2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第九章第一节　等差数列与等比数列

第一节　等差数列与等比数列

复习目标
学法指导
1.等差、等比数列的概念.
2.等差、等比数列的通项
公式.
3.等差、等比数列的中项.
4.等差、等比数列与函数
关系.
5.等差、等比数列的典型性质及应用.(发展要求)
1.掌握等差、等比数列的定义是能在具体情景中识别数列性质的关键.
2.熟悉通项公式及中项,这也是判定一个数列是等差或等比数列的依据.
3.数列与函数的关系,利用函数研究数列的特征是行之有效的方法.
4.能利用两类特殊数列的性质解决一些简单问题.


一、数列的概念与简单表示法
1.数列的定义
按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间
的大小关系
分类
递增数列
an+1>an
其中
n∈N*
递减数列
an+1 常数列
an+1=an
摆动数列
从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法
数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法.
4.数列的函数特征
从函数观点看,数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的函数an=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.
5.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
6.数列的递推公式
如果已知数列{an}的任何一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做数列{an}的递推公式.
7.an与Sn的关系
(1)Sn=a1+a2+…+an.
(2)若数列{an}的前n项和为Sn,
则an=

理解辨析
(1)并非每个数列都有通项公式;
(2)数列的通项公式并不唯一.
二、等差数列和等比数列
项目
等差数列
等比数列
定义
an+1-an=d(n∈N*)
=q(n∈N*),an≠0
通项
公式
an=a1+(n-1)d
an=am+(n-m)d
d=
an=pn+q(p,q是常数)
(即an是n的一次函数)
an=a1qn-1
an=am·qn-m
an=c·qn
(即an是n的指数型函数.图象是指数型函数图象上孤立的点)
中项
(1)a,A,b成等差数列,A叫a,b的等差中项.
(2)a,A,b成等差数列⇔A=.
(3)除首末两项,每一项都是它前后两项的等差中项,即{an}是等差数列⇒2an+1=an+an+2
(1)a,G,b成等比数列,G叫a,b的等比中项.
(2)a,G,b成等比数列⇔G2=a·b⇔G=±(a·b>0)
(3)除首末两项,每一项都是它前后两项的等比中项,即{an}是等比数列⇔=an·an+2(an·an+1·an+2≠0)
性质
(1)m+n=p+q⇒am+an=ap+aq.特殊:m+n=2p⇒am+an=2ap.
(2)下标和相等,对应项的和也相等.下标成等差数列,对应项成等差数列
(1)m+n=p+q⇒am·an=ap·aq.特殊:m+n=2p⇒am·an=.
(2)下标和相等,对应项的积也相等.下标成等差数列,对应项成等比数列

d>0时为递增数列,
d<0时为递减数列
或时,为递增数列;
或时为递减数列

1.理解辨析
数列中求最大项、最小项问题.
(1)求最大项an,则满足不等式组
(2)求最小项an,则满足不等式组
2.相关的结论
(1)若三个数成等差数列可设为a-d,a,a+d;成等比数列可设为aq-1,a,aq.若四个数成等差数列可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d;成等比数列可设为aq-3,aq-1,aq,aq3.
(2)等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则=.
(3)若{an}是等差数列,则{}(c>0)是等比数列;若{bn}是等比数列,则{logabn}(a>0且a≠1)是等差数列.

1.(2018·北京卷)设{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为　　　　. 
解析:法一　设等差数列{an}的公差为d.
因为a2+a5=36,所以(a1+d)+(a1+4d)=36,
所以2a1+5d=36.
因为a1=3,所以d=6,
所以通项公式为an=a1+(n-1)d=6n-3.
法二　设等差数列{an}的公差为d.
因为a2+a5=a1+a6=36,a1=3,
所以a6=33,所以d==6.
因为a1=3,所以通项公式为an=6n-3.
答案:an=6n-3
2.数列{an}中a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和,若Sn=126,则n=　　　　. 
解析:由已知{an}为等比数列,首项为2,公比为2,则Sn==126,解得n=6.
答案:6
3.在等差数列40,37,34,…中,第一个负数项是　　　　. 
解析:记该等差数列为{an},公差为d,
因为a1=40,d=37-40=-3,
所以an=40+(n-1)×(-3)=-3n+43.
令an<0,即-3n+43<0,解得n>.
故第一个负数项是第15项,即a15=-3×15+43=-2.
答案:-2
4.已知{an}是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1=　　　　,d=　　　　. 
解析:因为a2,a3,a7成等比数列,所以=a2a7,
即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),解得d=-a1　①,
又因为2a1+a2=1,所以3a1+d=1　②,
由①②可得a1=,d=-1.
答案:　-1
5.(2018·杭州教学质量检测)设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=80,S2=8,则公比q=　　　　,a5=　　　　. 
解析:由题意,设数列{an}的公比为q(q>0),
根据题意可得=80, =8,
可解得a1=2,q=3,
根据等比数列的通项公式得a5=2×34=162.
答案:3　162

