2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第三章第一节　指数与指数函数、幂函数

第一节　指数与指数函数、幂函数复习目标学法指导1.指数函数(1)指数与指数幂的运算①根式的意义.②分数指数幂的意义.③无理数指数幂的意义.④有理数指数幂的运算性质.(2)指数函数及其性质①指数函数的概念.②指数函数的图象.③指数函数的性质.了解函数图象的平移与对称变换,体会数学的逼近、数形结合等思想.2.幂函数(y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1)(1)幂函数的概念.(2)幂函数的图象.(3)幂函数的性质.1.明确根式与分数指数幂的意义,能互相转化.2.有理数指数幂的运算以同底为基本条件.3.指数函数与幂函数的概念及形式概念,要从解析式的系数、底数、指数、常数等方面去理解与把握其要求.4.运用指数函数的图象与性质能解决幂值的大小比较、指数不等式的求解、参数的取值范围的确定等问题.一、根式与指数幂1.根式n次方根如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,n∈N*当n是奇数时,a的n次方根x=当n是偶数时,正数a的n次方根x=±(a>0);负数的偶次方根没有意义0的任何次方根都是0,记作=0式子叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数当n为任意正整数时,()n=a当n为奇数时,=a当n为偶数时,=|a|=2.有理数指数幂正分数指数幂:=a>0,m,n∈N*,且n>1负分数指数幂:==0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义ar·as=ar+sa>0,b>0,r,s∈Q(ar)s=ars(ab)r=arbr3.无理数指数幂无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.1.公式理解(1)中a的取值取决于n(n∈N*)的奇偶,当n为奇数时,a∈R;当n为偶数时,a≥0.(2)的值取决于n(n∈N*)的奇偶,必要时需分类讨论.2.与指数幂的运算性质有关的结论由负指数幂的定义可知:(1)ar÷as=ar-s;(2)==.二、指数函数的概念、图象与性质函数y=ax(a>0,且a≠1)图象0<a<1a>1图象特征在x轴上方,过定点(0,1)当x逐渐增大时,图象逐渐下降当x逐渐增大时,图象逐渐上升性质定义域R值域(0,+∞)单调性递减递增函数变化规律当x=0时,y=1当x<0时,y>1;当x>0时,0<y<1当x<0时,0<y<1;当x>0时,y>11.概念理解(1)指数函数的定义是形式定义,其解析式特征为①系数为1;②底数a>0且a≠1;③无常数项;④指数为自变量x.符合以上特征才为指数函数,否则为指数型函数,如y=2x+1,y=-3x,y=()x+1等均为指数型函数y=Aax+B.(2)由定义可知,解析式中只有一个参数a,所以只需已知函数图象上一点坐标即可确定指数函数.2.与指数函数图象相关的结论①指数函数图象之间的位置关系:在y轴右侧,图象越高,对应的底数越大.如图所示,直线x=1与图象交点的纵坐标即为各自底数的值.②画指数型函数f(x)=Aax+B的图象时,注意标明渐近线,即在变换指数函数y=ax的图象的同时,渐近线x轴也应随之变换,以便准确应用图象.③底数互为倒数的指数函数的图象关于y轴对称.④画指数函数图象应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1, ).三、幂函数1.幂函数的概念形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.2.常见幂函数的图象与性质函数图象或性质y=xy=x2y=x3y=y=x-1图象定义域RRR[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0,+∞)R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0,+∞)时,增;x∈(-∞,0]时,减增增x∈(0,+∞)时,减;x∈(-∞,0)时,减特殊点(1,1)(0,0)(-1,-1)(1,1)(0,0)(-1,1)(1,1)(0,0)(-1,-1)(1,1)(0,0)(1,1)(-1,-1)1.概念理解(1)幂函数的定义是形式定义,其解析式特征为①系数为1;②底数只能是自变量x;③指数为常数;④无常数项.