2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第十一章第三节　直线与圆、圆与圆的位置关系(一)

第三节　直线与圆、圆与圆的位置关系(一)

一、直线与圆的位置关系

把直线的方程与圆的方程组成的方程组转化为一元二次方程,其判别式为Δ,设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r.位置关系列表如表:

二、直线被圆截得弦长的求法

1.几何法:圆的弦长的计算常用弦心距d、弦长一半l及圆的半径r所构成的直角三角形来解,即=.

2.代数法:即利用根与系数的关系及弦长公式.

|AB|=|xA-xB|

=.

说明:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.

1.概念理解

判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法,若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达式较繁琐,则用代数法,能用几何法,尽量不用代数法.

2.相关结论

(1)圆中弦长的求法

①用弦长公式|AB|=|x1-x2|=

=·|y1-y2|;②用垂径定理和勾股定理,在半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形中有=.

(2)圆的切线的求法

①点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,设出切线(分k存在与否),利用圆心到切线的距离等于半径列出方程;②点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上时,切线方程为x·x0+y·y0=r2.

(3)圆的直径式方程:以线段AB(A(x1,y1),B(x2,y2))为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.

1.圆(x-2)2+y2=1与直线3x+4y+2=0的位置关系是(　C　)

(A)相交 (B)相切

(C)相离 (D)以上三种情况

解析:圆(x-2)2+y2=1的圆心坐标是(2,0),半径是r=1,因为圆心(2,0)到直线3x+4y+2=0的距离d==,满足d>r,所以圆(x-2)2+y2=1与直线3x+4y+2=0的位置关系是相离,

故选C.

2.“k=”是“直线l:y=k(x+2)与圆x2+y2=1相切”的(　A　)

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

解析:因为直线l:y=k(x+2)与圆x2+y2=1相切,

所以=1,所以k=±.

所以“k=”是“直线l:y=k(x+2)与圆x2+y2=1相切”的充分不必要条件.

故选A.

3.圆(x+2)2+(y-3)2=9上到直线x+y=0的距离等于2的点有(　A　)

(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个

解析:圆的圆心为(-2,3),半径为3,

圆心到直线的距离d==,

可知2-<3,2+<3,

由图可知,圆上到直线距离等于2的点共有4个.

故选A.

4.已知圆C的圆心在x轴上,半径长是,且与直线x-2y=0相切,那么圆C的方程是　　　　　　　　　　　　. 

解析:设圆心C(a,0),

因为圆心在x轴上,半径为的圆C与直线x-2y=0相切,

所以圆心到直线x-2y=0的距离为=,

所以a=±5,

所以圆C的方程为(x-5)2+y2=5或(x+5)2+y2=5

答案:(x-5)2+y2=5或(x+5)2+y2=5

5.点P(x,y)在圆x2+y2=1上运动,若a为常数,且|x+3y+a|+|x+3y-4|的值是与点P的位置无关的常数,则实数a的取值范围是　　　　　. 

解析:由题设有对圆上的任意的点P(x,y),总有(x+3y+a)(x+3y-4)≤0,而圆x2+y2=1始终在直线x+3y-4=0的下方,所以x+3y-4<0,也就是x+3y+a≥0,故圆x2+y2=1应该在直线x+3y-a=0的上方(可以相切),故解得a≥.

答案:[,+∞)

考点一　直线与圆的位置关系

[例1] (1)在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长等于(　　)

(A)3 (B) (C)2 (D)1

(2)已知直线l:xcos α+ysin α=1(α∈R)与圆C:x2+y2=r2(r>0)相交,则r的取值范围是(　　)

(A)0<r≤1 (B)0<r<1

(C)r≥1 (D)r>1

(3)一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射,到达圆C:(x-3)2+(y-2)2=1上一点的最短路程是　　　　; 

(4)圆 x2+y2=4上的点到直线4x+3y-12=0的最小距离是　　　　　. 

解析:(1)由题意可得,圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离d==1,

则由圆的性质可得,()2=r2-d2=3,

即AB=2,故选C.

 (2)圆心到直线的距离为d==1,故r>1,故选D.