考点一　等差、等比数列基本量的计算
[例1] (1)若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q等于(　　)
(A)2 (B)4 (C)±2 (D)±4
(2)(2018·浙江重点中学协作体联考)《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰,书中有这样一道题:“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士,凡五人,共猎得五只鹿.欲以爵次分之,问各得几何?”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪褭、上造、公士的五个不同爵次的官员,共猎得五只鹿,要按爵次高低分配(即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列),问各得多少鹿?”已知上造分只鹿,则公士所得鹿数为(　　)
(A)1只 (B)只 (C)只 (D)只
解析:(1)由得

由②÷①得q=2.
故选A.
解析:(2)设大夫、不更、簪褭、上造、公士所分得的鹿的只数依次为a1,a2,a3,a4,a5,
由题意可知,数列{an}为等差数列,
且a4=,S5=5,
原问题等价于求解a5的值.
由等差数列前n项和公式可得
S5=×5=5a3=5,
则a3=1,
数列的公差为
d=a4-a3=-1=-,
故a5=a4+d=-=.
即公士所得鹿数为只.故选C.
(1)在等差数列和等比数列中,a1,d(或q),n,an,Sn五个量可以知三求二,往往采取解方程(组)思想.
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1,公差d(或公比q)是等差(等比)数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.

1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于(　C　)
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析:法一　由已知得am=Sm-Sm-1=2,
am+1=Sm+1-Sm=3,
因为数列{an}为等差数列,所以d=am+1-am=1,
又因为Sm==0,
所以m(a1+2)=0,
因为m≠0,所以a1=-2,
又am=a1+(m-1)d=2,
解得m=5.
法二　因为数列{an}为等差数列,且前n项和为Sn,
所以数列{}也为等差数列,
所以+=,
即+=0,
解得m=5.
经检验m=5为原方程的解.故选C.
2.(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,S3=,则S4=　　　　　. 
解析:设数列{an}的公比为q,
则有S3=a1+a2+a3=1+q+q2=,
整理可得4q2+4q+1=0,
所以q=-,所以S4=S3+a4=-=.
答案:
考点二　等差、等比数列的判断与证明
[例2] 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=,an=-2SnSn-1(n≥2).
(1)求证:数列是等差数列.
(2)求Sn和an.
(1)证明:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2SnSn-1,①
因为S1=a1≠0,
由递推关系知Sn≠0(n∈N*),
由①式得-=2(n≥2).
所以是等差数列,其中首项为==2,公差为2.
(2)解:由(1)知=2+2(n-1)=2n,所以Sn=.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-,
当n=1时,a1=S1=不适合上式,
所以an=
[例3] (2018·金丽衢十二校联考)已知数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,且an+1=Sn+n+1(n∈N+).
(1)求证数列{an+1}为等比数列;
(2)设数列{}的前n项和为Tn,求证:Tn<.
证明:(1)an+1=Sn+n+1,可得
当n≥2时,an=Sn-1+n,
两式相减可得,an+1-an=an+1,
可得an+1+1=2(an+1),n≥2,
由a1+1=2,a2+1=4,
可得数列{an+1}为公比为2的等比数列.
证明:(2)an+1=2·2n-1=2n,
即有an=2n-1,
当n=1时,T1=1,当n=2时,T2=1+,
当n=3时,T3=1++=,
显然有Tn<;
n>3时,Tn=1++++…+
<1+++(++…+)
=1+++
<1+++=1++<1++
=.
(1)判定数列{an}是等差数列的常用方法
①定义法:对任意n∈N*,an+1-an是同一个常数;
②等差中项法:对任意n≥2,n∈N*,满足2an=an+1+an-1;
③通项公式法:数列的通项公式an是n的一次函数;
④前n项和公式法:数列的前n项和公式Sn是n的二次函数,且常数项为0.
(2)等比数列的判定方法
①定义法:若=q(q为非零常数)或=q(q为非零常数且n≥2),则数列{an}是等比数列.
②等比中项法:若数列{an}中,an≠0且=an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列.
③通项公式法:若数列通项公式写成an=c·qn(c、q均是不为0的常数,n∈N*)的形式,则数列{an}是等比数列.
④前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=k·qn-k(k为常数且k≠0,q≠0,1),则数列{an}是等比数列.
如果判定某数列不是等比数列,只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可.