(2)由定义可知,幂函数解析式中只有一个参数,所以只需已知函数图象上一点坐标即可确定幂函数.2.与幂函数图象相关的结论(1)幂函数图象可分为三类①α>1,其图象在第一象限是“站立型”的;②0<α<1,其图象在第一象限是“趴型”的;③α<0,其图象在第一象限是“躺型”的,如图所示.(2)幂函数的图象都过定点(1,1),当α>0时,还过定点(0,0),α<0时,一定不过点(0,0),且以坐标轴为渐近线.(3)幂函数图象一定会出现在第一象限,一定不会出现在第四象限,是否出现在二、三象限,取决于函数的奇偶性.3.与幂函数性质相关的结论单调性:当α>0时,在(0,+∞)上为增函数;当α<0时,在(0,+∞)上为减函数.1.(2019·全国Ⅰ卷)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则(　B　)(A)a<b<c (B)a<c<b(C)c<a<b (D)b<c<a解析:取中间值.⇒a<c<b.故选B.2.函数f(x)=e|x-1|的单调递减区间是(　C　)(A)(-∞,+∞) (B)[1,+∞)(C)(-∞,1] (D)[0,+∞)3.已知函数f(x)= 则f(f(2))=　　　　,不等式f(x-3)<f(2)的解集为　　　　. 解析:f(2)=()2-1=,f()=,f(f(2))= ,当x-3>1,即x>4时,()x-3-1<,解得x>5,当x-3≤1,即x≤4时,x-3<,解得x<,所以f(x-3)<f(2)的解集为(-∞,)∪(5,+∞).答案:　(-∞,)∪(5,+∞)4.若幂函数y=(m2-3m+3)的图象不经过原点,则实数m的值为　　　　. 解析:因为函数为幂函数,所以m2-3m+3=1,解得m=1或m=2.又因为图象不经过原点,所以m2-m-2<0,所以m=1.答案:15.(2018·浙江嘉兴模拟)已知函数f(x)=log4(4-|x|),则f(x)的单调递增区间是　　　　. 解析:令t=4-|x|,由于4-|x|>0,所以原函数的定义域为(-4,4),y=log4t在定义域上单调递增,而t=4-|x|在(-4,0)上单调递增,在(0,4)上单调递减,根据复合函数的单调性知f(x)=log4(4-|x|)在(-4,0)上单调递增,在(0,4)上单调递减,故原函数的单调递增区间为(-4,0).答案:(-4,0)考点一　根式与指数幂的运算[例1] 求值与化简:(1)×+×+(×)6-;(2)·.解:(1)原式=×1+×+(×)6-=2+4×27=110.(2)·=·==a.指数幂的运算顺序及注意事项(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数,先化成假分数.(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.提醒:运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.若f(x)符合:对定义域内的任意的x1,x2,都有f(x1)f(x2)=f(x1+x2),且当x>1时,f(x)<1,则称f(x)为“好函数”,则下列函数是“好函数”的是(　B　)(A)f(x)=2x (B)f(x)=()x(C)f(x)=x (D)f(x)=log2x解析:对定义域内的任意的x1,x2,都有f(x1)·f(x2)=f(x1+x2),说明函数是指数函数,排除选项C,D;又因为x>1 时,f(x)<1,所以排除选项A.故选B.考点二　幂、指数函数的图象及应用[例2] (1)幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2),则f(x)是(　　)(A)偶函数,且在(0,+∞)上是增函数(B)偶函数,且在(0,+∞)上是减函数(C)奇函数,且在(0,+∞)上是减函数(D)非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数(2)图中曲线是幂函数y=xα在第一象限的图象.已知α取±2,±四个值.则相应于曲线C1,C2,C3,C4的α值依次为　　　　. 解析:(1)设幂函数f(x)=xα,代入点(4,2),4α=2,α=,所以f(x)==,则f(x)是非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,故选D.(2)由图象特征可知C1的α1>1,C2的α2满足0<α2<1,C3,C4的 α3,α4<0,又x=2时,2-2=<=,所以α3=-,α4=-2.