2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第十一章第一节　直线及直线的方程

第一节　直线及直线的方程

一、直线的斜率及直线方程

1.直线的倾斜角与斜率

(1)直线的倾斜角

①定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.

②范围:倾斜角α的范围为[0°,180°).

(2)直线的斜率

①定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tan α,倾斜角是90°的直线没有斜率. 

②过两点的直线的斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=.

2.直线方程的五种形式

1.概念理解

(1)所有直线都有倾斜角,但并非所有直线都有斜率.其中倾斜角为90°的直线其斜率不存在.

(2)应结合y=tan x在[0,),(,π)上的单调性及图象记忆斜率的变化规律.

2.相关结论

(1)两点间距离公式:设点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=.

(2)点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上⇔Ax0+By0+C=0.

(3)点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0外⇔Ax0+By0+C≠0.

(4)点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离

d=.

(5)两平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离 d=.

二、两直线间的位置关系

1.两直线l1:y=k1x+b1与l2:y=k2x+b2.

l1∥l2⇔l1⊥l2⇔k1·k2=-1;l1与l2相交⇔k1≠k2.

2.两直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0.

l1∥l2⇔l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0;l1与l2相交⇔A1B2-A2B1≠0.

1.理解辨析

(1)直线l1与直线l2的斜率都不存在时,l1∥l2.

(2)直线l1与直线l2有一条斜率不存在,另一条斜率为零时,l1⊥l2.

2.与两直线位置关系相关结论

(1)设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,将这两条直线的方程联立,得方程组

①若方程组有唯一解,则l1与l2相交,此解就是l1,l2交点的坐标;

②若方程组无解,则l1与l2无公共点,此时l1∥l2;

③若方程组有无数组解,则l1与l2重合.

(2)常见直线系方程

①过定点P(x0,y0)的直线系方程:A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0),还可表示为y-y0=k(x-x0)(斜率不存在时可设为x=x0).

②平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程Ax+By+λ=0(λ≠C).

③垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程Bx-Ay+λ=0.

④过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0).

(3)对称问题的相关结论

①点A(x0,y0)关于点P(a,b)的对称点A′(2a-x0,2b-y0).

②点M(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点M′(x′0,y′0)的求法:由MM′⊥l⇔·(-)=-1得x′0,y′0的一个等量关系式,线段MM′的中点在直线l上⇔A()+B()+C=0,联立,求得点(x′0,y′0)的坐标.

③直线l1关于直线l的对称直线l′1的求法步骤:若l1与l相交,第一步求出l1和l的交点M;第二步在l1上找一特殊点,它关于l的对称点N在l′1上,第三步由M,N两点用两点式写出所求l′1的方程.若l1∥l,则l1′∥l,设出l1′方程,使l1′与l1到l距离相等,可求出l1′方程.

④直线l关于点P(a,b)的对称直线l′的求解步骤,第一步,确定两条直线为平行线,若直线l方程为Ax+By+C1=0,则可设l′的方程为Ax+By+C2=0,第二步,利用点P到l的距离等于点P到l′的距离求出C2即得直线l′的方程.

1.xsin 70°+ycos 70°=1倾斜角为(　C　)

(A)20° (B)70° (C)110° (D)-70°

解析:y=-tan 70°x+,k=tan α=-tan 70°,

因为0°≤α<180°,

由tan(180°-θ)=-tan θ知α=110°,故选C.

2.直线2x+2y+1=0,x+y+2=0之间的距离是　　　　. 

解析:先将2x+2y+1=0化为x+y+=0,

则两平行线间的距离为d==.

答案:

3.点A(1,3)关于直线l:y=x+1的对称点的坐标为　　　　. 

解析:设对称点坐标为B(m,n),由AB的中点(,)在直线l上,知=+1,①

而直线AB与l垂直,故它们的斜率互为负倒数,

因此=-1,②

由①②可得m=2,n=2.

答案:(2,2)

4.若A(0,a),B(1,4),C(-a,-2)在同一条直线上,则a=　　　　. 

解析:由三点共线得kAB=kBC,即4-a=,解得a=1或a=2.

答案:1或2

5.若原点在直线上的射影为A(2,-1),则直线的方程为　　　　　　　. 

解析:设所求直线的斜率为k,则依题意有k×kOA=-1,而kOA==-,所以k=2,所以所求直线的方程为 y-(-1)=2(x-2),即2x-y-5=0.

答案:2x-y-5=0

考点一　直线的倾斜角与斜率

[例1] (1)两直线的倾斜角为α1,α2,斜率为k1,k2,则(　　)

(A)若α1<α2,则k1<k2

(B)若α1<α2,则k1>k2

(C)若0<k1<k2,则α1<α2

(D)若k1<k2<0,则α1>α2

(2)已知A(2,0),B(-3,1),若过点P(0,-2)的直线l与线段AB没有公共点,则直线l的斜率的取值范围是　　　　. 

