专题16 直线与圆的位置关系（解析版）2020-2021学年高二数学培优对点题组专题突破（人教A版2019选择性必修第一册）

专题16 直线与圆的位置关系
考点一 直线与圆的位置关系
1.已知集合P＝x,yy=-25-x2,x,y∈R，Q＝{（x，y）|y＝x＋b，x，y∈R}，若P∩Q≠∅，则实数b的取值范围是（　　）
A. [－5,5]
B. （－52，5）
C. [－52，5]
D. [－52，52]
【答案】C
【解析】集合P表示以原点为圆心，5为半径的圆的下半部分上的点，集合Q表示直线y＝x＋b上的点.因为P∩Q≠∅，所以两个曲线有交点.由图可知，当直线y＝x＋b经过点（－5,0）时，两曲线开始有交点，此时b＝5.当b逐渐减小时，直线与曲线一直有交点，直到直线y＝x＋b与半圆相切，此时b2＝5，解得b＝±52.
由图判断，b＝－52.所以－52≤b≤5，故选C.

2.若圆（x－1）2＋（y＋1）2＝R2上有且仅有两个点到直线4x＋3y＝11的距离等于1，则半径R的取值范围是（　　）
A.R＞1
B.R＜3
C. 1＜R＜3
D.R≠2
【答案】C
【解析】依题意可得，直线与圆可能相交，相切或相离.若直线4x＋3y＝11与圆（x－1）2＋（y＋1）2＝R2相离，则圆上的点到直线的最小距离应小于1，即圆心到直线的距离d∈（R,1＋R），从而有R＜105＜1＋R，解得1＜R＜2.
若直线4x＋3y＝11与圆（x－1）2＋（y＋1）2＝R2相切，则R＝105＝2.
若直线4x＋3y＝11与圆相交，则圆上的点到直线的最小距离应小于1，即圆心到直线的距离d∈（R－1，R），从而有R－1＜105＜R，解得2＜R＜3.综上可得1＜R＜3，故选C.
3.直线y＝x＋b与曲线x＝1-y2有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（　　）
A. {b|b＝±2}
B. {b|－1＜b≤1或b＝－2}
C. {b|－1≤b≤2}
D. {b|－2＜b＜1}
【答案】B
【解析】y＝x＋b是斜率为1的直线，曲线x＝1-y2是以原点为圆心、1为半径圆的右半圆，画出它们的图象如图所示，由图可以看出，直线与曲线有且仅有一个公共点有两种情况：当b＝－2时，直线与曲线相切；当－1＜b≤1时，直线与曲线相交且有唯一公共点.

