2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第十二章第一节　椭圆的方程及性质

第一节　椭圆的方程及性质

一、椭圆的定义

平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

1.概念理解

(1)|MF1|+|MF2|=2a>|F1F2|=2c⇒动点M轨迹为椭圆.

(2)|MF1|+|MF2|=2a=|F1F2|=2c⇒动点M轨迹为线段.

(3)|MF1|+|MF2|=2a<|F1F2|=2c⇒动点M轨迹不存在.

2.相关结论

焦点三角形:

以椭圆+=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)(y0≠0)和焦点F1(-c,0),F2(c,0)为顶点的三角形PF1F2称为焦点三角形.

①焦点三角形PF1F2的周长|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c.

②焦点三角形PF1F2的面积S=|PF1|·|PF2|sin α(其中α=∠F1PF2).

③|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2.

二、椭圆的标准方程及其简单几何性质

1.概念理解

(1)给出椭圆的标准方程,可根据x2,y2项分母的大小确定a2和b2的值及焦点的位置,平方项中分母大的为a2,并且焦点所在的坐标轴名称与该项变量相同,即焦点在长轴上,如+=1中,y2项的分母大,所以a2=4,b2=3,且焦点在y轴上.

(2)椭圆中a2,b2与c2的关系b2=a2-c2是椭圆固有的性质,不会因椭圆的位置变化而变化.

(3)椭圆的离心率e反映椭圆的扁平程度,e∈(0,1),e==,变形为=,a,b,c,e这四个量之间的关系要记准,解题中经常用到.

(4)焦点在y轴上的方程及所有性质,都是焦点在x轴上的内容中的x,y互换得到的.

2.与椭圆的方程及几何性质相关的结论

(1)点M(x0,y0)与+=1的关系:

点M在椭圆上:+=1,

点M在椭圆内:+<1,

点M在椭圆外:+>1.

(2)共焦点的椭圆方程的设法:+=1,其中a2>b2>k.

(3)共离心率的椭圆方程的设法:+=k, 其中k>0.

1.已知方程+=1表示椭圆,则m的取值范围为(　D　)

(A)(-3,5) (B)(-3,1)

(C)(1,5) (D)(-3,1)∪(1,5)

解析:方程表示椭圆的条件为

解得m∈(-3,1)∪(1,5).故选D.

2.椭圆+=1的焦距为4,则m等于(　C　)

(A)4 (B)8

(C)4或8 (D)12

解析:当焦点在x轴上时,10-m>m-2>0,

10-m-(m-2)=4,所以m=4.

当焦点在y轴上时,m-2>10-m>0,m-2-(10-m)=4,

所以m=8.所以m=4或8.故选C.

3.(2019·北京卷)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则(　B　)

(A)a2=2b2 (B)3a2=4b2

(C)a=2b (D)3a=4b

解析:因为椭圆的离心率e==,

所以a2=4c2.

又a2=b2+c2,

所以3a2=4b2.故选B.

4.椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过(0,5)与椭圆交于A,B,则△ABF2周长的最大值为　　　　. 

解析:△ABF2周长=|AB|+|AF2|+|BF2|≤|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=20.

答案:20

5.椭圆+=1的左、右顶点分别为A,B,P是椭圆上异于A,B的一点,设PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1k2=　　　　. 

解析:设P(x,y),

则k1k2=·===-.

答案:-

考点一　椭圆的定义及应用

[例1] (1)已知动圆M过定点A(-3,0)并且与定圆B:(x-3)2+y2=64相切,则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)

(A)+=1 (B)+=1

(C)-=1 (D)-=1

(2)以A(-1,0),B(1,0)为焦点,经过x-y+3=0上一点的椭圆中,长轴最短的椭圆方程为　　　　　　　. 

解析:(1)因为点A在圆B内,

所以过点A的圆与圆B只能内切,

因为B(3,0),

所以|AB|=6.

所以|BM|=8-|MA|,即|MB|+|MA|=8>|AB|,

所以动点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,

设其方程为+=1,得a=4,c=3,b2=7,

所以方程为+=1.故选A.

解析:(2)A(-1,0)关于直线x-y+3=0的对称点为A′(-3,2),

2a=|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|=2,

所以长轴最短为2,此时椭圆方程为+=1.

答案:(1)A　答案:(2)+=1

椭圆定义的应用主要有两个方面:一是利用定义求椭圆的标准方程,二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的离心率等.