1.若数列{an}是等比数列,下列命题正确的个数为(　C　)
①{},{a2n}均为等比数列;②{ln an}为等差数列;
③{},{|an|}为等比数列;④{can},{an±k}(k≠0)均为等比数列.
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
解析:记{an}公比为q,根据等比数列的定义,==q2, ==q2均为定值.所以①正确;根据等差数列定义ln an+1-ln an=ln =ln q,若q>0,{ln an}为等差数列,若q<0,则{ln an}不是等差数列,所以②不正确; ==,=|q|均为定值,所以③正确;不一定为常数.可判断④不一定正确.故选C.
2.设{an}是公比为q的等比数列.
(1)推导{an}的前n项和公式;
(2)设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.
(1)解:设{an}的前n项和为Sn,
则Sn=a1+a2+…+an,
因为{an}是公比为q的等比数列,
所以当q=1时Sn=na1,
当q≠1时.
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,①
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,②
①-②得(1-q)Sn=a1-a1qn,
所以Sn=,
所以Sn=
(2)证明:假设{an+1}是等比数列,则对任意的k∈N*,
(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),
+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,
q2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,
因为a1≠0,所以2qk=qk-1+qk+1,
因为q≠0,所以q2-2q+1=0,
所以q=1,这与已知矛盾.
所以假设不成立,故{an+1}不是等比数列.
考点三　等差、等比数列的性质及应用
[例4] (1)设数列{an},{bn}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=　　　　; 
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S6>S7>S5,则an>0的最大n=　　　　,满足SkSk+1<0的正整数k=　　　　. 
解析:(1)由于{an},{bn}都是等差数列,故{an+bn}也是等差数列,记cn=an+bn,则c1=7,c3=21,其公差d===7.故c5=c1+4d=7+4×7=35.
所以a5+b5=35.
解析:(2)依题意a6=S6-S5>0,a7=S7-S6<0,a6+a7=S7-S5>0,
则S11==11a6>0,
S12==>0,
S13==13a7<0,所以S12S13<0,
即满足SkSk+1<0的正整数k=12.
答案:(1)35　(2)6　12
(1)等差数列与等比数列的性质在解题中合理运用,可以优化解题过程.
(2)解题时,是否能用等差、等比数列的性质,主要是观察所给项的序号之间是否存在等差关系.

1.(2019·杭二中模拟)已知等比数列{an}的各项均为正数,且已知,,a2成等差数列,则等于(　A　)
(A)9 (B)6 (C)3 (D)1
解析:设公比为q(q>0),因为,,a2成等差数列,所以2·=+a2,q2-2q-3=0,可得q=3. ==q2=9.故选A.
2.已知数列{an}是公差不为0的等差数列,bn=,数列{bn}的前n项,前2n项,前3n项的和分别为A,B,C,则(　D　)
(A)A+B=C (B)B2=AC
(C)(A+B)-C=B2 (D)(B-A)2=A(C-B)
解析:因为{an}是公差不为0的等差数列,
所以{bn}是公比不为1的等比数列,由等比数列的性质,
可得A,B-A,C-B成等比数列,
所以可得(B-A)2=A(C-B),故选D.

等差(或等比)数列的判断与证明
[例题] (2017·江苏卷)对于给定的正整数k,若数列{an}满足an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan,对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{an}是“P(k)数列”.
(1)证明:等差数列{an}是“P(3)数列”;
(2)若数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{an}是等差数列.
证明:(1)因为{an}是等差数列,设其公差为d,
则an=a1+(n-1)d,
从而,当n≥4时,
an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d
=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3,
所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an,
因此等差数列{an}是“P(3)数列”.
证明:(2)数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,
当n≥3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an,①
当n≥4时,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.②
由①知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),③
an+2+an+3=4an+1-(an-1+an),④
将③④代入②,得an-1+an+1=2an,其中n≥4,
所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d′.
在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,
所以a2=a3-d′,
在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,
所以a1=a3-2d′,
所以数列{an}是等差数列.

