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初中数学人教版八年级上册14.3 因式分解综合与测试优秀练习
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这是一份初中数学人教版八年级上册14.3 因式分解综合与测试优秀练习，共8页。试卷主要包含了3《因式分解》同步练习等内容，欢迎下载使用。
一．选择题
1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．a（x﹣y）＝ax﹣ayD．x2+2x+1＝（x+1）2
2．下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．a2+4B．a2+ab+b2C．a2+4ab+b2D．x2+2x+1
3．下列各式中，没有公因式的是（ ）
A．3x﹣2与6x2﹣4xB．ab﹣ac与ab﹣bc
C．2（a﹣b）2与3（b﹣a）3D．mx﹣my与ny﹣nx
4．多项式x2y（a﹣b）﹣xy（b﹣a）+y（a﹣b）提公因式后，另一个因式为（ ）
A．x2﹣x+1B．x2+x+1C．x2﹣x﹣1D．x2+x﹣1
5．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．x2﹣2x﹣1B．（a+b）（a﹣b）﹣4ab
C．a2+ab+b2D．y2+2y﹣1
6．下列多项式能用公式法分解因式的有（ ）
（1）x2﹣2x﹣1；（2）﹣x+1；（3）﹣a2﹣b2；（4）﹣a2+b2；（5）x2﹣4xy+4y2；
（6）m2﹣m+1．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
7．下多项式中，在实数范围内能分解因式的是（ ）
A．x2﹣x+1B．x2﹣2x+2C．x2﹣3x+3D．x2﹣5x+5．
8．把多项式a2﹣3a﹣2ab+6b分解因式，下列分组中不正确的是（ ）
A．（a2﹣3a）﹣（2ab﹣6b）B．（a2﹣3a）+（﹣2ab+6b）
C．（a2﹣2ab）+（﹣3a+6b）D．（a2+6b）﹣（3a+2ab）
9．若2x2﹣bx﹣15＝（x﹣3）（2x+5），则b的值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
10．已知664﹣1能被30﹣40之间的两个整数整除，则这两个整数是（ ）
A．35，37B．35，36C．34，38D．36，37
二．填空题
11．分解因式：m2﹣m＝ ．
12．因式分解a2﹣16的结果是 ．
13．分解因式：a2b+ab2﹣a﹣b＝ ．
14．计算3×103﹣104＝ ．
15．若x2+5x+a＝（x﹣3）（x+b），则a+b＝ ．
三．解答题
16．因式分解：
（1）4xy﹣2x2y （2）3x3﹣12xy2
（3）9x2﹣3x﹣4y2+2y （4）（x﹣y）2+4xy
17．已知：x、y满足：（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝41；求x3y+xy3的值．
18．已知a，b，c是△ABC的三边，且满足2a2+b2+c2＝2ab+2ac，试判断△ABC的形状，并说明理由．
19．先阅读下面的内容，再解决问题．
如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式．
如：①因为36＝4×9，所以4和9是36的因数；
因为x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2），所以x+1和x+2是x2﹣x﹣2的因式．
②若x+1是x2+ax﹣2的因式，则求常数a的值的过程如下：
解：∵x+1是x2+ax﹣2的因式
∴存在一个整式（mx+n），使得x2+ax﹣2＝（x+1）（mx+n）
∴当x＝﹣1时，（x+1）（mx+n）＝0
∴当x＝﹣1时，x2+ax﹣2＝0
∴1﹣a﹣2＝0
∴a＝﹣1
（1）x+2是x2+x﹣6的因式吗？ （填“是”或者“不是”）；
（2）若整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1的因式，求常数a，b的值．
20．利用我们学过的知识，可以得出下面这个形式优美的等式：
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
（1）请你检验这个等式的正确性；
（2）若a＝2018，b＝2019，c＝2020，你能很快求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值吗？
