2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第十一章第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系(二)

第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系(二)

一、直线与圆的位置关系

已知直线l:Ax+By+C=0,圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).

1.概念理解

过定点A作已知圆的切线,可得到的有关切线的条数:

(1)当点A在圆内时,无切线;

(2)当点A在圆上时,有且只有一条切线;

(3)当点A在圆外时,有两条切线.

2.与直线与圆位置关系相关的结论

(1)当直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)相交时,经过它们交点的圆都可以用方程x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0表示,称这个方程是过直线和圆交点的圆系方程.

(2)过圆上一点的切线方程

①与圆x2+y2=r2相切于点(x1,y1)的切线方程是x1x+y1y=r2,

②与圆(x-a)2+(y-b)2=r2相切于点(x1,y1)的切线方程是(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=r2.

二、圆与圆的位置关系

1.几何法:设圆C1:(x-a)2+(y-b)2=,圆C2:(x-m)2+(y-n)2= (r1>0,r2>0),圆心距用d表示,则两圆的位置关系如下:

2.代数法:联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:

1.概念理解

两圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切和内含,判断两圆的位置关系一般用几何法,因代数法判断时,有时得不到确切的位置关系,如两圆组成的方程组仅有一解时有内切和外切两种关系,具体是哪一种,用代数法是无法判断的.

2.相关结论

(1)两圆相切时常用的性质有:

①设两圆的圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,则两圆相切

②两圆相切时,两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时,两圆圆心的连线垂直平分公共弦).

在解题过程中应用这些性质,能大大简化运算.

(2)求两圆公共弦方程的前提条件是两圆相交,只要使x2,y2的系数对应相等,两圆方程作差即得到公共弦所在的直线方程.

(3)一般地,过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆的方程可设为:λ1(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ2(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,λ1+λ2≠0.

(4)直线与圆的方程的应用涉及两方面

①实际应用问题,多通过建系利用坐标法来解决.

②与圆有关的最值问题,可借助图形性质,利用数形结合求解,一般地:

a.形如u=形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;

b.形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;

c.形如t=(x-m)2+(y-n)2的最值问题,可转化为动点(x,y)与定点(m,n)距离平方的最值问题.

1.直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是(　A　)

(A)相交 (B)相切 

(C)相离 (D)相切或相交

解析:圆心到直线的距离d==1<4,所以相交.故选A.

2.圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有(　C　)

(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个

解析:因为圆x2+2x+y2+4y-3=0的圆心为(-1,-2),半径为2,圆心到直线的距离为=,因此圆上到直线x+y+1=0的距离为的点共有2个.故选C.

3.半径为1的圆C与(x+1)2+(y-2)2=9相切,则圆C的圆心轨迹为(　A　)

(A)两个圆 (B)一个圆

(C)两个点 (D)一个点

解析:若两圆外切,则C与(-1,2)的距离为4,在一个圆上;若两圆内切,则C与(-1,2)的距离为2,在一个圆上.

故选A.

4.若直线y=mx+1与圆C:x2+y2+2x+2y=0相交于A,B两点,且AC⊥BC,则m等于(　A　)

(A) (B)-1 (C)- (D)

解析:圆C:(x+1)2+(y+1)2=2,

因为AC⊥BC,所以圆心C到直线的距离为1,

则=1,解得m=.故选A.

5.如果圆C:x2+y2-2ax-2ay+2a2-4=0与圆O:x2+y2=4总相交,那么实数a的取值范围是　　　　. 

解析:圆C的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=4,圆心坐标为(a,a),半径为2.

依题意得0<<2+2,

所以0<|a|<2.

所以a∈(-2,0)∪(0,2).

答案:(-2,0)∪(0,2)

考点一　直线与圆的位置关系

[例1] 已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x-1被该圆所截得的弦长为2,则圆C的标准方程为　　　　　　　　. 

解析:由题意,设圆心坐标为(a,0),则由直线l:y=x-1被该圆所截得的弦长为2,得()2+2=(a-1)2,

解得a=3或-1.又因为圆心在x轴的正半轴上,a>0,

所以a=3,故圆心坐标为(3,0),

又已知圆C过点(1,0),所以所求圆的半径为2,

故圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4.

答案:(x-3)2+y2=4

(1)用几何法求圆的弦长:设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为l,则()2=r2-d2.

(2)求过一点的圆的切线方程时,首先要判断此点与圆的位置关系,若点在圆内,无切线;若点在圆上,有一条切线;若点在圆外,有两条切线.

在平面直角坐标系xOy中,若直线y=k(x-3)上存在一点P,圆x2+(y-1)2=1上存在一点Q,满足=3,则实数k的最小值为　　　　　　. 

解析:设P(x,y),所以Q(,),所以()2+(-1)2=1,x2+(y-3)2=9,

因此≤3,

所以-≤k≤0,即实数k的最小值为-.

