2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第三章第一节　指数与指数函数、幂函数

第一节　指数与指数函数、幂函数

一、根式与指数幂

1.根式

2.有理数指数幂

3.无理数指数幂

无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.

1.公式理解

(1)中a的取值取决于n(n∈N*)的奇偶,当n为奇数时,a∈R;当n为偶数时,a≥0.

(2)的值取决于n(n∈N*)的奇偶,必要时需分类讨论.

2.与指数幂的运算性质有关的结论

由负指数幂的定义可知:

(1)ar÷as=ar-s;

(2)==.

二、指数函数的概念、图象与性质

1.概念理解

(1)指数函数的定义是形式定义,其解析式特征为

①系数为1;

②底数a>0且a≠1;

③无常数项;

④指数为自变量x.

符合以上特征才为指数函数,否则为指数型函数,如y=2x+1,y=-3x,y=()x+1等均为指数型函数y=Aax+B.

(2)由定义可知,解析式中只有一个参数a,所以只需已知函数图象上一点坐标即可确定指数函数.

2.与指数函数图象相关的结论

①指数函数图象之间的位置关系:在y轴右侧,图象越高,对应的底数越大.如图所示,直线x=1与图象交点的纵坐标即为各自底数的值.

②画指数型函数f(x)=Aax+B的图象时,注意标明渐近线,即在变换指数函数y=ax的图象的同时,渐近线x轴也应随之变换,以便准确应用图象.

③底数互为倒数的指数函数的图象关于y轴对称.

④画指数函数图象应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1, ).

三、幂函数

1.幂函数的概念

形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.

2.常见幂函数的图象与性质

1.概念理解

(1)幂函数的定义是形式定义,其解析式特征为

①系数为1;②底数只能是自变量x;③指数为常数;④无常数项.

(2)由定义可知,幂函数解析式中只有一个参数,所以只需已知函数图象上一点坐标即可确定幂函数.

2.与幂函数图象相关的结论

(1)幂函数图象可分为三类

①α>1,其图象在第一象限是“站立型”的;②0<α<1,其图象在第一象限是“趴型”的;③α<0,其图象在第一象限是“躺型”的,如图所示.

(2)幂函数的图象都过定点(1,1),当α>0时,还过定点(0,0),α<0时,一定不过点(0,0),且以坐标轴为渐近线.

(3)幂函数图象一定会出现在第一象限,一定不会出现在第四象限,是否出现在二、三象限,取决于函数的奇偶性.

3.与幂函数性质相关的结论

单调性:当α>0时,在(0,+∞)上为增函数;当α<0时,在(0,+∞)上为减函数.

1.(2019·全国Ⅰ卷)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则(　B　)

(A)a<b<c (B)a<c<b

(C)c<a<b (D)b<c<a

解析:取中间值.

⇒a<c<b.

故选B.

2.函数f(x)=e|x-1|的单调递减区间是(　C　)

(A)(-∞,+∞) (B)[1,+∞)

(C)(-∞,1] (D)[0,+∞)

3.已知函数f(x)= 则f(f(2))=　　　　,不等式f(x-3)<f(2)的解集为　　　　. 

解析:f(2)=()2-1=,f()=,f(f(2))= ,

当x-3>1,即x>4时,()x-3-1<,

解得x>5,

当x-3≤1,即x≤4时,x-3<,解得x<,

所以f(x-3)<f(2)的解集为(-∞,)∪(5,+∞).

答案:　(-∞,)∪(5,+∞)

4.若幂函数y=(m2-3m+3)的图象不经过原点,则实数m的值为　　　　. 

解析:因为函数为幂函数,

所以m2-3m+3=1,

解得m=1或m=2.

又因为图象不经过原点,

所以m2-m-2<0,

所以m=1.

答案:1

5.(2018·浙江嘉兴模拟)已知函数f(x)=log4(4-|x|),则f(x)的单调递增区间是　　　　. 

解析:令t=4-|x|,由于4-|x|>0,所以原函数的定义域为(-4,4),y=log4t在定义域上单调递增,而t=4-|x|在(-4,0)上单调递增,在(0,4)上单调递减,根据复合函数的单调性知f(x)=log4(4-|x|)在(-4,0)上单调递增,在(0,4)上单调递减,故原函数的单调递增区间为(-4,0).

答案:(-4,0)

考点一　根式与指数幂的运算

[例1] 求值与化简:

(1)×+×+(×)6-;

(2)·.

解:(1)原式=×1+×+(×)6-

=2+4×27

=110.

(2)·=·

==a.

指数幂的运算顺序及注意事项

(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.

(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.

(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数,先化成假分数.

(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.

提醒:运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.