（3）若a﹣b＝，b﹣c＝，a2+b2+c2＝1，求ab+bc+ac的值．
参考答案
一．选择题
1．解：A、（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，从左到右是整式的乘法运算，不合题意；
B、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，不合题意；
C、a（x﹣y）＝ax﹣ay，不合题意；
D、x2+2x+1＝（x+1）2，从左到右是因式分解，符合题意．
故选：D．
2．解：A、a2+4，无法分解因式，故此选项错误；
B、a2+ab+b2，无法运用公式分解因式，故此选项错误；
C、a2+4ab+b2，无法运用公式分解因式，故此选项错误；
D、x2+2x+1＝（x+1）2，正确．
故选：D．
3．解：A、6x2﹣4x＝2x（3x﹣2），3x﹣2与6x2﹣4x有公因式（3x﹣2），故本选项不符合题意；
B、ab﹣ac＝a（b﹣c）与ab﹣bc＝b（a﹣c）没有公因式，故本选项符合题意；
C、2（a﹣b）2与3（b﹣a）3有公因式（a﹣b）2，故本选项不符合题意；
D、mx﹣my＝m（x﹣y），ny﹣nx＝﹣n（x﹣y），mx﹣my与ny﹣nx有公因式（x﹣y），故本选项不符合题意．
故选：B．
4．解：原式＝（a﹣b）y（x2+x+1），
公因式是（a﹣b）y，
故选：B．
5．解：a2+ab+b2＝（a+b）2．
故选：C．
6．解：（1）x2﹣2x﹣1，不符合题意；
（2）﹣x+1＝（﹣1）2，符合题意；
（3）﹣a2﹣b2，不符合题意；
（4）﹣a2+b2＝（b+a）（b﹣a），符合题意；
（5）x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2，符合题意；
（6）m2﹣m+1，不符合题意，
故选：C．
7．解：A、∵a＝1，b＝﹣1，c＝1，
∴△＝1﹣4＝﹣3＜0，本选项不合题意；
B、∵a＝1，b＝﹣2，c＝2，
∴△＝4﹣8＝﹣4＜0，本选项不合题意；
C、∵a＝1，b＝﹣3，c＝3，
∴△＝9﹣12＝﹣3＜0，本选项不合题意；
D、∵a＝1，b＝﹣5，c＝5，
∴△＝25﹣20＝5＞0，本选项符合题意；
故选：D．
8．解：把多项式a2﹣3a﹣2ab+6b分解因式，分组可以为（a2﹣3a）﹣（2ab﹣6b）或（a2﹣3a）+（﹣2ab+6b）或（a2﹣2ab）+（﹣3a+6b），
故选：D．
9．解：∵2x2﹣bx﹣15＝（x﹣3）（2x+5）＝2x2﹣x﹣15，
∴﹣b＝﹣1，
解得：b＝1，
故选：D．
10．解：664﹣1
＝（632+1）（632﹣1）
＝（632+1）（616+1）（616﹣1）
＝（632+1）（616+1）（68+1）（68﹣1）
＝（632+1）（616+1）（68+1）（64+1）（64﹣1）
＝（632+1）（616+1）（68+1）（64+1）（62+1）（62﹣1）
＝（632+1）（616+1）（68+1）（64+1）×37×35．
故选：A．
二．填空题
11．解：m2﹣m＝m（m﹣1）．
故答案为：m（m﹣1）．
12．解：a2﹣16＝（a﹣4）（a+4）．
故答案为：（a﹣4）（a+4）．
13．解：a2b+ab2﹣a﹣b＝ab（a+b）﹣（a+b）＝（ab﹣1）（a+b）
故答案为：（ab﹣1）（a+b）
14．解：3×103﹣104＝103（3﹣10）＝﹣7×103．
15．解：（x﹣3）（x+b）＝x2+（b﹣3）x﹣3b，
∵x2+5x+a＝（x﹣3）（x+b），
∴x2+5x+a＝x2+（b﹣3）x﹣3b，
∴a＝﹣3b，b﹣3＝5，
解得a＝﹣24，b＝8，
所以a+b＝﹣24+8＝﹣16．
故答案为：﹣16．
三．解答题
16．解：（1）4xy﹣2x2y
＝2xy（2﹣x）；
（2）3x3﹣12xy2
＝3x（x2﹣4y2）
＝3x（x+2y）（x﹣2y）；
（3）9x2﹣3x﹣4y2+2y
＝（9x2﹣4y2）﹣（3x﹣2y）
＝（3x+2y）（3x﹣2y）﹣（3x﹣2y）
＝（3x﹣2y）（3x+2y﹣1）；
（4）（x﹣y）2+4xy
＝x2﹣2xy+y2+4xy
＝x2+2xy+y2
＝（x+y）2．
17．解：∵（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝41，
∴（x+y）2+（x﹣y）2＝46，
则x2+2xy+y2+x2﹣2xy+y2＝46，
2（x2+y2）＝46，
故x2+y2＝23，
（x+y）2﹣（x﹣y）2＝﹣36，
