2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第二章第一节　函数及其表示

第一节　函数及其表示

一、函数的概念与表示法

1.函数的概念

设A,B都是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数f(x)的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数f(x)的值域,显然,值域是集合B的子集,函数的定义域、值域和对应关系构成了函数的三要素.

2.函数的表示法

(1)基本表示方法:解析法、图象法、列表法.

(2)分段函数:在定义域的不同范围内函数具有不同的解析式,这类函数称为分段函数.分段函数是一个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.

1.概念理解

(1)定义中集合B不一定是值域,因为B中可以存在不与A中自变量对应的元素,即不是函数值的多余元素.

(2)当函数的定义域和对应关系确定后函数的值域也就确定了,所以函数的三要素中定义域和对应关系是关键.

(3)函数的定义域与值域是非空的数集,所以必须用集合(或区间)表示.

(4)函数的三种表示方法可以相互转化,尤其是解析法与图象法,二者相辅相成,构成了解决函数问题的重要思想方法——数形结合思想.

2.与函数相关联的知识

(1)相等函数:如果两个函数的三要素相同,则称两个函数为相等函数.显然只要两个函数的定义域与对应关系完全相同,它们就是相等函数.

(2)抽象函数:一般是指没有给出函数的解析式及图象,仅用函数符号表示或仅给出函数的部分性质的函数.

(3)复合函数:若y是u的函数,u又是x的函数,即y=f(u),u=g(x),x∈(a,b),u∈(m,n),那么y关于x的函数y=f[g(x)],x∈(a,b),叫做f和g的复合函数,u叫做中间变量,u的取值范围是g(x)的值域.

二、映射

设A,B是两个非空的集合,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.

1.概念理解

映射与函数的区别只在于研究对象的不同,映射是针对任意的非空集合,不只是数集,两者对应关系的要求是完全一致的,所以函数是特殊的映射.

2.与映射相关联的结论

若集合A中有n个元素,B中有m个元素,则映射f:A→B的个数为mn个.

1.下列四组函数中,表示相等函数的是(　D　)

(A)f(x)=,g(x)=()2

(B)f(x)=·,g(x)=

(C)f(x)=2lg x,g(x)=lg x2

(D)f(x)=

解析:选项A中,f(x)=|x|(x∈R),g(x)=x(x≥0),两函数定义域不同;选项B中,由得f(x)的定义域为{x|x≥1},由x2-1≥0,得g(x)的定义域为{x|x≥1或x≤-1},两函数的定义域不同;选项C中,f(x)的定义域为 {x|x>0},g(x)的定义域为{x|x≠0},两函数定义域不同;选项D中,两个函数的定义域与对应关系都相同.

2.若f(-3)的定义域为[6,+∞),则f(x+1)的定义域为(　A　)

(A) [-1,+∞) (B)[0,+∞)

(C)[17,+∞) (D)[19,+∞)

解析:因为y=f(-3)的定义域为[6,+∞),

所以y=f(x)的定义域为[0,+∞),

对y=f(x+1),x+1≥0,x≥-1,

所以f(x+1)的定义域为[-1,+∞),故选A.

3.(2018·台州市路桥中学检测)若f(x)是一次函数, f[f(x)]=4x-1,则f(x)=　　　　. 

解析:可设f(x)=kx+b,

则f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x-1,

所以解得或

故f(x)=2x-或f(x)=-2x+1.

答案:2x-或-2x+1

4.(2018·金丽衢十二校联考)函数y=的定义域是　　　　,值域是　　　　. 

解析:要使函数有意义,则3-2x-x2≥0,即x2+2x-3≤0,

解得-3≤x≤1,故函数的定义域为[-3,1];

设t=3-2x-x2,则t=3-2x-x2=-(x+1)2+4,

则0≤t≤4,即0≤≤2,即函数的值域为[0,2].

答案:[-3,1]　[0,2]

5.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,则a=　　　　. 

解析:因为f(x)=log2(x2+a)且f(3)=1,

所以1=log2(9+a),所以9+a=2,所以a=-7.

答案:-7

6.有以下判断:

①f(x)=与g(x)=表示相等函数.

②函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个.

