24.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，2)、B(1，1)，直线l经过点B且与线段OA相交．则直线l倾斜角α的取值范围是(　　)

A．[0°，135°]

B．[0°，45°]∪[135°，180°)

C．[45°，135°]

D．[45°，90°)∪(90°，135°)

【答案】B

【解析】如图所示，

直线OB的斜率等于1，倾斜角等于45°，

AB的斜率等于－1，倾斜角等于135°，

结合图象由条件可得直线l的倾斜角α的取值范围是0°≤α≤45°或135°≤α＜180°，

故选B.

25.若点A(－2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是(　　)

A．k≤或k≥

B．k≤－或k≥－

C．≤k≤

D．－≤k≤－

【答案】C

【解析】如图

计算得kPA＝，kPB＝，由题意得≤k≤.

26.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…，用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是(　　)

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】对于乌龟，其运动过程可分为两段：

从起点到终点乌龟没有停歇，其路程不断增加；

到终点后等待兔子这段时间路程不变，此时图象为水平线段．

对于兔子，其运动过程可分为三段：

开始跑得快，所以路程增加快；中间睡觉时路程不变；

醒来时追赶乌龟路程增加快．

分析图象可知，选项B正确，

故选B.

27.如果直线l沿x轴负方向平移3个单位再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是(　　)

A．－

B．－3

C．

D．3

【答案】A

【解析】设直线l的方程为y＝kx＋b，根据题意平移得y＝k(x＋3)＋b＋1，

即y＝kx＋3k＋b＋1，则kx＋b＝kx＋3k＋b＋1，

解得k＝－，故选A.