 (3)根据反射角等于入射角原理,可以得到所求最短路程是点A关于x轴的对称点到圆心的距离减去半径,点A关于x轴的对称点为(-1,-1),它到圆心的距离为=5,所以所求最短路程为5-1=4.

解析:(4)易知该直线与圆相离,圆心到直线的距离为=,所以圆上的点到直线的最小距离是-2=.

答案:(1)C　(2)D　(3)4　答案:(4)

[例2] 设A(1,0),B(0,1),直线l:y=ax,圆C:(x-a)2+y2=1.若圆C与线段AB和直线l都有公共点,则实数a的取值范围是　　　　　　　　. 

解析:首先圆C:(x-a)2+y2=1与线段x+y=1(0≤x≤1)有公共点,往右最多移至过(1,0),此时a=2,往左最多移至与x+y=1(0≤x≤1)相切,此时由=1得a=1-,所以a首先要满足1-≤a≤2.

其次,圆C:(x-a)2+y2=1与直线l:y=ax有公共点,所以≤1,得-≤a≤.综上,实数a的取值范围是[1-,].

答案:[1-,]

判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表示,则用几何法,利用d与r的关系;若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表示较繁琐,则用代数法,联立方程后利用Δ判断.

当正实数m变化时,斜率不为0的定直线l始终与圆(x-2m)2+(y+m)2=m2相切,则直线的方程为　　　　　　. 

解析:l:y=kx+b,则=m,

即(3k2+4k)m2+2b(2k+1)m+b2=0,

因为该等式对任意m>0成立,

故3k2+4k=0,2b(2k+1)=0,b2=0,

即k=-,b=0,则直线的方程为y=-x.

答案:y=-x

考点二　直线与圆相交的弦长问题

[例3] 已知点P(0,5)及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0.

(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4,求l的方程;

(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.

解:(1)法一　圆C的标准方程为

(x+2)2+(y-6)2=16,

圆心C(-2,6),

半径r=4.

如图所示,|AB|=4,|AC|=4,设D是线段AB的中点,

则CD⊥AB,|AD|=2,

在Rt△ACD中,可得|CD|=2.

当直线l的斜率存在时,设所求直线l的斜率为k,

则直线l的方程为y-5=kx,

即kx-y+5=0,

由点到直线的距离公式得=2,

得k=,

此时直线l的方程为3x-4y+20=0.

又直线l的斜率不存在时,也满足题意,

此时方程为x=0.

所以所求直线l的方程为3x-4y+20=0或x=0.

法二　当直线l的斜率存在时,

设斜率为k,则直线l的方程为y-5=kx,

即y=kx+5.

由

消去y得(1+k2)x2+(4-2k)x-11=0.(*)

设方程(*)的两根为x1,x2,

则

由弦长公式得=4,

解得k=,此时直线方程为3x-4y+20=0.

又斜率不存在时也满足题意,

此时直线方程为x=0.

所以所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.

解:(2)设过P点的圆C的弦的中点为E(x,y),

则CE⊥PE,

所以·=0,

即(x+2,y-6)·(x,y-5)=0,

化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.

当直线与圆相交时,讨论直线被圆截得的弦长问题是高考中常见的题型,此时要充分考虑与圆相关的平面几何知识的运用:(1)垂直于弦的直径平分这条弦;(2)圆心与弦的中点连线垂直于这条弦;(3)d2+()2=r2.要综合考虑这些几何知识,这样既简单又不容易出错.

已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=　　　　. 

解析:

设AB的中点为M,

由题意知,圆的半径R=2,

|AB|=2,所以|OM|=3,

由|OM|==3,

解得m=-,

所以直线l:x-y+6=0.

由

解得A(-3,),B(0,2),

则AC的直线方程为y-=-(x+3),

BD的直线方程为y-2=-x,令y=0,

解得C(-2,0),D(2,0),所以|CD|=4.

答案:4

考点三　直线与圆相切问题

[例4] 一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,求反射光线所在直线方程.

解:由光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点(2,-3),

设反射光线所在直线的斜率为k,

则反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),

即kx-y-2k-3=0.