③若f(x)=|x-1|-|x|,则f=0.

其中正确判断的序号是　　　　　. 

解析:对于①,由于函数f(x)=的定义域为{x|x∈R且x≠0},而函数g(x)=的定义域是R,所以两者不是相等函数;对于②,若x=1不是y=f(x)定义域内的值,则直线x=1与y=f(x)的图象没有交点,若x=1是y=f(x)定义域内的值,由函数的定义可知,直线x=1与y=f(x)的图象只有一个交点,即y=f(x)的图象与直线x=1最多有一个交点;对于③,由于f=-=0,所以f=f(0)=1.

综上可知,正确的判断是②.

答案:②

考点一　函数的定义域

[例1] (1)(2018·台州路桥中学高三检测)下列各组函数是同一函数的是(　　)

①f(x)=与g(x)=x;

②f(x)=|x|与g(x)=;

③f(x)=x0与g(x)=;

④f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1.

(A)①②③ (B)①③④ (C)②③④ (D)①②④

(2)已知函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)= 的定义域为　　　　. 

解析:(1)①f(x)=与g(x)=x的定义域是{x|x≤0};

而f(x)= =-x,

故这两个函数不是同一函数;

②f(x)=|x|与g(x)=的定义域都是R, g(x)==|x|,这两个函数的定义域相同,对应关系也相同,故这两个函数是同一函数;

③f(x)=x0与g(x)=的定义域是{x|x≠0},并且f(x)=g(x)=1,对应关系也相同,故这两个函数是同一函数;

④f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1是同一函数.故选C.

(2)由得

所以-1<x<-或-<x≤,

故函数g(x)的定义域为(-1,-)∪(-,].

答案:(1)C　(2)(-1,-)∪(-,]

求函数定义域的三种类型及求解策略

(1)已知函数的解析式,构建使解析式有意义的不等式(组)求解.

(2)复合函数:

①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数 f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出.

②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域.

(3)实际问题:既要使构建的函数解析式有意义,又要考虑实际问题的要求.

提醒:如果所给解析式较复杂,切记不要化简后再求定义域.

1.(2019·江苏卷)函数y=的定义域是　　　　. 

解析:要使函数有意义,需7+6x-x2≥0,

即x2-6x-7≤0,即(x+1)(x-7)≤0,

解得-1≤x≤7.

故所求函数的定义域为[-1,7].

答案:[-1,7]

2.已知函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围是　　　　. 

解析:x2-2ax+a≥0恒成立,Δ=4a2-4a≤0,得0≤a≤1.

答案:[0,1]

考点二　求函数的解析式

[例2] (1)已知f(+1)=lg x,求f(x)的解析式;

(2)f(x)是二次函数,f(0)=0,且f(x+1)+f(2x)=5x2-4x-1,求f(x);

(3)已知f(x)满足2f(x)+f()=3x,求f(x)的解析式.

解:(1)令+1=t得x=,代入得f(t)=lg,

又x>0,所以t>1,

故f(x)的解析式是f(x)=lg (x>1).

(2)设f(x)=ax2+bx,

则f(x+1)+f(2x)=5ax2+(2a+3b)x+a+b=5x2-4x-1,

得a=1,b=-2,所以f(x)=x2-2x.

(3)2f(x)+f()=3x,①

将x用替换,得2f()+f(x)=,②

由①②解得f(x)=2x-(x≠0),

即f(x)的解析式是f(x)=2x-(x≠0).

求函数解析式常用方法

(1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式;

(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法;

(3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;

(4)方程思想:已知关于f(x)与f()或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).

(2019·全国Ⅱ卷)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-eax.若f(ln 2)=8,则a=　　　　. 

解析:因为f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-eax.

又因为ln 2∈(0,1),

所以-ln 2<0,

所以f(-ln 2)=-e-aln 2=-f(ln 2)=-8.

即e-aln 2=8.

两边取以e为底的对数得-aln 2=3ln 2,

所以a=-3.

答案:-3

考点三　分段函数的应用

[例3] (1)(2018·舟山中学高三模拟)已知函数f(x)= 则f(1)=　　　　;若f(a)=2,则a=　　　　. 