解析:(1)

k=tan α,α∈[0,)∪(,π)的图象如图,

易知当α∈[0,)时,k=tan α递增;

当α∈(,π)时,k=tan α递增;

但是当α1<<α2时,k1>0>k2,故选C.

解析:(2)

如图,由斜率公式知kAP=1,kBP=-1.

当直线l绕P点从PA逆时针旋转到PB时的所有直线与线段AB均有交点,此时斜率k满足k≥1或k≤-1.因此满足条件的直线l的斜率的取值范围为(-1,1).

答案:(1)C　(2)(-1,1)

(1)斜率的求法

①定义法:k=tan α(α≠90°);

②公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),根据斜率公式k=(x1≠x2).

(2)求斜率或倾斜角取值范围时要注意结合图象,从旋转的角度求解.

(3)求倾斜角或斜率问题时应注意

①倾斜角的范围是[0,π);

②函数k=tan α在[0,),(,π)上均为增函数,但在[0,π)上不单调.

坐标平面内有相异两点A(cos θ,sin 2θ),B(0,1),经过两点的直线的倾斜角的取值范围是(　B　)

(A)[-,]         (B)(0,]∪[,π)

(C)[0,]∪[,π) (D)[,]

解析:kAB===-cos θ∈[-1,1],且 kAB≠0.

设直线的倾斜角为α,当0<kAB≤1时,则0<tan α≤1,

所以倾斜角α的范围为0<α≤.

当-1≤kAB<0时,则-1≤tan α<0,所以倾斜角α的范围为≤α<π.故选B.

考点二　直线的方程

[例2] (1)直线l过(1,0),倾斜角是x-2y+1=0倾斜角的2倍,直线l方程为(　　)

(A)y=x-1     (B)y=2x-2

(C)y=x- (D)y=x-1

(2)过两点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线一定可以表示为(　　)

(A)y-y1=(x-x1)

(B)y-y2=(x-x2)

(C)=

(D)(x2-x1)(y-y1)=(x-x1)(y2-y1)

(3)过点(2,-3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为　　　　　　. 

解析:(1)设x-2y+1=0的倾斜角为α,则tan α=,于是直线l的斜率k=tan 2α==,所以直线l的方程为y= (x-1),即y=x-,故选C.

解析:(2)过两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)的直线为=,而当x1=x2或y1=y2时有分母为0,不能用比例式表示,只能用乘积式(x2-x1)(y-y1)=(x-x1)(y2-y1)①,即当x1=x2时,①表示直线x=x1(或x2);当y1=y2时,①表示直线y=y1(或y2).故选D.

解析:(3)若直线过原点,则直线方程为3x+2y=0;

若直线不过原点,则斜率为1,方程为y+3=x-2,即为x-y-5=0,故所求直线方程为3x+2y=0或x-y-5=0.

答案:(1)C　(2)D　(3)3x+2y=0或x-y-5=0

(1)求直线方程的常用方法有:

①直接法:直接求出直线方程中的系数,写出直线方程;

②待定系数法:先根据已知条件设出直线方程,再构造关于系数的方程(组)求系数,最后代入写出直线方程.

(2)求直线方程时,应注意分类讨论思想的应用,如直线的斜率是否存在,直线在两坐标轴的截距是否为0等.

(3)如果没有特别要求,则求出的直线方程应化为一般式Ax+By+C=0,且A≥0.

设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).

(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;

(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.

解:(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距都为零,截距相等,

所以a=2,方程即3x+y=0.

若a≠2,由于截距存在,所以=a-2,

即a+1=1,所以a=0,方程即x+y+2=0.

解:(2)法一　将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,

所以欲使l不经过第二象限,当且仅当

所以a≤-1.所以a的取值范围是(-∞,-1].

法二　将l的方程化为(x+y+2)+a(x-1)=0(a∈R),

它表示过l1:x+y+2=0与l2:x-1=0的交点(1,-3)的直线系(不包括x=1).由图象可知l的斜率-(a+1)≥0时,l不经过第二象限,所以a≤-1.

考点三　两直线的位置关系

[例3] 已知两直线l1:ax+2y+6=0和l2:x+(a-1)y+(a2-1)=0.

(1)若l1⊥l2,求实数a的值;

(2)试判断l1与l2是否平行.

解:法一　(斜截式方程)

(1)由直线l1的方程知其斜率为-,

当a=1时,直线l2的斜率不存在,l1与l2不垂直;

当a≠1时,直线l2的斜率为-.

由-·=-1⇒a=.

故所求实数a的值为.

解:法一(2)由(1)知,当a=1时,l1,l2相交,

当a≠1时,直线l1的斜率为-,

直线l2的斜率为-.

由l1∥l2可得-=-,

解得a=-1或a=2.

当a=2时,l1的方程为x+y+3=0,

l2的方程为x+y+3=0,显然l1与l2重合.

当a=-1时,l1的方程为x-2y-6=0,l2的方程为x-2y=0,显然l1与l2平行.

所以,当a=-1时,l1∥l2;

当a≠-1时,l1与l2不平行.

法二　(一般式方程)

(1)由已知条件得a·1+2·(a-1)=0⇒a=.