答案:(1)D　(2)2,,-,-2 (1)幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0,1时,幂函数y=xα在第一象限的图象特征α取值α>10<α<1α<0图象特殊点过(0,0),(1,1)过(0,0),(1,1)过(1,1)凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例y=x2y=y=x-1,y=(2)指数函数图象可解决的两类热点问题及思路①求解指数型函数的图象与性质问题对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解.②求解指数型方程、不等式问题一些指数型方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.提醒:应用指数函数的图象解决指数方程、不等式问题以及指数型函数的性质,要注意画出的图象的准确性,否则数形结合得到的可能为错误结论.(2018·上海卷)已知α∈(-2,-1,-,,1,2,3).若函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=　　　　. 解析:由f(x)为奇函数,故只能取-1,1,3,又在(0,+∞)上递减,所以α=-1.答案:-1考点三　幂、指数函数的性质及应用[例3] 设y1=40.7,y2=80.45,y3=()-1.5,则(　　)(A)y3>y1>y2 (B)y2>y1>y3(C)y1>y2>y3 (D)y1>y3>y2解析:因为y1=40.7=21.4,y2=80.45=21.35,y3=()-1.5=21.5,又函数y=2x在R上为增函数,且1.35<1.4<1.5,所以21.35<21.4<21.5,即y2<y1<y3.故选A.指数函数的性质及应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小问题,常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法.(2)简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论.(3)指数型函数中参数的取值范围问题,在解决涉及指数函数的单调性或最值问题时,应注意对底数a的分类讨论.(4)对可化为a2x+b·ax+c=0或a2x+b·ax+c≥0(≤0)的指数方程或不等式,常借助换元法解决,但应注意换元后“新元”的范围.(2019·全国Ⅲ卷)函数y=在[-6,6]的图象大致为(　B　)解析:函数y=是奇函数,且当x>0时,y>0,排除C,D,又f(6)=≈7,排除A.故选B.考点四　幂函数单调性的应用[例4] (1)已知y1=ax,y2=bx是指数函数,y3=xc,y4=xd是幂函数,它们的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系为(　　)(A)a<b<c<d (B)b<a<c<d(C)c<b<a<d (D)c<a<b<d(2)若<,求实数a的取值范围.(1)解析:因为底数大于1,指数函数是增函数,底数大于0小于1,指数函数是减函数,幂指数大于0,幂函数在(0,+∞)是增函数,幂指数小于0,幂函数在(0,+∞)是减函数,所以观察图象可知,d>1,c<0,0<b<a<1,即c<b<a<d,故选C.(2)解:易知函数y=的定义域为[0,+∞),在定义域内为增函数,所以解得-1≤a<.(1)根据幂函数的单调性比较大小①同底不同指、同指不同底的幂值大小比较:幂函数y=xα中指数α的取值直接影响图象和性质,当α的取值不同时,函数的单调性不同,依据图象规律确定单调性后再比较大小.②既不同底又不同指的幂值大小比较常找到一个中间值,通过比较幂值与中间值的大小来判断.(2)与幂函数有关的综合性问题一般是利用单调性、奇偶性以及函数图象求函数值域、不等式解集等.考点五　易错辨析[例5] 方程()x-1+()x+a=0有正数解,则实数a的取值范围是(　　)(A)(-∞,1) (B)(-∞,-2)(C)(-3,-2) (D)(-3,0)解析:令t=()x,因为方程有正根,所以t∈(0,1),t2+2t+a=0有解,所以a=1-(t+1)2.因为t∈(0,1),所以a∈(-3,0).故选D.令t=()x易忽视t的范围,误认为t∈(0,+∞),从而导致错误.(2019·诸暨市期末)函数f(x)满足f(x)≤x2且f(x)≤2x(x∈R),则(　D　)(A)若f(a)≤b2,则a≥b (B)若f(a)≤2b,则a≤b(C)若f(a)≥b2,则a≤b (D)若f(a)≥2b,则a≥b解析:若f(a)≥2b,则由f(x)≤2x得f(a)≤2a,则2b≤2a,则a≥b,故选D.