专题17 圆与圆的位置关系（解析版）2020-2021学年高二数学培优对点题组专题突破（人教A版2019选择性必修第一册）

专题17 圆与圆的位置关系
考点一 圆与圆的位置关系
1.两圆x2＋y2＝r2(r＞0)，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)外切，则正实数r的值是(　　)
A.10
B.102
C.5
D.5
【答案】B
【解析】两圆外切则两圆心距离等于两圆的半径之和，即3-02+-1-02＝2r，解得r＝102，故选B.
2.已知圆的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx＋2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是(　　)
A.－43
B.－53
C.－35
D.－54
【答案】A
【解析】∵圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，∴整理得x-42＋y2＝1，
∴圆心为C(4,0)，半径r＝1.又∵直线y＝kx＋2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，
∴点C到直线y＝kx＋2的距离小于或等于2，
∴4k-0+2k2+1≤2，化简得3k2＋4k≤0，解得－43≤k≤0，
∴k的最小值是－43.
3.已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中的一圆的半径为4，则另一圆的半径为(　　)
A.10
B.11
C.23
D.13
【答案】D
【解析】解　设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，
于是对角线O1O2＝OE＝OA2-AE2＝25-4＝21，
∵圆O1的半径为4，∴O1E＝O1A2-AE2
＝16-4＝23，
∴O2E＝21-12＝3，
∴圆O2的半径为9+4＝13，故选D.

4.圆C1：x2＋y2－2x－3＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋3＝0的位置关系为(　　)
A.两圆相交
B.两圆相外切
C.两圆相内切
D.两圆相离
【答案】A
【解析】∵C1：(x－1)2＋y2＝4，
C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝2.
∴两圆的圆心距d满足2－2＜d＝1+22+0+12＝10＜2＋2，所以两圆相交，故选A.
5.已知圆方程C1：f(x，y)＝0，点P1(x1，y1)在圆C1上，点P2(x2，y2)不在圆C1上，则方程f(x，y)－f(x1，y1)－f(x2，y2)＝0表示的圆C2与圆C1的关系是(　　)
A.与圆C1重合
B.与圆C1同心圆
C.过P1且与圆C1圆心相同的圆
D.过P2且与圆C1圆心相同的圆
【答案】D
【解析】∵圆方程C1：f(x，y)＝0，点P1(x1，y1)在圆C1上，点P2(x2，y2)不在圆C1上，
∴f(x1，y1)＝0，f(x2，y2)≠0.
由f(x，y)－f(x1，y1)－f(x2，y2)＝0，
得f(x，y)＝f(x2，y2)≠0.
它表示过P2且与圆C1圆心相同的圆，故选D.
6.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，直线l：y＝kx＋3与圆C相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为________.
【答案】[－34，＋∞)
【解析】由圆的性质知只要点M为弦AB的中点，圆M和圆C一定有公共点，则当M在弦AB上运动时，圆M与圆C一定有公共点，故由题意有k-1+3k2+1≥3－2，k≥－34.
7.已知两圆C1：x2＋y2＋4x－2ny＋n2－5＝0，C2：x2＋y2－2nx＋2y＋n2－3＝0，则C1与C2外离时n的取值范围是________，C1与C2内含时n的取值范围是________.
【答案】(－∞，－5)∪(2，＋∞)　(－2，－1)
【解析】圆心分别是C1(－2，n)，C2(n，－1)，半径分别是r1＝3，r2＝2，
C1C2＝n+22+-1-n2＝2n2+6n+5.
外离时，2n2+6n+5＞5，
即n2＋3n－10＞0，解得n＜－5或n＞2；
内含时，2n2+6n+5＜1，
即n2＋3n＋2＜0，解得－2＜n＜－1.
8.已知关于x，y的方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若方程C表示圆，求m的取值范围；
(2)若圆C与圆x2＋y2－8x－12y＋36＝0外切，求m的值.
【答案】(1)把方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0，配方得(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，若方程C表示圆，则5－m＞0，解得m＜5.
(2)把圆x2＋y2－8x－12y＋36＝0化为标准方程得(x－4)2＋(y－6)2＝16，得到圆心坐标为(4,6)，半径为4，则两圆心间的距离d＝4-12+6-22＝5，
因为两圆的位置关系是外切，所以d＝R＋r，即4＋5-m＝5，解得m＝4.