(2)对任意两个实数x1,x2,定义max(x1,x2)=若f(x)=x2-2,g(x)=-x,则max(f(x),g(x))的最小值为　　　　. 

解析:(1)f(1)=20=1,

当a≥0时,2a-1=2,此时a=2;

当a<0时,log2(-a)=2,此时a=-4,

所以a=2或-4.

(2)f(x)-g(x)=x2-2-(-x)=x2+x-2,

令x2+x-2≥0,解得x≥1或x≤-2.

当-2<x<1时,x2+x-2<0,

即f(x)<g(x),

所以max(f(x),g(x))= 作出图象,由图象可知函数的最小值在A处取得,

所以最小值为f(1)=-1.

答案:(1)1　2或-4　(2)-1

分段函数应用的常见题型及求解策略

(2019·天津卷)已知a∈R,设函数f(x)= 若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立,则a的取值范围为(　C　)

(A)[0,1] (B)[0,2] (C)[0,e] (D)[1,e]

解析:当x≤1时,因为f(x)=x2-2ax+2a≥0恒成立,而二次函数f(x)图象的对称轴为直线x=a,

所以当a≥1时,f(x)min=f(1)=1>0恒成立,

当a<1时,f(x)min=f(a)=2a-a2≥0,

所以0≤a<1.

综上,a≥0.

当x>1时,由f(x)=x-aln x≥0恒成立,

即a≤恒成立.

设g(x)= ,则g′(x)=.

令g′(x)=0,得x=e,且当1<x<e时,g′(x)<0,

当x>e时,g′(x)>0,

所以g(x)min=g(e)=e,所以a≤e.

综上,a的取值范围是0≤a≤e,即[0,e].故选C.

考点四　易错辨析

[例4] (2019·天津卷)已知函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=-x+a(a∈R)恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为(　　)

(A)[,] (B)(,]

(C)(,]∪{1} (D)[,]∪{1}

解析:如图,画出函数y=f(x)= 的图象.

(1)先研究当0≤x≤1时,直线y=-x+a与y=2的图象只有一个交点的情况.

当直线y=-x+a过点B(1,2)时,2=-+a,

解得a=.所以0≤a≤.

(2)再研究当x>1时,直线y=-x+a与y=的图象只有一个交点的情况:

①相切时,由y′=-=-,得x=2,

此时切点为(2,),则a=1.

②相交时,由图象可知直线y=-x+a从过点A向右上方移动时与y=的图象只有一个交点.

过点A(1,1)时,1=-+a,

解得a=.所以a≥.

结合图象可得,

所求实数a的取值范围为[,]∪{1}.

故选D.

(1)没有用到数形结合思想,直接讨论方程组解的个数,从而使此题复杂化.

(2)f(x)的图象作错,有可能是范围弄错,也有可能是本身知识结构以及对基本函数的图象了解没有到位.

(3)没有注意到两种情况,特别是相切的情况.

提醒:根据方程实根个数确定参数范围,常把其转化为曲线交点个数,特别是其中一条为直线时常用此法.

(2018·金华十校高三期末)已知函数f(x)= 的最小值为a+1,则实数a的取值范围为　　　　. 

解析:(1)若-a≤0,即a≥0时,

f(x)=

所以f(x)在(-∞,0]上单调递减,最小值为f(0)=2,

在(0,+∞)上的最小值为a+1,故只需2≥a+1即可,

解得0≤a≤1.

(2)若0<-a≤1,即-1≤a<0时,

则f(x)=

所以f(x)在(-∞,0]上先减后增,最小值为f()=2-,在(0,+∞)上的最小值为a+1,

故只需2-≥a+1即可,

解得-2-2≤a≤-2+2,

又因为-1≤a<0,

所以-1≤a<0.

(3)若-a>1,即a<-1时,

则f(x)=

所以f(x)在(-∞,0]上先减后增,最小值为f()=2-,在(0,+∞)上的最小值为-a-1>0,

而f(x)的最小值为a+1<0,故只需令2-=a+1即可,

解得a=-2-2或a=-2+2(舍去).

综上,a的取值范围是{-2-2}∪[-1,1].

答案:{-2-2}∪[-1,1]