类型一　根式与指数幂的运算1.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)等于(　B　)(A)5 (B)7 (C)9 (D)11解析:由f(a)=3得2a+2-a=3,两边平方得22a+2-2a+2=9,即22a+2-2a=7,故f(2a)=7.故选B.2.(2019·新高考研究联盟)已知方程loga(5x-3x)=x(其中a>0,a≠1),若x=2是方程的解,则a=　　　　;当a=2时,方程的解x=　　　　. 解析:若x=2是方程的解,则loga(52-32)=loga42=2,所以a=4;当a=2时,log2(5x-3x)=x,即5x-3x=2x,通过对比可知,该方程的解为x=1.答案:4　1类型二　幂、指数函数的图象及应用3.已知函数f1(x)=ax,f2(x)=xa,f3(x)=logax(其中a>0,且a≠1),在同一坐标系中画出其中的两个函数在第一象限内的图象,正确的是(　B　)解析:由a>0且a≠1知f2(x)=xa的图象过原点,f1(x)=ax的图象过(0,1),f3(x)=logax的图象过(1,0),可排除A.而f1(x)与f3(x)的单调性相同,排除C,从选项B,D图象知f2(x)=xa中的a>1.故选B.4.(2018·浙江卷)函数y=2|x|sin 2x的图象可能是(　D　)解析:由y=2|x|sin 2x知函数的定义域为R,令f(x)=2|x|sin 2x,则f(-x)=2|-x|sin(-2x)=-2|x|sin 2x.因为f(x)=-f(-x),所以f(x)为奇函数.所以f(x)的图象关于原点对称,故排除A,B.令f(x)=2|x|sin 2x=0,解得x=(k∈Z),所以当k=1时,x=,故排除C.故选D.类型三　指数函数的性质及应用5.已知函数f(x)=()x,则不等式f(a2-4)>f(3a)的解集为(　B　)(A)(-4,1) (B)(-1,4)(C)(1,4) (D)(0,4)解析:可知函数f(x)为减函数,由f(a2-4)>f(3a),可得a2-4<3a,整理得a2-3a-4<0,解得-1<a<4,所以不等式的解集为(-1,4).故选B.6.设y=f(x)在(-∞,1]上有定义,对于给定的实数K,定义fK(x)=给出函数f(x)=2x+1-4x,若对于任意x∈(-∞,1],恒有fK(x)=f(x),则(　D　)(A)K的最大值为0 (B)K的最小值为0(C)K的最大值为1 (D)K的最小值为1解析:根据给出的定义,fK(x)是在函数y=f(x),y=K中取较小者,对任意的x∈(-∞,1]恒有fK(x)=f(x),等价于对任意的x∈(-∞,1]恒有f(x)≤K,等价于f(x)max≤K,x∈(-∞,1].令t=2x∈(0,2],则函数f(x)=2x+1-4x,即为函数(t)=-t2+2t=-(t-1)2+1≤1,故函数f(x)在(-∞,1]上的最大值为1,即K≥1,故选D.7.函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(　D　)(A)a>1,b<0 (B)a>1,b>0(C)0<a<1,b>0 (D)0<a<1,b<0解析:函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以0<a<1.函数f(x)=ax-b的图象是在f(x)=ax的基础上向左平移得到的,所以b<0.类型四　幂函数单调性的应用8.设函数f(x)=e|ln x|(e为自然对数的底数).若x1≠x2且f(x1)=f(x2),则下列结论一定不成立的是(　C　)(A)x2f(x1)>1 (B)x2f(x1)=1(C)x2f(x1)<1 (D)x2f(x1)<x1f(x2)解析:f(x)=当0<x1<1<x2时,选项A成立;当0<x2<1<x1时,选项B,D成立,故选C.类型五　易错易误辨析9.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是(　D　)(A)(-∞,+∞) (B)(-2,+∞)(C)(0,+∞) (D)(-1,+∞)解析:因为2x>0,所以由2x(x-a)<1,得a>x-()x,令f(x)=x-()x,则函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以f(x)>f(0)=0-()0=-1,所以a>-1.故选D.