4.若直线xa＋yb＝1与圆x2＋y2＝1有公共点，则（　　）
A.a2＋b2≤1
B.a2＋b2≥1
C.1a2＋1b2≤1
D.1a2＋1b2≥1
【答案】D
【解析】由于直线与单位圆有公共点，所以圆心到直线的距离d小于等于半径r，即d＝-11a2＋1b2≤r＝1，解得1a2＋1b2≥1，故选D.
5.两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”.已知直线l1：2x－y＋a＝0，l2：2x－y＋a2＋1＝0和圆：x2＋y2＋2x－4＝0相切，则实数a的取值范围是（　　）
A.a＞7或a＜－3
B.a＞6或a＜－6
C. －3≤a≤－6或6≤a≤7
D.a≥7或a≤－3
【答案】C
【解析】当两平行直线和圆相交时，有2×-1+a5<5,2×-1+a2+15<5,
解得－6＜a＜6，当两平行直线和圆相离时，有2×-1+a5>5,2×-1+a2+15>5,
解得a＜－3或a＞7.故当两平行直线和圆相切时，把以上两种情况下求得的a的范围取并集后，再取此并集的补集，即得所求.故所求的a的取值范围是－3≤a≤－6或6≤a≤7，故选C.
6.对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”，否则称为“平行相交”.已知直线l1：ax＋3y＋6＝0，l2：2x＋（a＋1）y＋6＝0，和圆C：x2＋y2＋2x＝b2－1（b＞0）的位置关系是“平行相交”，则b的取值范围为（　　）
A. （2，322）
B. （0，2）
C. （0，322）
D. （2，322）∪（322，＋∞）
【答案】D
【解析】圆C的标准方程为（x＋1）2＋y2＝b2，由两直线平行可得a（a＋1）－6＝0，解得a＝2或a＝－3，又当a＝2时，直线l1与l2重合，舍去，此时两平行线方程分别为x－y－2＝0和x－y＋3＝0.由直线x－y－2＝0与圆（x＋1）2＋y2＝b2相切，得b＝32＝322，由直线x－y＋3＝0与圆相切，得b＝22＝2，当两直线与圆都相离时，b＜2，所以“平行相交”时，
b满足b≥2,b≠2,b≠332,故b的取值范围是（2，322）∪（322，＋∞）.
7.设集合A＝{（x，y）|m2≤（x－2）2＋y2≤m2，x，y∈R}，B＝{（x，y）|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}，若A∩B＝∅，则实数m的取值范围是（　　）
A.2－2≤m≤1
B. 0＜m＜2＋2
C.m＜2－2或m＞1
D.m＜12或m＞2＋2
【答案】D
【解析】显然B≠∅.
①当A＝∅时，则m2＞m2，解得0＜m＜12；
②当A≠∅时，若A∩B＝∅，则圆x-22＋y2＝m2m≠0与直线x＋y＝2m或x＋y＝2m＋1没有交点，即2-2m2＞m或1-2m2＞m，
∴m＜2-22或m＞2＋2.
综上所述，满足条件的实数m的取值范围为m＜12或m＞2＋2.
8.（1）已知直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝1-x2有两个不同的公共点，求实数b的取值范围；
（2）若关于x的不等式1-x2＞x＋b解集为R，求实数b的取值范围.
【答案】（1）如图（数形结合），方程y＝x＋b表示斜率为1，在y轴上截距为b的直线l，

方程y＝1-x2表示单位圆在x轴上及其上方的半圆，
当直线过B点时，它与半圆交于两点，此时b＝1，直线记为l1，
当直线与半圆相切时，b＝2，直线记为l2.
直线l要与半圆有两个不同的公共点，必须满足l在l1与l2之间（包括l1但不包括l2），
所以1≤b＜2，即所求的b的取值范围是[1，2）.
（2）不等式1-x2＞x＋b恒成立，即半圆y＝1-x2在直线y＝x＋b上方，
当直线l过点（1,0）时，b＝－1，所以所求的b的取值范围是（－∞，－1）.

考点二 圆的切线问题
9.由直线3x－4y＋16＝0上的点向圆C：x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为（　　）
A. 1
B. 22
C. 26
D. 3
【答案】C
【解析】圆C的方程可变为（x－3）2＋y2＝1，圆心C（3,0），半径为1.
直线3x－4y＋16＝0上点到圆心C的最短距离为5，根据勾股定理，最短的切线长为52-1＝26.
10.在平面直角坐标系中，过动点P分别作圆C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的切线PA与PB（A，B为切点），若PA＝PB，O为原点，则OP的最小值为（　　）
A. 2
B.45
C.35
D.5
【答案】B
【解析】圆C1的标准方程为（x－2）2＋（y－3）2＝4，圆C2的标准方程为（x＋1）2＋（y＋1）2＝1，PA2＝PC12－4，PB2＝PC22－1，由题意PC12－4＝PC22－1，设P（x，y），则（x－2）2＋（y－3）2－4＝（x＋1）2＋（y＋1）2－1，化简为3x＋4y－4＝0，OP的最小值为d＝0+0-432+42＝45.故选B.
11.若圆C的半径长为1，圆心在第一象限，与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（　　）
A. （x－2）2＋（y－1）2＝1
B. （x－2）2＋（y＋1）2＝1
C. （x＋2）2＋（y－1）2＝1
D. （x－3）2＋（y－1）2＝1
【答案】A
【解析】由题意可设圆心坐标为（a，b）且a＞0，b＞0.因为圆的半径长为1且圆与x轴相切，所以b＝1，又圆与直线4x－3y＝0相切，则有（＝1，得a＝2或a＝－12（舍去）.故圆的标准方程为（x－2）2＋（y－1）2＝1.
12.平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是（　　）
A. 2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B. 2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
C. 2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D. 2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
【答案】A
【解析】设所求直线的方程为2x＋y＋c＝0（c≠1），则c22+12＝5，所以c＝±5，故所求直线的方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.
13.过点P（3,1）向圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0作一条切线，切点为A，则切线段PA的长为______.
【答案】3
【解析】x2＋y2－2x－2y＋1＝0，∴ （x-1）2＋（y-1）2＝1，圆心为（1,1），半径为1，
∴|PA|＝（＝3.（14.从直线x－y＋3＝0上的点向圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为________.
【答案】142
【解析】把圆的方程化为标准式后，找出圆心坐标和圆的半径，利用图形可知，当圆心A与直线x－y＋3＝0垂直时，过垂足C作圆的切线，切线长最短，切点为B，连接AB，根据圆的切线垂直于过切点的直径可得△ABC为直角三角形，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线x－y＋3＝0的距离即为|AC|的长，然后根据半径和|AC|的长，利用勾股定理即可求出此时的切线长.由于圆心（2,2），半径为1，那么可知圆心到直线的距离d＝32＝322，那么利用勾股定理可知切线长的最小值为142.
15.已知⊙O：x2＋y2＝1和定点A（2,1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，满足|PQ|＝|PA|.
（1）求实数a，b间满足的等量关系；
（2）求线段PQ的最小值.
【答案】（1）连接OP，
∵Q为切点，