又因为光线与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,

所以=1,

整理得12k2+25k+12=0,

解得k=-,或k=-.

从而所求直线方程为y+3=-(x-2)或y+3=-(x-2).

如果所求切线过某已知点,务必弄清该点在圆上还是圆外.(1)若点在圆上,那么圆心和该点的连线和切线垂直,从而求得切线的斜率.

(2)若点在圆外,过该点的切线有2条,但在设斜率解题时可能只求出一条,这是因为有一条切线斜率不存在.

由直线y=x+2上的点向圆(x-4)2+(y+2)2=1引切线,则切线长的最小值为　　　　. 

解析:根据直线y=x+2上的点到圆的切线长、到圆心的距离、圆的半径三个量的关系知,当直线上的点到圆心的距离最短时,切线长最短.易知圆心到直线的距离为4,又半径为1,所以最短的切线长为=.

答案:

考点四　圆中的对称问题

[例5] (1)若圆(x+1)2+(y-3)2=9上的相异两点P,Q关于直线kx+2y-4=0对称,则k的值为　　　　; 

(2)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|等于　　　　. 

解析:(1)圆是轴对称图形,过圆心的直线都是它的对称轴.已知圆的圆心为(-1,3),由题设知,直线kx+2y-4=0过圆心,则k×(-1)+2×3-4=0,解得k=2.

解析:(2)由于直线x+ay-1=0是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,

所以圆心C(2,1)在直线x+ay-1=0上,

所以2+a-1=0,

所以a=-1,

所以A(-4,-1).

所以|AC|2=36+4=40.又r=2,

所以|AB|2=40-4=36.

所以|AB|=6.

答案:(1)2　(2)6

对称圆的半径不变,圆的对称问题实际上是点的对称问题,求解过程中最重要的就是确定圆心.

1.已知圆x2+y2=4与圆x2+y2-6x+6y+14=0关于直线l对称,则直线l的方程是(　D　)

(A)x-2y+1=0 (B)2x-y-1=0

(C)x-y+3=0 (D)x-y-3=0

解析:两圆的圆心分别为(0,0),(3,-3),圆心连线的中点(,-),过两圆圆心的直线的斜率为=-1,所以直线l的斜率为1,所以直线l的方程为y+=1×(x-),即x-y-3=0,故选D.

2.已知点P(1,4)在圆C:x2+y2+2ax-4y+b=0上,点P关于直线x+y-3=0的对称点也在圆C上,则a=　　　　,b=　　　　. 

解析:P(1,4)在圆C上,所以2a+b+1=0,又点P关于直线x+y-3=0的对称点也在圆C上,所以圆心(-a,2)在x+y-3=0上,得a=-1,所以b=1.

答案:-1　1

考点五　易错辨析

[例6] 对于任意实数m,直线l:y=m(x-1)+b恒与圆O:x2+y2=a2(a>0)有两个交点,则a,b满足的条件是　　　　. 

解析:由题意知,直线l经过定点M(1,b).

又直线l恒与圆O:x2+y2=a2(a>0)有两个交点,

所以点M在圆O的内部,

所以12+b2<a2,即a2-b2>1.

答案:a2-b2>1

对直线方程理解不够,不能从方程中发现直线恒过定点;不能很好地使用点M在圆的内部这个条件,而仍然利用圆心到直线的距离小于半径,或结合方程组,利用判别式大于0求解,将会使运算复杂,甚至解不出.

1.已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1}, B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为(　C　)

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

解析:法一　(直接法)集合A表示圆,集合B表示一条直线,又圆心(0,0)到直线x+y=1的距离d==<1=r,所以直线与圆相交,故选C.

法二　(数形结合法)画图可知选项C正确.

2.已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且AC⊥BC,则实数a的值为　　　　. 

解析:由x2+y2+2x-4y-4=0得(x+1)2+(y-2)2=9,

所以圆C的圆心坐标为C(-1,2),半径为3,

由AC⊥BC,可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形,

故可得圆心C到直线x-y+a=0的距离为,

由点到直线的距离公式可得=,

解得a=0或a=6.

答案:0或6