若f(x)符合:对定义域内的任意的x1,x2,都有f(x1)f(x2)=f(x1+x2),且当x>1时,f(x)<1,则称f(x)为“好函数”,则下列函数是“好函数”的是(　B　)

(A)f(x)=2x (B)f(x)=()x

(C)f(x)=x (D)f(x)=log2x

解析:对定义域内的任意的x1,x2,都有f(x1)·f(x2)=f(x1+x2),说明函数是指数函数,排除选项C,D;又因为x>1 时,f(x)<1,所以排除选项A.故选B.

考点二　幂、指数函数的图象及应用

[例2] (1)幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2),则f(x)是(　　)

(A)偶函数,且在(0,+∞)上是增函数

(B)偶函数,且在(0,+∞)上是减函数

(C)奇函数,且在(0,+∞)上是减函数

(D)非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数

(2)

图中曲线是幂函数y=xα在第一象限的图象.已知α取±2,±四个值.则相应于曲线C1,C2,C3,C4的α值依次为　　　　. 

解析:(1)设幂函数f(x)=xα,代入点(4,2),4α=2,α=,

所以f(x)==,则f(x)是非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,故选D.

(2)由图象特征可知C1的α1>1,C2的α2满足0<α2<1,C3,C4的 α3,α4<0,

又x=2时,2-2=<=,

所以α3=-,α4=-2.

答案:(1)D　(2)2,,-,-2

(1)幂函数的指数与图象特征的关系

当α≠0,1时,幂函数y=xα在第一象限的图象特征

(2)指数函数图象可解决的两类热点问题及思路

①求解指数型函数的图象与性质问题

对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解.

②求解指数型方程、不等式问题

一些指数型方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.

提醒:应用指数函数的图象解决指数方程、不等式问题以及指数型函数的性质,要注意画出的图象的准确性,否则数形结合得到的可能为错误结论.

(2018·上海卷)已知α∈(-2,-1,-,,1,2,3).若函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=　　　　. 

解析:由f(x)为奇函数,故只能取-1,1,3,又在(0,+∞)上递减,所以α=-1.

答案:-1

考点三　幂、指数函数的性质及应用

[例3] 设y1=40.7,y2=80.45,y3=()-1.5,则(　　)

(A)y3>y1>y2 (B)y2>y1>y3

(C)y1>y2>y3 (D)y1>y3>y2

解析:因为y1=40.7=21.4,y2=80.45=21.35,

y3=()-1.5=21.5,

又函数y=2x在R上为增函数,且1.35<1.4<1.5,

所以21.35<21.4<21.5,即y2<y1<y3.故选A.

指数函数的性质及应用问题的常见类型及解题策略

(1)比较大小问题,常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法.

(2)简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论.

(3)指数型函数中参数的取值范围问题,在解决涉及指数函数的单调性或最值问题时,应注意对底数a的分类讨论.

(4)对可化为a2x+b·ax+c=0或a2x+b·ax+c≥0(≤0)的指数方程或不等式,常借助换元法解决,但应注意换元后“新元”的范围.

(2019·全国Ⅲ卷)函数y=在[-6,6]的图象大致为(　B　)

解析:函数y=是奇函数,且当x>0时,y>0,排除C,D,又f(6)=≈7,排除A.故选B.

考点四　幂函数单调性的应用

[例4] (1)已知y1=ax,y2=bx是指数函数,y3=xc,y4=xd是幂函数,它们的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系为(　　)

(A)a<b<c<d 

(B)b<a<c<d

(C)c<b<a<d 

(D)c<a<b<d

(2)若<,求实数a的取值范围.

(1)解析:因为底数大于1,指数函数是增函数,底数大于0小于1,指数函数是减函数,幂指数大于0,幂函数在(0,+∞)是增函数,幂指数小于0,幂函数在(0,+∞)是减函数,所以观察图象可知,d>1,c<0,0<b<a<1,即c<b<a<d,故选C.

(2)解:易知函数y=的定义域为[0,+∞),在定义域内为增函数,

所以

解得-1≤a<.

(1)根据幂函数的单调性比较大小

①同底不同指、同指不同底的幂值大小比较:幂函数y=xα中指数α的取值直接影响图象和性质,当α的取值不同时,函数的单调性不同,依据图象规律确定单调性后再比较大小.

②既不同底又不同指的幂值大小比较

常找到一个中间值,通过比较幂值与中间值的大小来判断.

(2)与幂函数有关的综合性问题一般是利用单调性、奇偶性以及函数图象求函数值域、不等式解集等.

考点五　易错辨析

[例5] 方程()x-1+()x+a=0有正数解,则实数a的取值范围是(　　)

(A)(-∞,1) (B)(-∞,-2)

(C)(-3,-2) (D)(-3,0)

解析:令t=()x,

因为方程有正根,

所以t∈(0,1),t2+2t+a=0有解,

所以a=1-(t+1)2.

因为t∈(0,1),所以a∈(-3,0).故选D.