∴PQ⊥OQ，
由勾股定理有|PQ|2＝|OP|2－|OQ|2.
又∵|PQ|＝|PA|，
∴|PQ|2＝|PA|2，
即a2＋b2－1＝（a－2）2＋（b－1）2，
整理，得2a＋b－3＝0.
（2）由2a＋b－3＝0，得b＝－2a＋3，
∴|PQ|＝a2+b2-1＝（
＝5a2-12a+8＝（，
∴当a＝65时，|PQ|min＝255，
即线段PQ的最小值为255.
16.已知⊙O：x2＋y2＝1和定点A（2,1），由⊙O外一点P（x，y）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|＝2|PA|.
（1）求动点P的轨迹方程C；
（2）求线段PQ长的最小值；
（3）若以⊙P为圆心所做的⊙P与⊙O有公共点，试求P半径取最小值时的P点坐标.
【答案】（1）|PQ|＝2|PA|⇒x2+y2-1
＝2（⇒3（2＋3y2－16x－8y＋21＝0.
（2）∵|PQ|＝2|PA|，∴|PQ|min＝2|PA|min，
而轨迹C的方程（x－83）2＋（y－43）2＝179，
圆心设为C（83，43），半径r＝173，
而|PA|min＝r－|AC|＝173－（＝（，
因此|PQ|min＝（.
（3）依题意若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，⊙P半径取最小值时的P点坐标即线段OC与⊙C的交点.即OC：y＝12x（0≤x≤83）与⊙C的交点，
y=12x,3x2+3y2-16x-8y+21=0⇔154x2－20x＋21＝0⇔
x＝40-28515⇒y＝20-8515，即P（40-28515，20-8515）.
17.自点A（－3,3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程.
【答案】如图所示，

已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于x轴对称的圆为C1：（x－2）2＋（y＋2）2＝1，其圆心C1的坐标为（2，－2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切.设l的方程为y－3＝k（x＋3），
即kx－y＋3＋3k＝0.
则5k+51+k2＝1，即12k2＋25k＋12＝0.
∴k1＝－43，k2＝－34.
则l的方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0.

考点三 圆的弦长问题
18.已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，2），则四边形ABCD的面积的最大值为（　　）
A. 4
B. 42
C. 5
D. 52
【答案】C
【解析】设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，
则d21＋d22＝OM2＝3.
四边形ABCD的面积为S＝12AC·BD
＝2（≤（－（d21＋d22）＝5，
当且仅当d21＝d22时取等号，故选C.
19.若关于x的方程4-x2＝kx＋2只有一个实数根，则k的值为（　　）
A.k＝0
B.k＝0或k＞1
C.k＞1或k＜－1
D.k＝0或k＞1或k＜－1
【答案】D
【解析】方程4-x2＝kx＋2的根的个数即为y＝4-x2与y＝kx＋2的交点的个数，由图可知，当k＝0或k＞1或k＜－1时，方程4-x2＝kx＋2只有一个实数根.