则x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2＝﹣36，
故4xy＝﹣36，
则xy＝﹣9，
x3y+xy3＝xy（x2+y2）
＝﹣9×23
＝﹣207．
18．解：△ABC为等边三角形，理由如下：
由2a2+b2+c2＝2ab+2ac得
a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2＝0
∴（a﹣b）2+（a﹣c）2＝0
∵（a﹣b）2≥0，（a﹣c）2≥0
∴a﹣b＝0，a﹣c＝0
∴a＝b，a＝c
∴a＝b＝c
∴△ABC为等边三角形．
19．解：（1）x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2）．
故x+2不是x2+x﹣6的因式；
故答案为：不是．
（2）∵x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1的因式，
∴存在一个整式（3x2+mx﹣1），使得3x4﹣ax2+bx+1＝（x2﹣1）（3x2+mx﹣1），
∴当x＝1时，（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）＝0，则3﹣a+b+1＝0①，
当x＝﹣1时，（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）＝0，则3﹣a﹣b+1＝0②，
联立①②解得a＝4，b＝0．
故常数a的值是4，b的值是0．
20．解：（1）解：（1）等式右边＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2），
＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac），
＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝等式左边．
∴等式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]成立．
（2）原式＝[（2018﹣2019）2+（2019﹣2020）2+（2020﹣2018）2]＝3；
（3）①，b﹣c＝②，
①+②，得a﹣c＝，
将优美的等式变形得：
ab+bc+ac
＝a2+b2+c2﹣[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]
＝1﹣
＝
＝．
一．选择题
1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．a（x﹣y）＝ax﹣ayD．x2+2x+1＝（x+1）2
2．下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．a2+4B．a2+ab+b2C．a2+4ab+b2D．x2+2x+1
3．下列各式中，没有公因式的是（ ）
A．3x﹣2与6x2﹣4xB．ab﹣ac与ab﹣bc
C．2（a﹣b）2与3（b﹣a）3D．mx﹣my与ny﹣nx
4．多项式x2y（a﹣b）﹣xy（b﹣a）+y（a﹣b）提公因式后，另一个因式为（ ）
A．x2﹣x+1B．x2+x+1C．x2﹣x﹣1D．x2+x﹣1
5．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．x2﹣2x﹣1B．（a+b）（a﹣b）﹣4ab
C．a2+ab+b2D．y2+2y﹣1
6．下列多项式能用公式法分解因式的有（ ）
（1）x2﹣2x﹣1；（2）﹣x+1；（3）﹣a2﹣b2；（4）﹣a2+b2；（5）x2﹣4xy+4y2；
（6）m2﹣m+1．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
7．下多项式中，在实数范围内能分解因式的是（ ）
A．x2﹣x+1B．x2﹣2x+2C．x2﹣3x+3D．x2﹣5x+5．
8．把多项式a2﹣3a﹣2ab+6b分解因式，下列分组中不正确的是（ ）
A．（a2﹣3a）﹣（2ab﹣6b）B．（a2﹣3a）+（﹣2ab+6b）
C．（a2﹣2ab）+（﹣3a+6b）D．（a2+6b）﹣（3a+2ab）
9．若2x2﹣bx﹣15＝（x﹣3）（2x+5），则b的值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
10．已知664﹣1能被30﹣40之间的两个整数整除，则这两个整数是（ ）
A．35，37B．35，36C．34，38D．36，37
二．填空题
11．分解因式：m2﹣m＝ ．
12．因式分解a2﹣16的结果是 ．