令t=()x易忽视t的范围,误认为t∈(0,+∞),从而导致错误.

(2019·诸暨市期末)函数f(x)满足f(x)≤x2且f(x)≤2x(x∈R),则(　D　)

(A)若f(a)≤b2,则a≥b (B)若f(a)≤2b,则a≤b

(C)若f(a)≥b2,则a≤b (D)若f(a)≥2b,则a≥b

解析:若f(a)≥2b,则由f(x)≤2x得f(a)≤2a,则2b≤2a,则a≥b,故选D.

类型一　根式与指数幂的运算

1.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)等于(　B　)

(A)5 (B)7 (C)9 (D)11

解析:由f(a)=3得2a+2-a=3,

两边平方得22a+2-2a+2=9,

即22a+2-2a=7,故f(2a)=7.故选B.

2.(2019·新高考研究联盟)已知方程loga(5x-3x)=x(其中a>0,a≠1),若x=2是方程的解,则a=　　　　;当a=2时,方程的解x=　　　　. 

解析:若x=2是方程的解,则loga(52-32)=loga42=2,所以a=4;当a=2时,log2(5x-3x)=x,即5x-3x=2x,通过对比可知,该方程的解为x=1.

答案:4　1

类型二　幂、指数函数的图象及应用

3.已知函数f1(x)=ax,f2(x)=xa,f3(x)=logax(其中a>0,且a≠1),在同一坐标系中画出其中的两个函数在第一象限内的图象,正确的是(　B　)

解析:由a>0且a≠1知f2(x)=xa的图象过原点,

f1(x)=ax的图象过(0,1),f3(x)=logax的图象过(1,0),可排除A.

而f1(x)与f3(x)的单调性相同,排除C,

从选项B,D图象知f2(x)=xa中的a>1.

故选B.

4.(2018·浙江卷)函数y=2|x|sin 2x的图象可能是(　D　)

解析:由y=2|x|sin 2x知函数的定义域为R,

令f(x)=2|x|sin 2x,

则f(-x)=2|-x|sin(-2x)=-2|x|sin 2x.

因为f(x)=-f(-x),所以f(x)为奇函数.

所以f(x)的图象关于原点对称,故排除A,B.

令f(x)=2|x|sin 2x=0,解得x=(k∈Z),

所以当k=1时,x=,故排除C.故选D.

类型三　指数函数的性质及应用

5.已知函数f(x)=()x,则不等式f(a2-4)>f(3a)的解集为(　B　)

(A)(-4,1) (B)(-1,4)

(C)(1,4) (D)(0,4)

解析:可知函数f(x)为减函数,由f(a2-4)>f(3a),可得a2-4<3a,

整理得a2-3a-4<0,解得-1<a<4,所以不等式的解集为(-1,4).

故选B.

6.设y=f(x)在(-∞,1]上有定义,对于给定的实数K,定义fK(x)=给出函数f(x)=2x+1-4x,若对于任意x∈(-∞,1],恒有fK(x)=f(x),则(　D　)

(A)K的最大值为0 (B)K的最小值为0

(C)K的最大值为1 (D)K的最小值为1

解析:根据给出的定义,fK(x)是在函数y=f(x),y=K中取较小者,对任意的x∈(-∞,1]恒有fK(x)=f(x),等价于对任意的x∈(-∞,1]恒有f(x)≤K,等价于f(x)max≤K,x∈(-∞,1].

令t=2x∈(0,2],则函数f(x)=2x+1-4x,

即为函数(t)=-t2+2t=-(t-1)2+1≤1,

故函数f(x)在(-∞,1]上的最大值为1,

即K≥1,故选D.

7.函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(　D　)

(A)a>1,b<0 (B)a>1,b>0

(C)0<a<1,b>0 (D)0<a<1,b<0

解析:函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,

所以0<a<1.

函数f(x)=ax-b的图象是在f(x)=ax的基础上向左平移得到的,所以b<0.

类型四　幂函数单调性的应用

8.设函数f(x)=e|ln x|(e为自然对数的底数).若x1≠x2且f(x1)=f(x2),则下列结论一定不成立的是(　C　)

(A)x2f(x1)>1 (B)x2f(x1)=1

(C)x2f(x1)<1 (D)x2f(x1)<x1f(x2)

解析:f(x)=

当0<x1<1<x2时,选项A成立;

当0<x2<1<x1时,选项B,D成立,

故选C.

类型五　易错易误辨析

9.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是(　D　)

(A)(-∞,+∞) (B)(-2,+∞)

(C)(0,+∞) (D)(-1,+∞)

解析:因为2x>0,

所以由2x(x-a)<1,得a>x-()x,

令f(x)=x-()x,

则函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,

所以f(x)>f(0)=0-()0=-1,

所以a>-1.故选D.