考点二　求椭圆的标准方程

[例2] (1)求过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程;

(2)椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率e=,且过点(2,1),求椭圆方程.

解:(1)法一　椭圆+=1的焦点为(0,-4),(0,4),

即c=4.

由椭圆的定义知,

2a=+,

解得a=2.

由c2=a2-b2可得b2=4.

所以所求椭圆的标准方程为+=1.

法二　设所求椭圆方程为+=1(k<9),

将点(,-)的坐标代入可得+=1,

解得k=5(k=21舍去),

所以所求椭圆的标准方程为+=1.

解:(2)因为e=,所以a=2b.

当焦点在x轴上时,设椭圆方程为+=b2,(2,1)代入得b2=2,此时标准方程为+=1.

当焦点在y轴上时,设椭圆方程为+=b2,(2,1)代入得b2=,此时标准方程为+=1.

(1)求椭圆标准方程,常用待定系数法,解题时常依据条件确定焦点所在坐标轴,设出椭圆标准方程,建立关于a,b的等量关系式,因椭圆标准方程中有两个未知量,所以需建立两个等量关系式进行求解,这一过程概括为“先定式,后定量”.

(2)对于共焦点的椭圆方程问题,既可以利用定义法根据已知的焦距求解,也可以利用待定系数法把与椭圆+=1(m2≠n2)共焦点的椭圆设为+=1(k<m2,k<n2)来求解.

(3)对于已知椭圆离心率求方程的问题,可以用c来表示a,b,从而设出方程,利用待定系数法求解.若所求椭圆与椭圆+=1(a>b>0)有相同的离心率,则可设为+=k1(k1>0,焦点在x轴上)或+=k2(k2>0,焦点在y轴上).

(4)把题目中关于直线、曲线的相互位置关系、等量关系转化为关于a,b,c,e的等量关系,结合b2=a2-c2,e=这些等量关系,求得a,b的值,是求椭圆方程的一般思路.

1.如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-2,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆C的方程为(　B　)

(A)+ =1 (B)+=1

(C)+=1 (D)+=1

解析:

设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),焦距为2c,右焦点为F′,

连接PF′,如图所示.

因为F(-2,0)为C的左焦点,

所以c=2.

由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠FPF′=90°,

即FP⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理,

得|PF′|===8.

由椭圆定义,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,

所以a=6,a2=36,

于是b2=a2-c2=36-(2)2=16,

所以椭圆C的方程为+=1.故选B.

2.设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,求椭圆E的方程.

解:设F1(-c,0),F2(c,0),依据题意可得

a2-b2=1-b2=c2,

所以b2=1-c2.

因为AF2⊥x轴,

所以将x=c代入椭圆E的方程,得

|AF2|==b2,

所以A(c,±b2).

因为|AF1|=3|F1B|,

所以=3.

设B(x0,y0),根据椭圆的对称性不妨取A(c,b2).

因为=(-2c,-b2),=(x0+c,y0),

所以(-2c,-b2)=3(x0+c,y0),

所以

解得

则B(-,-),代入椭圆E的方程,

得(-)2+=1,

所以+=1,解得c2=,

所以b2=1-c2=,

所以椭圆E的方程为x2+=1.

考点三　椭圆的几何性质及应用

[例3] (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知F1,F2是椭圆C: +=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P= 120°,则C的离心率为(　　)

(A) (B) (C) (D)

(2)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且∠F1PF2=60°.若△F1PF2的面积为3,则b=　　　　　. 

解析:(1)

由题意可得椭圆的焦点在x轴上,如图所示,

设|F1F2|=2c,

因为△PF1F2为等腰三角形,

且∠F1F2P=120°,

所以|PF2|=|F1F2|=2c,

因为|OF2|=c,

所以点P坐标为(c+2ccos 60°,2csin 60°),

即点P(2c,c),

因为点P在过点A且斜率为的直线上,

所以=,

解得=,

所以e=,故选D.

解析:(2)法一　设|PF1|=r1,|PF2|=r2,

因为△F1PF2的面积为3,∠F1PF2=60°,

所以=|PF1||PF2|·sin ∠F1PF2=r1r2=3,

所以r1r2=12.根据余弦定理,可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos ∠F1PF2=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|,

即4c2=4a2-3r1r2,

所以4b2=3r1r2=36,解得b=3.

