专题14 圆的标准方程（解析版）2020-2021学年高二数学培优对点题组专题突破（人教A版2019选择性必修第一册）

专题14  圆的标准方程

考点一 圆的标准方程

1.直线l过点（－2,2）且与直线2x－3y＋9＝0垂直，则l的方程是（　　）

A.3x＋2y＋2＝0

B.3x＋2y－2＝0

C.2x－3y＋10＝0

D.2x－3y－10＝0

【答案】A

【解析】因为直线2x－3y＋9＝0的斜率为，

所以直线l的斜率为，则直线l的方程为y－2＝（x＋2），

化简得3x＋2y＋2＝0，故选A.

2.过点A（2,3）且垂直于直线3x＋y－5＝0的直线方程为（　　）

A．x－3y＋7＝0

B.3x＋y－9＝0

C．x－3y＋9＝0

D．x－3y＋5＝0

【答案】A

【解析】过点A（2,3）且垂直于直线3x＋y－5＝0的直线的斜率为，

由点斜式求得直线的方程为y－3＝（x－2），

化简可得x－3y＋7＝0，

故选A.

3.已知点A（1,2）与B（3,4），则线段AB的垂直平分线方程为（　　）

A．x－y－5＝0

B．x＋y－5＝0

C．x－y＋1＝0

D．x＋y－1＝0

【答案】B

【解析】两点A（1,2）与B（3,4），

它的中点坐标为（2,3），

直线AB的斜率为＝1，AB垂线的斜率为－1，

线段AB的垂直平分线方程是y－3＝－（x－2），即x＋y－5＝0.

故选B.

4.方程Ax＋By＋C＝0表示倾斜角为锐角的直线，则必有（　　）

A．AB＞0

B．AB＜0

C．BC＞0

D．BC＜0

【答案】B

【解析】由于直线的倾斜角为锐角，则直线的斜率为正数，

由直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0，可得斜率k＝－>0，化简得AB＜0，故选B.

5.如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过（　　）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【答案】C

【解析】∵直线Ax＋By＋C＝0可化为y＝－x－，

又AC＜0，BC＜0，

∴AB＞0，∴－<0，－>0，

∴直线过一、二、四象限，不过第三象限．

6.已知直线l的方程为x－y－a2＝0（a≠0），则下列叙述正确的是（　　）

A.直线不经过第一象限

B.直线不经过第二象限

C.直线不经过第三象限

D.直线不经过第四象限

【答案】B

【解析】由x－y－a2＝0（a≠0），得y＝x－a2，

所以直线l的斜率大于0，在y轴上的截距小于0，

所以直线不经过第二象限．

故选B.

7.已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图所示，则（　　）

A.若c＞0，则a＞0，b＞0

B.若c＞0，则a＜0，b＞0

C.若c＜0，则a＞0，b＜0

D.若c＜0，则a＞0，b＞0

【答案】D

【解析】由ax＋by＋c＝0，斜率k＝－，

直线在x、y轴上的截距分别为－、－.

如题图，k＜0，即－＜0，∴ab＞0.

∵－＞0，－＞0，∴ac＜0，bc＜0.

若c＜0，则a＞0，b＞0；若c＞0，则a＜0，b＜0.

8.ac＜0，bc>0，则直线ax＋by＋c＝0的图形只能是（　　）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】由ac＜0，bc>0，∴abc2<0，∴ab<0，∴斜率k＝－>0，又纵截距－<0，故选D.

9.下列说法中正确的是（　　）

A.经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0＝k（x－x0）表示

B.经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y＝kx＋b表示

C.不经过原点的直线都可以用方程＝1表示

D.经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y－y1）（x2－x1）＝（x－x1）（y2－y1）表示

【答案】D

【解析】选项A不正确，当直线的斜率不存在时，经过定点P0（x0，y0）的直线不可以用方程y－y0＝k（x－x0）表示．

选项B不正确，当直线的斜率不存在时，经过定点A（0，b）的直线不可以用方程y＝kx＋b表示．

选项C不正确，当直线和x轴垂直或者与y轴垂直时，不经过原点的直线不可以用方程＝1表示．

选项D正确，斜率有可能不存在，截距也有可能为0，但都能用方程（y－y1）（x2－x1）＝（x－x1）（y2－y1）表示．

故选D.

10.直线x－y＋1＝0上一点P的横坐标是3，若该直线绕点P逆时针旋转90°得直线l，则直线l的方程是________．

【答案】x＋y－7＝0

【解析】由题意得，直线l过点P（3,4），且与直线x－y＋1＝0垂直，故直线l的斜率为－1，可得直线l的方程是y－4＝－1（x－3），即x＋y－7＝0.

11.垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是________．

【答案】3或－3

【解析】设直线方程是4x＋3y＋d＝0，分别令x＝0和y＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是，，

∴6＝.

∴d＝±12，则直线在x轴上截距为3或－3.

12.已知A（0,1），点B在直线l1：x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，直线AB的一般式方程为________．

【答案】x－y＋1＝0

【解析】AB⊥l1时，AB最短，所以AB斜率为k＝1，方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.

13.已知三角形的三个顶点是A（4,0），B（6,6），C（0,2）．

（1）求AB边上的高所在直线的方程；

（2）求AC边上的中线所在直线的方程．

【答案】（1）∵A（4,0），B（6,6），C（0,2），

∴kAB＝＝3，

∴AB边上的高所在直线的斜率k＝，

∴AB边上的高所在直线的方程为y－2＝，

整理得x＋3y－6＝0.

（2）∵AC边的中点为（2,1），

∴AC边上的中线所在的直线方程为，

整理得5x－4y－6＝0.