13．分解因式：a2b+ab2﹣a﹣b＝ ．
14．计算3×103﹣104＝ ．
15．若x2+5x+a＝（x﹣3）（x+b），则a+b＝ ．
三．解答题
16．因式分解：
（1）4xy﹣2x2y （2）3x3﹣12xy2
（3）9x2﹣3x﹣4y2+2y （4）（x﹣y）2+4xy
17．已知：x、y满足：（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝41；求x3y+xy3的值．
18．已知a，b，c是△ABC的三边，且满足2a2+b2+c2＝2ab+2ac，试判断△ABC的形状，并说明理由．
19．先阅读下面的内容，再解决问题．
如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式．
如：①因为36＝4×9，所以4和9是36的因数；
因为x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2），所以x+1和x+2是x2﹣x﹣2的因式．
②若x+1是x2+ax﹣2的因式，则求常数a的值的过程如下：
解：∵x+1是x2+ax﹣2的因式
∴存在一个整式（mx+n），使得x2+ax﹣2＝（x+1）（mx+n）
∴当x＝﹣1时，（x+1）（mx+n）＝0
∴当x＝﹣1时，x2+ax﹣2＝0
∴1﹣a﹣2＝0
∴a＝﹣1
（1）x+2是x2+x﹣6的因式吗？ （填“是”或者“不是”）；
（2）若整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1的因式，求常数a，b的值．
20．利用我们学过的知识，可以得出下面这个形式优美的等式：
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
（1）请你检验这个等式的正确性；
（2）若a＝2018，b＝2019，c＝2020，你能很快求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值吗？
（3）若a﹣b＝，b﹣c＝，a2+b2+c2＝1，求ab+bc+ac的值．
参考答案
一．选择题
1．解：A、（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，从左到右是整式的乘法运算，不合题意；
B、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，不合题意；
C、a（x﹣y）＝ax﹣ay，不合题意；
D、x2+2x+1＝（x+1）2，从左到右是因式分解，符合题意．
故选：D．
2．解：A、a2+4，无法分解因式，故此选项错误；
B、a2+ab+b2，无法运用公式分解因式，故此选项错误；
C、a2+4ab+b2，无法运用公式分解因式，故此选项错误；
D、x2+2x+1＝（x+1）2，正确．
故选：D．
3．解：A、6x2﹣4x＝2x（3x﹣2），3x﹣2与6x2﹣4x有公因式（3x﹣2），故本选项不符合题意；
B、ab﹣ac＝a（b﹣c）与ab﹣bc＝b（a﹣c）没有公因式，故本选项符合题意；
C、2（a﹣b）2与3（b﹣a）3有公因式（a﹣b）2，故本选项不符合题意；
D、mx﹣my＝m（x﹣y），ny﹣nx＝﹣n（x﹣y），mx﹣my与ny﹣nx有公因式（x﹣y），故本选项不符合题意．
故选：B．
4．解：原式＝（a﹣b）y（x2+x+1），
公因式是（a﹣b）y，
故选：B．
5．解：a2+ab+b2＝（a+b）2．
故选：C．
6．解：（1）x2﹣2x﹣1，不符合题意；
（2）﹣x+1＝（﹣1）2，符合题意；
（3）﹣a2﹣b2，不符合题意；
（4）﹣a2+b2＝（b+a）（b﹣a），符合题意；
（5）x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2，符合题意；
（6）m2﹣m+1，不符合题意，
故选：C．
7．解：A、∵a＝1，b＝﹣1，c＝1，
∴△＝1﹣4＝﹣3＜0，本选项不合题意；
B、∵a＝1，b＝﹣2，c＝2，
∴△＝4﹣8＝﹣4＜0，本选项不合题意；
C、∵a＝1，b＝﹣3，c＝3，
∴△＝9﹣12＝﹣3＜0，本选项不合题意；
D、∵a＝1，b＝﹣5，c＝5，
∴△＝25﹣20＝5＞0，本选项符合题意；
故选：D．
8．解：把多项式a2﹣3a﹣2ab+6b分解因式，分组可以为（a2﹣3a）﹣（2ab﹣6b）或（a2﹣3a）+（﹣2ab+6b）或（a2﹣2ab）+（﹣3a+6b），
故选：D．
9．解：∵2x2﹣bx﹣15＝（x﹣3）（2x+5）＝2x2﹣x﹣15，
∴﹣b＝﹣1，