法二　因为=b2tan=b2tan 30°=b2=3,

所以b=3.

答案:(1)D　(2)3

(1)与几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使不画出图形,思考时也要联想到图形.理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系,深挖出它们之间的联系,求解自然就不难了.

(2)椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方程:

①求出a,c,代入公式e=;

②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为关于a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).

如图所示,已知F1,F2是椭圆C:

+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q,且点Q为线段PF2的中点,则椭圆C的离心率为　　　　　. 

解析:连接OQ,PF1(图略),则|OQ|=b,|PF1|=2b,

|PF2|=2|QF2|=2,

由|PF1|+|PF2|=2a,

可知2b+2=2a,

化简可得1-=,解得e=.

答案:

考点四　易错辨析

[例4] (1)设e是椭圆+=1的离心率,且e∈(,1),则实数k的取值范围是(　　)

(A)(0,3)            (B)(3,)

(C)(0,3)∪(,+∞) (D)(0,2)

(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为和,过P作长轴的垂线恰好经过椭圆的一个焦点,求此椭圆的方程.

(1)解析:当4>k>0时,e==∈(,1),

即<<1⇒1<4-k<4,

即0<k<3;

当4<k时,e==∈(,1),

即<<1⇒<1-<1⇒>>0⇒k>.

故选C.

(2)解:法一　设椭圆的标准方程是+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0),两个焦点分别为F1,F2.

由题意知2a=|PF1|+|PF2|=2,

所以a=.

在方程+=1(a>b>0)中,

令x=±c,得|y|=.

在方程+=1(a>b>0)中,令y=±c,得|x|=.

依题意得=,b2=.

即椭圆的方程为+=1或+=1.

法二　设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,

且|PF1|=,|PF2|=,

则由椭圆的定义知2a=|PF1|+|PF2|=2,

所以a=.

由|PF1|>|PF2|知,PF2垂直于长轴.

故在Rt△PF2F1中,4c2=|PF1|2-|PF2|2=,

所以c2=,b2=a2-c2=,

故椭圆的方程为+=1或+=1.

涉及含参数的椭圆标准方程,需要考虑x2,y2项的分母的大小,以确定焦点所在坐标轴,常见错误是只考虑一种情况忽略另一种情况.

温馨提醒:(1)涉及椭圆标准方程问题,需考虑“定式”与“定量”两个方面.定式即确定焦点所在的坐标轴,它决定x2与y2项分母的大小,定量是利用已知条件求a2,b2的值.

(2)牢记“先定式,后定量”这一处理问题的顺序.

1.在平面直角坐标系xOy中,P是椭圆+=1上的一个动点,点A(1,1),B(0,-1),则|PA|+|PB|的最大值为(　D　)

(A)2 (B)3 (C)4 (D)5

解析:

因为椭圆方程为+=1,

所以焦点坐标为B(0,-1)和B′(0,1),

连接PB′,AB′,根据椭圆的定义,

得|PB|+|PB′|=2a=4,

可得|PB|=4-|PB′|,

因此|PA|+|PB|=|PA|+(4-|PB′|)

=4+(|PA|-|PB′|).

因为|PA|-|PB′|≤|AB′|,

所以|PA|+|PB|≤4+|AB′|=4+1=5.

当且仅当点P在AB′延长线上时,等号成立.

综上所述,可得|PA|+|PB|的最大值为5.

2.长轴长为6,焦距为4的椭圆的标准方程为　. 

解析:因为2a=6,2c=4,所以a=3,c=2.

b2=a2-c2=9-4=5,

所以椭圆的标准方程为+=1或+=1.

答案:+=1或+=1

类型一　椭圆的定义及应用

1.若椭圆C:+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且|PF1|=4,则∠F1PF2等于(　C　)

(A)30° (B)60° (C)120° (D)150°

解析:由题意知a=3,c=,所以|PF2|=2,

在△F2PF1中,

由余弦定理可得cos∠F1PF2==-,

又因为∠F1PF2∈(0°,180°),

所以∠F1PF2=120°.故选C.

2.设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=4∶3,则△PF1F2的面积为(　C　)

(A)30 (B)25 (C)24 (D)40

解析:因为|PF1|+|PF2|=14,|PF1|∶|PF2|=4∶3,

所以|PF1|=8,|PF2|=6,

又因为|F1F2|=10,所以PF1⊥PF2;

=|PF1|·|PF2|

=×8×6=24.