9.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1.
(1)判断圆C1与圆C2的位置关系；
(2)若动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长，则动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.
【答案】(1)C1：(x＋1)2＋y2＝1的圆心为(－1,0)，半径r＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心为(3,4)，半径R＝1，则|C1C2|＝-1-32+42＝32＝42＞1＋1，∴圆C1与圆C2的位置关系是相离.
(2)设圆心C(x，y)，由题意得CC1＝CC2，
即x+12+y2＝x-32+y-42，
整理得x＋y－3＝0，即圆心C在定直线x＋y－3＝0上运动.

设C(m,3－m)，则动圆的半径1+CC12＝1+m+12+3-m2，
于是动圆C的方程为(x－m)2＋(y－3＋m)2＝1＋(m＋1)2＋(3－m)2，
整理得x2＋y2－6y－2－2m(x－y＋1)＝0.
由x-y+1=0,x2+y2-6y-2=0,
解得x=1+322,y=2+322或x=1-322,y=2-322,
即所求的定点坐标为(1－322，2－322)，
(1＋322，2＋322).
考点二 两圆相切的有关问题
10.已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　)
A.(x－5)2＋(y＋7)2＝25
B.(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C.(x－5)2＋(y＋7)2＝9
D.(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
【答案】D
【解析】若外切则圆心距为5，即为(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若内切则圆心距为3，即为x-52＋y+72＝9，所以选D.
11.若圆O1方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，圆O2方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1，则方程(x＋1)2＋(y＋1)2－4＝x-32＋y-22－1表示的轨迹是(　　)
A.经过两点O1O2的直线
B.线段O1O2的中垂线
C.两圆公共弦所在的直线
D.一条直线且该直线上的点到两圆的切线长相等
【答案】D
【解析】因为x+12+y+12-4表示点(x，y)向圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4所引的切线长，x-32+y-22-1表示点(x，y)向圆(x－3)2＋(y－2)2＝1所引的切线长，则(x＋1)2＋(y＋1)2－4＝x-32＋y-22－1表示点(x，y)到两圆的切线长相等，又方程(x＋1)2＋(y＋1)2－4＝x-32＋y-22－1表示直线，故选D.
12.半径长为6的圆与x轴相切且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为(　　)
A.(x－4)2＋(y－6)2＝6
B.(x±4)2＋(y－6)2＝6
C.(x－4)2＋(y－6)2＝36
D.(x±4)2＋(y－6)2＝36
【答案】D
【解析】∵半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则b＝6.再由a2+32＝5，可以解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.
13.已知圆D经过点M(1,0)且与圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0切于点N(1,2).
(1)求两圆过点N的公切线方程；
(2)求圆D的标准方程.
【答案】(1)圆C的标准方程是x+12＋y-32＝5，圆心C-1,3.
直线CN的斜率kCN＝3-2-1-1＝－12，
因为过N的公切线与直线CN垂直，所以公切线的斜率k＝2，
故所求公切线方程y－2＝2x-1，即2x－y＝0.
(2)直线CN方程为y－2＝－12x-1，
即x＋2y－5＝0，
线段MN的中垂线方程为y＝1，
解x+2y-5=0,y=1得x=3y=1，即圆心D(3,1).
圆D的半径为MD＝3-12+12＝5，
所以圆D的标准方程是x-32＋y-12＝5.
14.圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2为(2,1).
(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线方程；
(2)若圆O2与圆O1交于A、B两点且|AB|＝22，求圆O2的方程.
【答案】(1)∵两圆外切，
∴|O1O2|＝r1＋r2，r2＝|O1O2|－r1＝2(2－1)，
故圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－82.
两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程为x＋y＋1－22＝0.
(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r22.
∵圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程为4x＋4y＋r22－8＝0.①
作O1H⊥AB，则|AH|＝12|AB|＝2，
|O1H|＝O1A2-AH2＝22-22＝2.
又圆心(0，－1)到AB所在直线的距离为
r22-1242＝2，
得r22＝4或r22＝20，故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
15.求过点A(0,6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆的方程.

【答案】将圆C化为标准方程，得(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，
则圆心为C(－5，－5)，半径为52.所以经过此圆心和原点的直线方程为x－y＝0.
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0).