20.已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点P（3,5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（　　）
A. 106
B. 206
C. 306
D. 406
【答案】B
【解析】如图所示，设圆的圆心为M，则M（3,4），半径r＝5.
当过点P的直线过圆心M时，对应的弦AC是最长的，此时，|AC|＝2r＝10；当过点P的直线与MP垂直时，对应的弦BD最小，
此时在Rt△MPD中，|MD|＝r＝5，|MP|＝1，
故|BD|＝2MD2-MP2＝46.
此时四边形ABCD的面积为
S＝12|AC|·|BD|＝206，故选B.

21.已知圆C：x2＋（y－3）2＝4，过A（－1,0）的直线l与圆C相交于P，Q两点，若|PQ|＝23，则直线l的方程为（　　）
A.x＝－1或4x＋3y－4＝0
B.x＝－1或4x－3y＋4＝0
C.x＝1或4x－3y＋4＝0
D.x＝1或4x＋3y－4＝0
【答案】B
【解析】当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k（x＋1），过圆C作CM⊥PQ，垂足为M，由于|PQ|＝23，可求得|CM|＝1.由|CM|＝-k+3k2+1＝1，解得k＝43，此时直线l的方程为y＝43（x＋1）.故所求直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.故选B.
22.已知圆C：（x－a）2＋（y－2）2＝4（a＞0）及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为23时，a等于（　　）
A.2
B. 2－2
C.2－1
D.2＋1
【答案】C
【解析】圆心C（a,2）到直线l的距离d＝a-2+32＝a+12，
所以a+122＋2322＝4，
解得a＝－1－2（舍去）或a＝2－1.故选C.
23.已知P点为圆O1与圆O2的公共点，圆O1：（x－a）2＋（y－b）2＝b2＋1，圆O2：（x－c）2＋（y－d）2＝d2＋1，若ac＝8，ab＝cd，则点P与直线l：3x－4y－25＝0上任意一点M之间的距离的最小值为________________.
【答案】2
【解析】设P（m，n），则（m－a）2＋（n－b）2＝b2＋1⇒a2－2ma＋m2＋n2－1－2bn＝0，令ab＝cd＝1t，则a2－（2m＋2tn）a＋m2＋n2－1＝0，同理可得c2－（2m＋2tn）c＋m2＋n2－1＝0，因此a，c为方程x2－（2m＋2tn）x＋m2＋n2－1＝0的两根，由根与系数的关系得ac＝m2＋n2－1＝8，m2＋n2＝9，从而点P与直线l：3x－4y－25＝0上任意一点M之间的距离的最小值为d－r＝255－3＝2.
24.已知⊙O：x2＋y2＝1和点M（4,2）.