故选C.

3.已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=　　　　　. 

解析:由椭圆C:+=1,得a=3.设MN的中点为P,椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,连接PF1,PF2.①当点A,B都不在直线MN上时,

因为F1,F2分别是AM,BM的中点,

所以PF1,PF2分别是△AMN,△MNB的中位线,

所以|AN|=2|PF1|,|BN|=2|PF2|,

所以|AN|+|BN|=2|PF1|+2|PF2|=2(|PF1|+|PF2|)=4a=12.②当点A,B中有一点在直线MN上时,同理可得|AN|+|BN|=12.

答案:12

4.椭圆+=1(a>b>0)左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,过F2作∠F1PF2外角平分线的垂线,垂足为M,则M的轨迹方程为　　　　　　　　. 

解析:延长F2M交F1P延长线于Q,

则|PQ|=|PF2|,

所以M为F2Q的中点.

所以|OM|=|F1Q|=a,

所以M的轨迹方程为x2+y2=a2.

答案:x2+y2=a2

类型二　求椭圆的标准方程

5.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为(　C　)

(A)+y2=1 (B)+=1

(C)+=1 (D)+=1

解析:设椭圆的方程为+=1(a>b>0),

由题意知=,

又c2=a2-b2=1,

解得a=2或a=-(舍去),b2=3,

故椭圆的方程为+=1.故选C.

6.(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为(　B　)

(A)+y2=1 (B)+=1

(C)+=1 (D)+ =1

解析:不妨设|F2B|=m,

故|F1B|=|AB|=|AF2|+|F2B|=3|F2B|=3m.

由椭圆定义得|F1B|+|F2B|=2a=4m,

故|F2B|=a,|BF1|=a,|AF2|=a,|AF1|=2a-|AF2|=a.

在△AF1F2和△BF1F2中,分别可得:

由二角互补可得=-,解得a2=3,

故b2=2,方程为+=1.故选B.

7.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为F2,点M在圆x2+y2=b2上,且M在第一象限,过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P,Q两点.若△PF2Q的周长为4,则椭圆C的方程为　　　　　　　　. 

解析:

椭圆的离心率为,则a=2c,b=c,

设P(x1,y1),Q(x2,y2),

所以|PF2|2=(x1-c)2+

=(x1-4c)2,

所以|PF2|=2c-x1,

连接OM,OP,由相切条件知:

|PM|2=|OP|2-|OM|2=+-3c2=,

所以|PM|=x1,

所以|PF2|+|PM|=2c,

同理可求|QF2|+|QM|=2c,

所以|F2P|+|F2Q|+|PQ|=4c.

因为△PF2Q的周长为4,

所以c=1,

所以a=2,b=,

所以椭圆C的方程为+=1.

答案:+=1

类型三　椭圆的几何性质

8.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右两焦点分别为F1,F2,点A在椭圆上,·=0,∠F1AF2=45°,则椭圆的离心率e等于(　B　)

(A) (B)-1 (C)-1 (D)

解析:由·=0得AF1⊥F1F2,

又∠F1AF2=45°,

所以|AF1|=|F1F2|,

即=2c,

整理得c2+2ac-a2=0,

所以e2+2e-1=0,e=-1.故选B.

9.椭圆+=1上有两点P,Q,O为坐标原点,若OP,OQ斜率之积为-,则|OP|2+|OQ|2等于(　C　)

(A)4 (B)64 (C)20 (D)不确定

解析:设P(x1,y1),Q(x2,y2),

所以=-,

即=,(*)

因为椭圆方程为+=1,

所以=4-,=4-,

代入(*)式整理可得+=16,

所以|OP|2+|OQ|2=+++=20.故选C.

10.如图,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆C上一点,点M在PF1上,且满足=2,PO⊥F2M,O为坐标原点,则椭圆C的离心率的取值范围为　　　　　　　. 

解析:

过点O作ON∥F2M交PF1于点N,OP与MF2交于点Q,

因为O为F1F2中点,

所以N为MF1的中点,

又=2,

所以M为PN中点,进而有Q为OP的中点,

又因为PO⊥F2M,

所以OF2=PF2=c,

又a-c<PF2<a+c,

所以a-c<c<a+c,

即>,

所以离心率e∈(,1).

答案:(,1)