规范要求:(1)证明数列是等差或等比数列时应紧扣定义.
(2)对等差、等比数列定义中的“常数”要有充分的认识,常数应是同一个数值,而非几个数值.
[规范训练] 已知数列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn=(n∈N*).
(1)求证:数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由.
(1)证明:因为an=2-(n≥2,n∈N*),
bn=,
所以bn+1-bn=-
=-
=-=1.
又b1==-,
所以数列{bn}是以-为首项,以1为公差的等差数列.
(2)解:由(1)知bn=n-,
则an=1+=1+.
所以当n=3时,an取得最小值-1,
当n=4时,an取得最大值3.

类型一　等差、等比数列基本量的计算
1.等差数列{an}前n项和为Sn,a3=7,S6=51,则公差d的值为(　B　)
(A)2 (B)3 (C)-3 (D)4
解析:根据已知得a1+2d=7且6a1+15d=51,
消去a1,解得d=3.故选B.
2.已知等比数列{an}中,a3=9,前三项和S3=27,则公比q的值为(　C　)
(A)1 (B)-
(C)1或- (D)-1或-
解析:当q=1时,显然成立,
当q≠1时,由题意得
解得
综上,q=1或-.故选C.
3.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则=　　. 
解析:设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,
依题意知,a4=a1+3d=-1+3d=8,
解得d=3.
b4=b1q3=-q3=8,解得q=-2.
所以a2=a1+d=-1+3=2,b2=b1q=-1×(-2)=2,
因此=1.
答案:1
类型二　等差、等比数列的判定与证明
4.已知数列{an}满足2an-1-an-an-2=0(n≥3,n∈N*)且a1=1,a2=3,则a10等于(　C　)
(A)17 (B)18 (C)19 (D)20
解析:由条件2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)可知数列{an}为等差数列,
又a1=1,a2=3,故d=2.
所以a10=1+(10-1)×2=1+9×2=19.选C.
5.已知数列{an}中,an+1=3Sn,则下列关于{an}的说法正确的是(　C　)
(A)一定为等差数列
(B)一定为等比数列
(C)可能为等差数列,但不会为等比数列
(D)可能为等比数列,但不会为等差数列
解析:若数列{an}中所有的项都为0,则满足an+1=3Sn,
所以数列{an}可能为等差数列;
当an≠0时,由an+1=3Sn得an+2=3Sn+1,
则an+2-an+1=3(Sn+1-Sn)=3an+1,
所以=4,
另由an+1=3Sn得a2=3a1,即=3,
所以数列{an}不是等比数列.故选C.
6.在△ABC中,a,b,c为∠A,∠B,∠C的对边,且cos 2B+cos B+
cos(A-C)=1,则(　D　)
(A)a,b,c成等差数列 (B)a,c,b成等差数列
(C)a,c,b成等比数列 (D)a,b,c成等比数列
解析:cos 2B+cos B+cos(A-C)=cos 2B-cos(A+C)+cos(A-C)=1-2sin2B-cos Acos C+sin Asin C+cos Acos C+sin Asin C=1-2sin2B+2sin Asin C=1,所以2sin2B-2sin Asin C=0,故sin2B=sin Asin C,即b2=ac,所以a,b,c成等比数列.故选D.
类型三　等差、等比数列的性质及应用
7.等差数列{an}中,a1+a7=26,a3+a9=18,则数列{an}的前9项和为(　B　)
(A)66 (B)99 (C)144 (D)297
解析:由a1+a7=2a4=26得a4=13.
由a3+a9=2a6=18得a6=9.
S9===99.故选B.
8.已知等比数列{an}中,a4+a8=-2,则a6(a2+2a6+a10)的值为(　A　)
(A)4 (B)6 (C)8 (D)-9
解析:a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2+a6a10
=+2a4a8+
=(a4+a8)2,
因为a4+a8=-2,
所以a6(a2+2a6+a10)=4.故选A.
9.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1等于(　C　)
(A)16(1-4-n) (B)16(1-2-n)
(C)(1-4-n) (D)(1-2-n)
解析:由数列{an}为等比数列可得q3==,
所以q=,a1=4,
根据等比数列的性质可得数列{an·an+1}为等比数列,首项为a1·a2=8,公比为q2=,
所以a1·a2+a2·a3+a3·a4+…+an·an+1==[1-()n]=(1-4-n).
故选C.
10.(2016·北京卷)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=6,
a3+a5=0,则S6=　　　　. 
解析:因为a3+a5=0,所以a4=0,
所以0=6+3d,所以d=-2,
所以S6==3(a3+a4)=3a3=3(a1+2d)=6.
答案:6