专题15 圆的一般方程（解析版）2020-2021学年高二数学培优对点题组专题突破（人教A版2019选择性必修第一册）

专题15 圆的一般方程
考点一 圆的一般方程
1.若点P（1,1）在圆C：x2＋y2－ax＋2y＋2＝0外，则实数a的取值范围是（　　）
A.（－∞，6）
B.（－∞，－2）∪（2,6）
C.（2,6）
D.（－∞，－2）∪（2，＋∞）
【答案】B
【解析】因为点P（1,1）在圆C：x2＋y2－ax＋2y＋2＝0外，
所以1＋1－a＋2＋2＞0，所以a＜6.并且a2＋4－8＞0，所以a＜－2或a＞2，
所以a的范围是（－∞，－2）∪（2,6），故选B.
2.若曲线C：x2＋y2－2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第三象限内，则a的取值范围为（　　）
A.（－∞，－2）
B.（－∞，－1）
C.（1，＋∞）
D.（2，＋∞）
【答案】A
【解析】曲线C的方程可化为（x－a）2＋（y－2a）2＝4，则该方程表示圆心为（a,2a），半径等于2的圆．因为圆上的点均在第三象限内，所以a＜－2.
3.过原点且在x，y轴上的截距分别为p，q（p，q均不为0）的圆的方程是（　　）
A．x2＋y2－px－qy＝0
B．x2＋y2＋px－qy＝0
C．x2＋y2－px＋qy＝0
D．x2＋y2＋px＋qy＝0
【答案】A
【解析】由题意知圆过原点且在x，y轴上的截距分别为p，q，则圆的圆心坐标为（p2，q2）且常数项为0.
4.方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是（　　）
A．A＝C≠0，B＝0
B．A＝C≠0，B＝0并且D2＋E2－4F＞0
C．B＝0并且D2＋E2－4F＞0
D．A＝C，B＝0并且D2＋E2－4F＞0
【答案】B
【解析】方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，必有A＝C≠0，B＝0并且D2＋E2－4AF＞0，故选B.
5.方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0表示的图形是（　　）
A.以（1，－2）为圆心，11为半径的圆
B.以（1,2）为圆心，11为半径的圆
C.以（－1，－2）为圆心，11为半径的圆
D.以（－1,2）为圆心，11为半径的圆
【答案】D
【解析】因为原方程可化为（x＋1）2＋（y－2）2＝11，所以此方程表示以（－1,2）为圆心，11为半径的圆．
6.方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C（2,2），半径为2的圆，则a＝________，b＝________，c＝________.
【答案】－2　4　4
【解析】∵-2a2=2,--b2=2,124a2+b2-4c=2,∴a=-2,b=4,c=4.
7.设方程x2＋y2－2mx－2m2y＋m4＋2m2－m＝0表示一个圆．
（1）求m的取值范围；
（2）m取何值时，圆的半径最大？并求出最大半径．
【答案】（1）由方程x2＋y2－2mx－2m2y＋m4＋2m2－m＝0，
变形得（x－m）2＋（y－m2）2＝－m2＋m，
要使方程表示圆，则需要－m2＋m＞0，∴m2－m＜0，
∴0＜m＜1.
（2）设r2＝－m2＋m＝－（m－12）2＋14.
∵0＜m＜1，
∴当m＝12时，r2最大为14，圆的半径最大为12.

考点二 与圆有关的轨迹问题
8.方程4x2－y2＋4x＋2y＝0表示的曲线是（　　）
A.一个点
B.两条互相平行的直线
C.两条互相垂直的直线
D.两条相交但不垂直的直线
【答案】D
【解析】方程4x2－y2＋4x＋2y＝0可化为（2x＋y）（2x－y＋2）＝0，
∴2x＋y＝0或2x－y＋2＝0，
∴方程4x2－y2＋4x＋2y＝0表示的曲线是两条相交但不垂直的直线．
故选D.
9.过点Q（2,4）引直线与圆x2＋y2＝1交于R，S两点，那么弦RS的中点P的轨迹为（　　）
A.圆（x＋1）2＋（y＋2）2＝5
B.圆x2＋y2＋2x＋4y＝0的一段弧
C.圆x2＋y2－2x－4y＝0的一段弧
D.圆（x－1）2＋（y－2）2＝5
【答案】C
【解析】因为点Q（2,4）在圆x2＋y2＝1的外部，如图：
所以过点Q（2,4）引直线与圆x2＋y2＝1交于R，S两点，
斜率存在，是一段区间，因为弦RS的中点为P，所以OP⊥RS，即△OPQ是直角三角形，OQ是定值，|OQ|＝22+42＝20，OQ的中点为（1,2），圆的半径为202.
所以所求的轨迹方程为（x－1）2＋（y－2）2＝2022＝5，即x2＋y2－2x－4y＝0.
因为斜率存在，是一段区间，所求轨迹是圆的一部分．故选C.