（1）过点M向⊙O引切线l，求直线l的方程；
（2）求以点M为圆心且被直线y＝2x－1截得的弦长为4的⊙M的方程；
（3）设P为（2）中⊙M上任一点，过点P向⊙O引切线，切点为Q.试探究：平面内是否存在一定点R，使得PQPR为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）若直线l的斜率不存在，显然不合题意；
设切线l方程为y－2＝k（x－4），易得4k-2k2+1＝1，解得k＝8±1915.
∴切线l方程为y－2＝8±1915（x－4）.
（2）圆心到直线y＝2x－1的距离为5，设圆的半径为r，则r2＝22＋（5）2＝9，
∴⊙M的方程为（x－4）2＋（y－2）2＝9.
（3）假设存在这样的点R（a，b），点P的坐标为（x，y），相应的定值为λ，
根据题意可得PQ＝x2+y2-1，∴（＝λ，
即x2＋y2－1＝λ2（x2＋y（－2ax－2by＋a2＋b2），（*）
又点P在圆M上，∴（x－4）2＋（y－2）2＝9，即x2＋y2＝8x＋4y－11，代入（*）式得：
8x＋4y－12＝λ2[（8－2a）x＋（4－2b）y＋（a2＋b2－11）]
若系数对应相等，则等式恒成立，
∴λ28-2a=8,λ24-2b=4,λ2a2+b2-11=-12,
解得a＝2，b＝1，λ＝2或a＝25，b＝15，λ＝103.
∴可以找到这样的定点R，使得PQPR为定值.如点R的坐标为（2,1）时，比值为2；
点R的坐标为（25，15）时，比值为103.
25.已知圆心为C（－2,6）的圆经过点M（0,6－23）.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线l过点P（0,5）且被圆C截得的线段长为43，求直线l的方程；
（3）是否存在斜率是1的直线l′，使得以l′被圆C所截得的弦EF为直径的圆经过原点？若存在，试求出直线l′的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）圆C的半径为|CM|＝（＝4（
∴圆C的标准方程为（x＋2）2＋（y－6）2＝16.
（2）方法一　如图所示，设直线l与圆C交于A，B两点且D是AB的中点，则|AB|＝43，|AD|＝23且CD⊥AB.

∵圆C的半径为4，即|AC|＝4，
∴在Rt△ACD中，可得|CD|＝AC2-AD2＝2，
即点C到直线l的距离为2.
（i）当所求直线l的斜率存在时，设所求直线的方程为y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.
由点到直线的距离公式得（＝2，
解得k＝34.
∴此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
（ii）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0.
将x＝0代入（x＋2）2＋（y－6）2＝16，得（y－6）2＝16－4＝12，y－6＝±23，
∴y1＝6＋23，y2＝6－23，|y1－y2|＝43，
∴方程为x＝0的直线也满足题意，
∴所求直线l的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0.
方法二　当所求直线l的斜率存在时，设所求直线的方程为y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.
联立直线与圆C的方程y=kx+5,x2+y2+4x-12y+24=0,
消去y得（1＋k2）x2＋（4－2k）x－11＝0，①
设方程①的两根为x1，x2，
由根与系数的关系得x1+x2=2k-41+k2,x1x2=-111+k2,②
由弦长公式得1+k2|x1－x2|＝
1+k2x1+x22-4x1x2＝43，③
将②式代入③，并解得k＝34，
此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
仿方法一验算得方程为x＝0的直线也满足题意.
∴所求直线l的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0.
（3）方法一　假设存在直线l′满足题设条件，设l′的方程为y＝x＋m，则EF的中点N是两直线y＝x＋m与y－6＝－（x＋2）的交点，即N（4-m2，m+42），
∴|CN|＝（＝（.
∵以EF为直径的圆经过原点，∴OE⊥OF，
∴|EN|＝|ON|＝4-m22+m+422，
又∵CN⊥EF，|CE|2＝|CN|2＋|EN|2，
∴4-m22＋m+422＋m-822＝16，化简得m2－8m＋24＝0.
∵方程m2－8m＋24＝0没有实数解，
∴不存在满足题设条件的直线l′.
方法二　假设存在直线l′满足题设条件，并设l′的方程为y＝x＋m，点E（x3，y3），点F（x4，y4），联立直线与圆C的方程y=x+m,x2+y2+4x-12y+24=0,
消去y得2x2＋2（m－4）x＋m2－12m＋24＝0.
由根与系数的关系得x3+x4=4-m,x3x4=m2-12m+242.④
∵以EF为直径的圆经过原点，∴OE⊥OF.
若E、F中有一点在y轴上，则另一点必在x轴上，而在圆C的方程中令y＝0可得x无实数解，故本情况不会出现.
∴y3-0x3-0·y4-0x4-0＝－1，即x3x4＋y3y4＝0，
∴x3x4＋（x3＋m）（x4＋m）＝0，
化简得2x3x4＋（x3＋x4）m＋m2＝0，
以④代入并化简得m2－8m＋24＝0.
∵方程m2－8m＋24＝0没有实数解，
∴不存在满足题设条件的直线l′.