14.△ABC的三个顶点为A（－3,0），B（2,1），C（－2，3），求：

（1）AC边所在直线的方程；

（2）BC边的垂直平分线的方程．

【答案】（1）由直线方程的两点式

故AC所在直线的方程（3x－y＋9＝0.

（2）∵B（2,1），C（－2,3），

∴kBC＝，中点坐标为M（0,2），所求直线的斜率为2，

∴BC边的垂直平分线的方程为y－2＝2（x－0）．

故所求的直线方程为2x－y＋2＝0.

考点二 点和圆的位置关系                                               

15.若点P（1,1）在圆C：（x－）2＋（y＋1）2＝－1外，则实数a的取值范围是（　　）

A.（－∞，6）

B.（－∞，－2）∪（2,6）

C.（2,6）

D.（－∞，－2）∪（2，＋∞）

【答案】B

【解析】因为点P（1,1）在圆C：（x－）2＋（y＋1）2＝－1外，

所以（1－）2＋（1＋1）2＞－1，所以a＜6.并且－1＞0，所以a＜－2或a＞2，

所以a的范围是（－∞，－2）∪（2,6）．故选B.

16.两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆（x－1）2＋（y－1）2＝4的内部，则实数a的取值范围是（　　）

A.－＜a＜1

B．a＞1或a＜－

C.－≤a＜1

D．a≥1或a≤－

【答案】A

【解析】联立解得

∴两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P（a,3a）．

∵交点P在圆（x－1）2＋（y－1）2＝4的内部，

∴（a－1）2＋（3a－1）2＜4，

化为5a2－4a－1＜0，解得－＜a＜1.

∴实数a的取值范围是（－，1）．故选A.

17.若坐标原点在圆（x－m）2＋（y＋m）2＝4的内部，则实数m的取值范围是（　　）

A.－1＜m＜1

B.－＜m＜

C.－＜m＜

D.－＜m＜

【答案】C

【解析】∵原点O在圆（x－m）2＋（y＋m）2＝4的内部，

∴（0－m）2＋（0＋m）2＜4，得2m2＜4，

解得－＜m＜.

即实数m的取值范围为－＜m＜.

故选C.

18.若坐标原点在圆C：（x－2m）2＋（y＋2m）2＝4的外部，则实数m的取值范围是（　　）

A.（－1,1）

B.（－∞，－）∪（，＋∞）

C.（－，）

D.（－，）

【答案】B

【解析】∵圆C：（x－2m）2＋（y＋2m）2＝4，圆心坐标为（2m，－2m），半径等于2，

若坐标原点在圆C：（x－2m）2＋（y＋2m）2＝4的外部，则有（0－2m）2＋（0＋2m）2＞4，

解得m＞或m＜－，故实数m的取值范围是（－∞，－）∪（，＋∞），故选B.

19.设圆M的方程为（x－3）2＋（y－2）2＝2，直线L的方程为x＋y－3＝0，点P的坐标为（2,1），那么（　　）

A.点P在直线L上，但不在圆M上

B.点P在圆M上，但不在直线L上

C.点P既在圆M上，又在直线L上

D.点P既不在直线L上，也不在圆M上

【答案】C

【解析】点P坐标代入直线方程和圆的方程验证，点P的坐标为（2,1），适合L的方程，即2＋1－3＝0；点P的坐标为（2,1），满足圆M的方程，即（2－3）2＋（1－2）2＝2.显然A、B、D不正确，选项C正确．故选C.

20.已知圆的方程为x2＋y2＋2（a－1）x＋a2－4a＋1＝0（0＜a＜），则点（－1，－1）的位置是（　　）

A.在圆上

B.在圆内

C.在圆外

D.不能确定

【答案】C

【解析】圆的方程x2＋y2＋2（a－1）x＋a2－4a＋1＝0的圆心为（1－a,0），半径为.圆心到点（－1，－1）的距离的平方为（2－a）2＋1＞2a（0＜a＜），故选C.

21.设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋（a－1）2＝0，若0＜a＜1，则原点与圆的位置关系是（　　）

A.原点在圆上

B.原点在圆外

C.原点在圆内

D.不确定

【答案】B

【解析】将原点代入x2＋y2＋2ax＋2y＋（a－1）2＝（a－1）2＞0，所以原点在圆外．         22.已知点（1,1）在圆（x＋2m）2＋（y－1）2＝4m2－5m＋1外，则实数m的取值范围是____________．

【答案】{m|m＞1或0＜m＜}

【解析】因为点（1,1）在圆（x＋2m）2＋（y－1）2＝4m2－5m＋1外，

所以（1＋2m）2＋（1－1）2＞4m2－5m＋1，解得m＞0，

1＋4m2－5m＞0，解得m＞1或m＜.

故答案为{m|m＞1或m＜}．

23.已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m＋1）x＋（m＋1）y－7m－4＝0.

（1）求证：直线l过定点；

（2）判断该定点与圆的位置关系；

（3）当m为何值时，直线l被圆C截得的弦最长．

【答案】（1）证明　把直线l的方程整理成m（2x＋y－7）＋（x＋y－4）＝0，

由于m的任意性，有

解得

∴直线l恒过定点D（3,1）．

（2）解　把点D（3,1）的坐标代入圆C的方程，得左边＝5＜25＝右边，

∴点D（3,1）在圆C内．

（3）解　当直线l经过圆心C（1,2）时，被截得的弦最长（等于圆的直径长），

此时，直线l的斜率kl＝kCD，

由直线l的方程得kl＝－，由点C、D的坐标得kCD＝＝－.

∴－＝－，解得m＝－，

∴当m＝－时，直线l被圆C截得的弦最长．