故所求实数a的值为.

法二(2)由A1B2-A2B1=0,得a(a-1)-1×2=0,

即a2-a-2=0,解得a=-1或a=2.

当a=-1时,l1的方程为x-2y-6=0,l2的方程为x-2y=0,显然两直线平行.

当a=2时,l1的方程为x+y+3=0,l2的方程为x+y+3=0,显然两直线重合.

所以,当a=-1时,l1∥l2;当a≠-1时,l1与l2不平行.

解决两直线的位置关系问题要根据已知直线方程的形式灵活选用相应的条件,显然该题中直接利用一般式方程对应的条件更为简便.另外利用直线的斜率和截距讨论时,不要忘记斜率不存在时的情况.

已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.

(1)l1⊥l2,且l1过点(-3,-1);

(2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.

解:(1)由已知可得l2的斜率存在,且k2=1-a,

若k2=0,则1-a=0,a=1.

因为l1⊥l2,直线l1的斜率k1必不存在,即b=0.

又因为l1过点(-3,-1),

所以-3a+4=0,即a=(矛盾),

所以此种情况不存在,

所以k2≠0,即k1,k2都存在且不为0.

因为k2=1-a,k1=,l1⊥l2,

所以k1k2=-1,即(1-a)=-1.(*)

又因为l1过点(-3,-1),

所以-3a+b+4=0.(**)

由(*)(**)联立,解得a=2,b=2.

解:(2)因为l2的斜率存在,l1∥l2,

所以直线l1的斜率存在,

k1=k2,即=1-a,①

又因为坐标原点到这两条直线的距离相等,且l1∥l2,

所以l1,l2在y轴上的截距互为相反数,即=b,②

联立①②,解得或

所以a=2,b=-2或a=,b=2.

考点四　对称问题

[例4] 已知直线l:3x-y+3=0,求:

(1)点P(4,5)关于l的对称点;

(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程;

(3)直线l关于点(1,2)的对称直线方程.

解:(1)设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P′(x′,y′),

因为kPP′·kl=-1,即×3=-1.①

又PP′的中点在直线3x-y+3=0上,

所以3×-+3=0.②

由①②得

把x=4,y=5代入③④得x′=-2,y′=7,

所以点P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(-2,7).

解:(2)用③④分别代换x-y-2=0中的x,y,

得关于l对称的直线方程为

--2=0,

化简得7x+y+22=0.

解:(3)在直线l:3x-y+3=0上取点M(0,3),

关于点(1,2)的对称点M′(x′,y′),

所以=1,x′=2, =2,y′=1,所以M′(2,1).

l关于点(1,2)的对称直线平行于l,所以k=3,

所以对称直线方程为y-1=3×(x-2),

即3x-y-5=0.

解决对称问题的方法

(1)中心对称

①点P(x,y)关于Q(a,b)的对称点P′(x′,y′)满足

②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.

(2)轴对称

①点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0(B≠0)的对称点A′(m,n),则有

②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.

在△ABC中,已知A(3,-1),∠B的平分线BD所在的直线方程是x-3y+6=0,AB边上的中线CE所在的直线方程是x+y-8=0,求点B的坐标和边BC所在的直线方程.

解:设B点坐标为(x,y),因为E是AB中点,

所以E(,).

因为CE所在直线方程为x+y-8=0,

所以+-8=0,即x+y-14=0①

而BD所在直线方程为x-3y+6=0②

联立方程①②可得

所以B点坐标为(9,5)

因为BD是∠B的平分线,所以点A(3,-1)关于BD所在直线的对称点A′在BC所在直线上.设A′(x′,y′),

则有

解得

所以A′(,).

则BC所在直线方程等价于BA′所在直线方程x+7y-44=0.

考点五　直线方程的应用

[例5] 已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P(2,3),求过两点Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)(a1≠a2)的直线方程.

解:因为点P(2,3)在已知直线上,

所以2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0,

所以2(a1-a2)+3(b1-b2)=0,

即=-,

所以所求直线方程为y-b1=-(x-a1).

所以2x+3y-(2a1+3b1)=0,

即2x+3y+1=0.

直线l的方程中除去x,y还有其他字母(称为参数),若直线l过一个定点P,求定点P的坐标时,通常对参数分别取两个具体的值,将所得的两个方程联立得方程组,由方程组的解可得定点P的坐标.

已知点A(2,4),B(6,-4),点P在直线3x-4y+3=0上,若满足PA2+PB2=λ的点P有且仅有1个,求实数λ的值.

解:设点P的坐标为(a,b),

因为A(2,4),B(6,-4),

所以PA2+PB2=[(a-2)2+(b-4)2]+[(a-6)2+(b+4)2]=λ,

即2a2+2b2-16a+72=λ,

又因为P在直线3x-4y+3=0上,

所以3a-4b+3=0,

所以b2-b+90=λ,

又因为满足PA2+PB2=λ的点P有且仅有1个,

所以Δ=(-)2-4××(90-λ)=0,

即λ=58.