由题意，知O(0,0)，A(0,6)在此圆上且圆心M(a，b)在直线x－y＝0上，则有
0-a2+0-b2=r2,0-a2+6-b2=r2,a-b=0,解得a=3,b=3,r=32.
于是所求圆的方程是(x－3)2＋(y－3)2＝18.

考点三 求过直线与圆或圆与圆交点的方程
16.以相交两圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0及C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的公共弦为直径的圆的方程(　　)
A.(x－1)2＋(y－1)2＝1
B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C.(x＋35)2＋(y＋65)2＝45
D.(x－35)2＋(y－65)2＝45.
【答案】B
【解析】联立x2+y2+4x+1=0,x2+y2+2x+2y+1=0,
可得公共弦所在直线方程为x－y＝0.
因为x2＋y2＋4x＋1＝0，即(x＋2)2＋y2＝3，
所以圆心(－2,0)到公共弦所在直线x－y＝0的距离为22＝2，
从而可得公共弦长为23-2＝2，所以以公共弦为直径的圆的半径为1，C，D不符合.
而x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，即(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，
所以以公共弦为直径的圆的圆心为圆心(－2,0)，(－1，－1)所在直线x＋y＋2＝0与公共弦所在直线x－y＝0的交点(－1，－1)，
所以以公共弦为直径的圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，故选B.
17.已知圆M方程：x2＋(y＋1)2＝4，圆N的圆心(2,1)，若圆M与圆N交于A，B两点，且|AB|＝22，则圆N的方程为(　　)
A.(x－2)2＋(y－1)2＝4
B.(x－2)2＋(y－1)2＝20
C.(x－2)2＋(y－1)2＝12
D.(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20
【答案】D
【解析】设圆N的方程为x-22＋(y－1)2＝R2，则圆M与圆N的公共弦所在的直线方程为4x＋4y－8＋R2＝0，圆心M(0，－1)到公共弦的距离d＝-4-8+R242，又d2＋(AB2)2＝4，解得R2＝4或R2＝20，故选D.
18.圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－1＝0与x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－2＝0的公共弦的最大值是(　　)
A.12
B.1
C.32
D.2
【答案】D
【解析】x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－1＝0⇒(x＋a)2＋(y＋a)2＝1，圆心C1(－a，－a)，半径r＝1；
x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－2＝0⇒(x＋b)2＋(y＋b)2＝2，圆心C2(－b，－b)，半径r＝2；
即两圆圆心在直线y＝x上，半径分别为1和2，
∴两圆公共弦长的最大值为小圆的直径，即最大值为2.
19.若圆M：(x－a)2＋(y－b)2＝6与圆N：(x＋1)2＋(y＋1)2＝5的两个交点始终为圆N：(x＋1)2＋(y＋1)2＝5的直径两个端点，则动点M(a，b)的轨迹方程为________.
【答案】(a＋1)2＋(b＋1)2＝1
【解析】从已知可知圆N的直径是圆M的弦，从而弦心距也即圆心距为1.故有(a＋1)2＋(b＋1)2＝1.
20.圆心在直线x－y－4＝0上，并且经过圆x2＋y2＋6x－4＝0与圆x2＋y2＋6y－28＝0交点的圆的方程为__________________.
【答案】x2＋y2－x＋7y－32＝0
【解析】方法一　解方程组x2+y2+6x-4=0,x2+y2+6y-28=0得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2).
设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.
则有a+12+a-4-32＝a+62+a-4+22，
解得a＝12，故圆心为12,-72，
半径为12+12+-72-32＝892，
故圆的方程为x-122＋y+722＝892，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
方法二　∵圆x2＋y2＋6y－28＝0的圆心(0，－3)不在直线x－y－4＝0上，故可设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
其圆心为-31+λ,-3λ1+λ，代入x－y－4＝0，
求得λ＝－7.
故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.
21.求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆的方程.
【答案】联立方程组得x1=5,y1=-6或x2=-1,y2=2.
所以两圆交点坐标为A(5，－6)和B(－1,2).AB的中点坐标为(2，－2)，由两点间距离公式得|AB|＝2r＝10.
即所求圆是以(2，－2)为圆心，半径r＝5的圆，
所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
22.已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A、B两点.
(1)求公共弦AB的长；
(2)求圆心在直线y＝－x上，且过A、B两点的圆的方程；
(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程.