解得：b＝1，
故选：D．
10．解：664﹣1
＝（632+1）（632﹣1）
＝（632+1）（616+1）（616﹣1）
＝（632+1）（616+1）（68+1）（68﹣1）
＝（632+1）（616+1）（68+1）（64+1）（64﹣1）
＝（632+1）（616+1）（68+1）（64+1）（62+1）（62﹣1）
＝（632+1）（616+1）（68+1）（64+1）×37×35．
故选：A．
二．填空题
11．解：m2﹣m＝m（m﹣1）．
故答案为：m（m﹣1）．
12．解：a2﹣16＝（a﹣4）（a+4）．
故答案为：（a﹣4）（a+4）．
13．解：a2b+ab2﹣a﹣b＝ab（a+b）﹣（a+b）＝（ab﹣1）（a+b）
故答案为：（ab﹣1）（a+b）
14．解：3×103﹣104＝103（3﹣10）＝﹣7×103．
15．解：（x﹣3）（x+b）＝x2+（b﹣3）x﹣3b，
∵x2+5x+a＝（x﹣3）（x+b），
∴x2+5x+a＝x2+（b﹣3）x﹣3b，
∴a＝﹣3b，b﹣3＝5，
解得a＝﹣24，b＝8，
所以a+b＝﹣24+8＝﹣16．
故答案为：﹣16．
三．解答题
16．解：（1）4xy﹣2x2y
＝2xy（2﹣x）；
（2）3x3﹣12xy2
＝3x（x2﹣4y2）
＝3x（x+2y）（x﹣2y）；
（3）9x2﹣3x﹣4y2+2y
＝（9x2﹣4y2）﹣（3x﹣2y）
＝（3x+2y）（3x﹣2y）﹣（3x﹣2y）
＝（3x﹣2y）（3x+2y﹣1）；
（4）（x﹣y）2+4xy
＝x2﹣2xy+y2+4xy
＝x2+2xy+y2
＝（x+y）2．
17．解：∵（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝41，
∴（x+y）2+（x﹣y）2＝46，
则x2+2xy+y2+x2﹣2xy+y2＝46，
2（x2+y2）＝46，
故x2+y2＝23，
（x+y）2﹣（x﹣y）2＝﹣36，
则x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2＝﹣36，
故4xy＝﹣36，
则xy＝﹣9，
x3y+xy3＝xy（x2+y2）
＝﹣9×23
＝﹣207．
18．解：△ABC为等边三角形，理由如下：
由2a2+b2+c2＝2ab+2ac得
a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2＝0
∴（a﹣b）2+（a﹣c）2＝0
∵（a﹣b）2≥0，（a﹣c）2≥0
∴a﹣b＝0，a﹣c＝0
∴a＝b，a＝c
∴a＝b＝c
∴△ABC为等边三角形．
19．解：（1）x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2）．
故x+2不是x2+x﹣6的因式；
故答案为：不是．
（2）∵x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1的因式，
∴存在一个整式（3x2+mx﹣1），使得3x4﹣ax2+bx+1＝（x2﹣1）（3x2+mx﹣1），
∴当x＝1时，（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）＝0，则3﹣a+b+1＝0①，
当x＝﹣1时，（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）＝0，则3﹣a﹣b+1＝0②，
联立①②解得a＝4，b＝0．
故常数a的值是4，b的值是0．
20．解：（1）解：（1）等式右边＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2），
＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac），
＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝等式左边．
∴等式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]成立．
（2）原式＝[（2018﹣2019）2+（2019﹣2020）2+（2020﹣2018）2]＝3；
（3）①，b﹣c＝②，
①+②，得a﹣c＝，
将优美的等式变形得：
ab+bc+ac
＝a2+b2+c2﹣[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]
＝1﹣
＝
＝．
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