10.一动点到两坐标轴的距离之和的两倍等于这个动点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程为（　　）
A．x2＋y2＝2x＋2y
B．x2＋y2＝2x－2y
C．x2＋y2＝－2x＋2y
D．x2＋y2＝2|x|＋2|y|
【答案】D
【解析】设动点坐标为（x，y），依题意，2|x|＋2|y|＝x2＋y2，故选D.
11.等腰三角形ABC，若一腰的两个端点坐标分别是A（4,2），B（－2,0），A为顶点，则另一腰的一个端点C的轨迹方程是（　　）
A．x2＋y2－8x－4y＝0
B．x2＋y2－8x－4y－20＝0（x≠10，x≠－2）
C．x2＋y2＋8x＋4y－20＝0（x≠－2，x≠10）
D．x2＋y2－8x－4y＋20＝0（x≠－2，x≠10）
【答案】B
【解析】设另一个点的坐标为C（x，y），则（x－4）2＋（y－2）2＝40，x≠10，x≠－2，
整理，得x2＋y2－8x－4y－20＝0（x≠10，x≠－2），
故选B.
12.已知两定点A（－2,0），B（1,0），如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的面积等于________．
【答案】4π
【解析】设点P的坐标是（x，y），由|PA|＝2|PB|，得（＝2（.化简得（x－2）2＋y2＝4，∴点P的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为4π.
13.如图所示，已知圆O：x2＋y2＝4与y轴的正方向交于A点，点B在直线y＝2上运动，过B作圆O的切线，切点C，求△ABC垂心H的轨迹．

【答案】设H（x，y），C（x′，y′），连接AH，CH，
则AH⊥BC，CH⊥AB，BC是圆O的切线，所以OC⊥BC，
所以OC∥AH，CH∥OA，OA＝OC，
所以四边形AOCH是菱形．
所以|CH|＝|OA|＝2，得y'=y-2,x'=x.
又C（x′，y′）满足x′2＋y′2＝4，
所以x2＋（y－2）2＝4（x≠0）即是所求轨迹方程．
14.已知圆x2＋y2＝4上一定点A（2,0），B（1,1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点，求线段AP中点的轨迹方程．
【答案】由A（2,0），设AP中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x－2,2y）．
∵P点在圆x2＋y2＝4上，∴（2x－2）2＋（2y）2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝1.
15.如图所示，在等边三角形ABC内有一动点P，已知△ABC的边长为2a，P到三个顶点的距离分别为|PA|，|PB|，|PC|，且满足|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，求点P的轨迹方程．

【答案】如图所示，以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．

B，C的坐标分别为（－a,0），（a,0）（a＞0），则点A的坐标为（0，3a），设点P的坐标为（x，y），
由已知条件|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，得x2＋（y－3a）2＝（x＋a）2＋y2＋（x－a）2＋y2.
化简，得x2＋（y＋3a）2＝（2a）2，
因为点P在△ABC的内部，所以y＞0，
故所求的轨迹方程是x2＋（y＋3a）2＝4a2（y＞0）．
16.已知线段AB的端点B的坐标是（4,3），端点A在圆（x＋1）2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．