【答案】(1)由两圆方程相减即得x－2y＋4＝0，
此为公共弦AB所在的直线方程.
圆心C1(－1，－1)，半径r1＝10.
C1到直线AB的距离为d＝-1+2+45＝5，
故公共弦长|AB|＝2r12-d2＝25.
(2)圆心C2(1，－5)，过C1，C2的直线方程为y+1-5+1＝x+11+1，即2x＋y＋3＝0.
由2x+y+3=0,y=-x得所求圆的圆心为(－3,3).
它到AB的距离为d＝-3-6+45＝5，
∴所求圆的半径为5+5＝10，
∴所求圆的方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10.
(3)过A、B且面积最小的圆就是以AB为直径的圆，
由x-2y+4=0,2x+y+3=0,
得圆心(－2,1)，半径r＝5.
∴所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.
23.已知圆C的方程x2＋y2－2ax＋(2－4a)y＋4a－4＝0(a∈R).
(1)证明对任意实数a，圆C必过定点；
(2)求圆心C的轨迹方程；
(3)对a∈R，求面积最小的圆C的方程.
【答案】(1)证明　分离参数a，化为x2＋y2＋2y－4＋a(－2x－4y＋4)＝0，
又x2+y2+2y-4=0,-2x-4y+4=0,
得x=2,y=0或x=-25,y=65,
∴对任何实数a，圆C必过点A(2,0)，B(－25，65).
(2)解　∵D2＋E2－4F＝4(5a2－8a＋5)＞0恒成立，设C的坐标为(x，y)，
则圆心C的方程为x=a,y=2a-1,消去a，得2x－y－1＝0，
∴圆心C的轨迹方程为2x－y－1＝0.
(3)解　面积最小的圆就是以AB为一条直径的圆，方程是(x－45)2＋(y－35)2＝95.
24.△ABC的三个顶点A(1,3)，B(1，－3)，C(3,3)，求：
(1)BC边上中线AD所在直线的方程；
(2)△ABC的外接圆O1的方程；
(3)已知圆O2：x2＋y2－4y－6＝0，求圆心在x－y－4＝0，且过圆O1与圆O2交点的圆的方程.
【答案】(1)设BC的中点为D，由中点坐标公式得D(2,0)，所以AD所在直线的斜率为k＝－3，
所以AD所在直线的方程为y－3＝－3(x－1)，
即3x＋y－6＝0.
(2)由题知直线AB的斜率不存在，直线AC的斜率为0，
故△ABC是角A为直角，BC为斜边的直角三角形.
由(1)知，线段BC上的中点D(2,0)，
所以圆O1的圆心坐标为(2,0)，半径r＝DA＝1+32
＝10，
所以△ABC的外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.
(3)方法一　设经过两圆交点的圆系方程为
x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，
即x2＋y2－41+λx－4λ1+λy－6＝0，
所以圆心的坐标为(21+λ，2λ1+λ)，
又圆心在直线x－y－4＝0上，所以21+λ－2λ1+λ－4＝0，
则λ＝－13，所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.
方法二　由x2+y2-4x-6=0,x2+y2-4y-6=0得两圆公共弦所在直线为y＝x，由y=x,x2+y2-4y-6=0
解得x1=-1,y1=-1或x2=3,y2=3,
所以两圆的交点分别为A(－1，－1)，B(3,3)，
线段AB的垂直平分线所在直线的方程为
y－1＝－(x－1)，
由y-1=-x-1,x-y-4=0得x=3,y=-1,
所以所求圆的圆心为(3，－1)，半径为4，
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
25.已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
【答案】(1)由已知可得两个圆的方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，两圆的圆心距d＝5-12+(6-3)2＝5，两圆的半径之和11＋61-m，
由两圆的半径之和11＋61-m＝5，
可得m＝25＋1011.
(2)由两圆的圆心距d＝5-12+(6-3)2＝5等于两圆的半径之差|11－61-m|，
即|11－61-m|＝5，可得11－61-m＝5(舍去)或11－61-m＝－5，解得m＝25－1011.
(3)当m＝45时，两圆的方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝16，
把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为4x＋3y－23＝0.
第一个圆的圆心(1,3)到公共弦所在的直线的距离为
d＝4+9-235＝2，可得弦长为211-4＝27.