答案:-

考点二　圆与圆的位置关系

[例2] 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).

(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;

(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;

(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得+=,求实数t的取值范围.

解:圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,

所以圆心M(6,7),半径为5.

(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切、与圆M外切,

所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.

因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.

解:(2)

因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2.

设直线l的方程为y=2x+m,

即2x-y+m=0.

则圆心M到直线l的距离

d==.

因为BC=OA==2,而MC2=d2+()2,

所以25=+5,解得m=5或m=-15,

故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.

解:(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).

因为A(2,4),T(t,0),+=,

所以①

因为点Q在圆M上,

所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.②

将①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.

于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,

从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,

所以5-5≤≤5+5,

解得2-2≤t≤2+2.

因此,实数t的取值范围是[2-2,2+2].

判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.

已知圆O:x2+y2=4与圆B:(x+2)2+(y-2)2=4.

(1)求两圆的公共弦长;

(2)过平面上一点Q(x0,y0)向圆O和圆B各引一条切线,切点分别为C,D,设=2,求证:平面上存在一定点M使得Q到M的距离为定值,并求出该定值.

(1)解:由

相减得两圆的公共弦所在直线方程为l:x-y+2=0,

设(0,0)到l的距离为d,则d==,

所以公共弦长为2×=2,

所以公共弦长为2.

(2)证明:由题设得=2,

化简得:+-x0+y0-=0配方得+(y0+)2=.

所以存在定点M(,-)使得Q到M的距离为定值,且该定值为.

考点三　利用圆系的方程解题

[例3] 已知圆C1:x2+y2+2x+2y-8=0与圆C2:x2+y2-2x+10y-24=0相交于A,B两点,

(1)求公共弦AB所在的直线方程;

(2)求圆心在直线y=-x上,且经过A,B两点的圆的方程.

解:(1)由题圆C1,圆C2相交,

由

两式作差可得直线AB的方程为x-2y+4=0.

解:(2)设所求圆的方程为x2+y2+2x+2y-8+λ(x2+y2-2x+10y-24)=0,

即x2+y2+x+y-=0,

圆心坐标为(,-),其在直线y=-x上,

所以-=0,解得λ=-,

代入可得所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.

具有某种共同性质的圆的集合,称为圆系.

(1)同心圆系的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,x0,y0为常数,r为参数.

(2)过两个已知圆fi(x,y)=x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0(i=1,2)的交点的圆系方程为

x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,

即f1(x,y)+λf2(x,y)=0(λ≠-1).

(3)过直线与圆交点的圆系方程.

设直线l:Ax+By+C=0与圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0相交,则方程x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0表示过直线l与圆C的两个交点的圆系方程.

已知直线l:4x-3y+1=0与圆C:x2+y2-3x+3y+2=0,求过l与C的交点且圆心在直线x-2y+3=0上的圆的方程.

解:设所求圆的方程为x2+y2-3x+3y+2+t(4x-3y+1)=0,

即x2+y2+(4t-3)x+3(1-t)y+2+t=0,

则其圆心为(,)在直线x-2y+3=0上,

所以-2×+3=0,得t=,

所以所求圆的方程为2x2+2y2+6x-3y+7=0.

考点四　易错辨析

[例4] 求半径为4,与圆A:x2+y2-4x-2y-4=0相切,且和直线y=0相切的圆的方程.

解:由题意,设所求圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=16,因为圆C与直线y=0相切,且半径为4,故b=±4,所以圆心坐标为C(a,4)或C(a,-4).又已知圆A的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=9,圆心坐标为A(2,1),半径为3.若两圆相切,则|CA|=4+3=7或|CA|=4-3=1.

(1)当取C(a,4)时,(a-2)2+(4-1)2=72解得a=2±2,或(a-2)2+(4-1)2=12(无解),

此时圆的方程为(x-2-2)2+(y-4)2=16或(x-2+2)2+(y-4)2=16.

(2)当取C(a,-4)时,(a-2)2+(-4-1)2=72解得a=2±2,或(a-2)2+(-4-1)2=12(无解),此时圆的方程为(x-2-2)2+(y+4)2=16或(x-2+2)2+(y+4)2=16.

综上,所求圆的方程为(x-2-2)2+(y-4)2=16或(x-2+2)2+(y-4)2=16或(x-2-2)2+(y+4)2=16或(x-2+2)2+(y+4)2=16.

本例的一种常见错误是由于思维定势,想当然地认为两圆外切只考虑|CA|=4+3=7,遗漏了|CA|=4-3=1的情况,本例另一种常见错误是忽略圆心在x轴下方的情况从而导致所求方程个数丢失一半.

防范措施:(1)涉及两圆相切的情况,要分清是内切还是外切,切莫将外切等同于相切,以免出现知识性错误.

(2)可通过作图观察有哪些情况,以避免遗漏某些情形.