【答案】设点M的坐标是（x，y），点A的坐标是（x0，y0），由于点B的坐标是（4,3）且点M是线段AB的中点，
所以x＝x0+42，y＝y0+32，
于是有x0＝2x－4，y0＝2y－3.①
因为点A在圆（x＋1）2＋y2＝4上运动，
所以点A的坐标满足方程（x＋1）2＋y2＝4，
即（x0＋1）2＋y02＝4，②
把①代入②，得（2x－4＋1）2＋（2y－3）2＝4，
整理得（x－32）2＋（y－32）2＝1.
所以，点M的轨迹是以（32，32）为圆心，半径长为1的圆，即（x－32）2＋（y－32）2＝1.
考点三 圆的方程的综合应用
17.已知点P（2,5），M为圆（x＋1）2＋（y－1）2＝4上任一点，则|PM|的最大值为（　　）
A.7
B.8
C.9
D.10
【答案】A
【解析】由（x＋1）2＋（y－1）2＝4.
所以圆心C的坐标为（－1,1），半径r＝2，P（2,5），
可得|PC|＝（＝5（
因此|MP|max＝5＋2＝7.
故选A.
18.已知圆C1：x-22＋y-32＝1，C2：x-32＋y-42＝9.M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则PM＋PN的最小值为（　　）
A.52－4
B．17－1
C.6－22
D．17
【答案】A
【解析】两圆的圆心分别为C12,3，C23,4，C12,3关于x轴的对称点为C32,-3，结合图形（图略）可知PC1＋PC2的最小值为C2C3＝52，因此PM＋PN的最小值为52－4.
19.已知点P是圆C：x2＋y2＋4x＋ay－5＝0上任意一点，P点关于直线2x＋y－1＝0的对称点在圆上，则实数a等于（　　）
A.10
B.－10
C.20
D.－20
【答案】B
【解析】将圆C：x2＋y2＋4x＋ay－5＝0化成标准方程为
（x＋2）2＋（y＋a2）2＝9＋a24，
故圆心为C（－2，－a2），依题意可知直线2x＋y－1＝0过点C，
所以2×（－2）－a2－1＝0⇒a＝－10，故选B.

20.已知方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆有最大的面积，则直线y＝（k－1）x＋2的倾斜角α＝____________.
【答案】3π4
【解析】圆的半径r＝12k2+4-4k2＝124-3k2，当k＝0时rmax＝1，直线y＝（k－1）x＋2的斜率为－1，倾斜角为3π4.
21.已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点（3,5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是________．
【答案】206
【解析】配方可得（x－3）2＋（y－4）2＝25，其圆心为C（3,4），半径为r＝5，则过点（3,5）的最长弦|AC|＝2r＝10，最短弦|BD|＝2r2-12＝46且有AC⊥BD，则四边形ABCD的面积为S＝12|AC|·|BD|＝206.
22.已知点P（a，b）在圆C上，且关于直线l的对称点为P′（b＋1，a－1），则圆C：x2＋y2－6x－2y＝0关于直线l对称的圆C′的方程为________．
【答案】（x－2）2＋（y－2）2＝10
【解析】由圆C：x2＋y2－6x－2y＝0得，圆心坐标为（3,1），半径r＝10，所以对称圆C′的圆心为（1＋1,3－1），即（2,2），所以对称圆的方程为（x－2）2＋（y－2）2＝10.
23.已知圆M过两点A（1，－1），B（－1,1），圆心M在直线x＋y－2＝0上．
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PC、PD是圆M的两条切线，C、D为切点，求四边形PCMD的面积的最小值．
【答案】解　（1）设圆心为M（a，b），则a＋b－2＝0，①
又∵A（1，－1），B（－1,1），
∴kAB＝（＝－1，
∴AB的垂直平分线l的斜率k＝1，又AB的中点为O（0,0），
∴l的方程为y＝x，而直线l与直线x＋y－2＝0的交点就是圆心M（a，b），
由a+b-2=0,a=b,解得a=1,b=1,又r＝|MA|＝2，
∴圆M的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝4.
（2）如图：

S四边形PCMD＝|MC|·|PC|＝2PM2-MC2
＝2PM2-4，
又点M（1,1）到3x＋4y＋8＝0的距离d＝|MN|＝3×1+4×1+832+42＝3，
∴|PM|min＝d＝3，
∴（S四边形PCMD）min＝232-4＝25.
24.已知圆x2＋y2－x－8y＋m＝0与直线x＋2y－6＝0相交于P、Q两点，定点R（1,1），若PR⊥QR，求实数m的值．
【答案】由题意，1＋64－4m＞0，m＜654，
设P（x1，y1）、Q（x2，y2），
由x2+y2-x-8y+m=0,x+2y-6=0.
消去y，得5x2＋4m－60＝0（m＜654）．①
由题意，方程①有两个不等的实数根，所以60－4m＞0，m＜15.
由根与系数的关系，得x1+x2=0,x1x2=45m-12.
因为PR⊥QR，所以kPRkQR＝－1.所以y1-1x1-1·y2-1x2-1＝－1，即（x1－1）（x2－1）＋（y1－1）（y2－1）＝0，
即x1x2－（x1＋x2）＋y1y2－（y1＋y2）＋2＝0.②
因为y1＝3－x12，y2＝3－x22，所以y1y2＝（3－x12）（3－x22）＝9－32（x1＋x2）＋x1x24＝9＋x1x24，
y1＋y2＝6，代入②得54x1x2＋5＝0，即54（45m－12）＋5＝0.
所以m＝10，适合m＜15，所以实数m的值为10.