2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第八章第一节　向量及其运算

第一节　向量及其运算

一、平面向量的有关概念

1.向量的有关概念

(1)定义

既有大小又有方向的量叫做向量.

(2)表示方法

①用字母表示:如a,b,c等;

②用有向线段表示:有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.如,等.

(3)模

向量的大小叫做向量的模,记作|a|,|b|或||,||.

2.特殊向量

1.概念理解

(1)仅从向量的模定义零向量和单位向量,它们方向不确定,因此解题时注意特殊性.

(2)按照方向相同或相反定义平行向量和共线向量,因此两个向量方向相同或相反即可判定是否为共线向量.

2.与零向量有关的结论

(1)零向量与任意向量为共线向量;

(2)0·a=0.

二、平面向量的线性运算

概念理解

(1)利用三角形法则进行加法运算时,要注意两向量的首尾相连,在几何图形中求和向量时,一般要进行向量的平移让两个向量首尾相连.

(2)减法运算必须要求两向量有相同起点,差向量即为从减数终点指向被减数终点的向量,如:-= .

三、共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa.

1.概念理解

(1)向量的平行和直线平行不同,两向量所在直线重合也可以称平行向量.

(2)注意定理中a≠0的条件.

2.与共线向量相关联的结论

(1)若a,b,c均不为零向量,则平行具有传递性.

(2)在a(a≠0)方向上的单位向量:.

(3)利用共线向量定理证明三点共线的步骤:

第1步:三点构造两个向量;

第2步:证明两向量之间成倍数关系.

1.如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,则向量a-b可表示为(　C　)

(A)3e2-e1 

(B)-2e1-4e2

(C)e1-3e2 

(D)3e1-e2

解析:由题图可知a=-4e2,b=-e1-e2,

则a-b=e1-3e2.

故选C.

2.设两个非零向量e1和e2,且e1与e2不共线,=e1-e2, =3e1+2e2,

=-8e1-2e2,则下列三点共线的是(　D　)

(A)A,B,C (B)A,B,D (C)B,C,D (D)A,C,D

解析:=e1-e2,=+ =4e1+e2,

因为=-,且有公共点C,

所以A,C,D三点共线.故选D.

3.在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=　　　　,y=　　　　. 

解析:由题中条件得

=+=+=+(-)=-=x+y,

所以x=,y=-.

答案:　-

考点一　平面向量的基本概念

[例1] (1)下列有关向量相等的命题:

①若|a|=|b|,则a=b;

②若A,B,C,D是不共线的四点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;

③若a=b,b=c,则a=c;

④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b.

其中正确命题的序号是(　　)

(A)②③ (B)①② (C)③④ (D)②③④

(2)设a,b都是非零向量,则“a=2b”是“=”成立的(　　)

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

(3)下列与共线向量有关的命题:

①相反向量就是方向相反的向量;

②若a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;

③λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线;

④两向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件.

其中错误命题的序号为　　　　.(填序号) 

解析:(1)①不正确.两个向量的长度相等,它们的方向不一定相同.

②正确.因为=,所以||=||且∥,

又A,B,C,D是不共线的四点,

所以四边形ABCD为平行四边形;

反之,若四边形ABCD为平行四边形,

则∥且||=||,与方向相同,

因此,= .

③正确,因为a=b,所以a,b的长度相等且方向相同,又b=c,所以b,c的长度相等且方向相同,

所以a,c的长度相等且方向相同,故a=c.

④不正确.当a∥b且|a|=|b|,不一定a=b,也可以是a=-b.故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.

综上所述,正确命题的序号是②③.

故选A.

解析:(2)因为=,则向量a与向量b方向相同,但它们的模没有

关系.

因此“a=2b”是“=”成立的充分不必要条件.故选A.

解析:(3)①不正确.相反向量满足方向相反,长度相等.②不正确,两向量不能比较大小;③不正确.当λ=μ=0时,a与b可能不共线;④

正确.

答案:(1)A　(2)A　(3)①②③　

(1)相等向量具有传递性,共线向量不具有传递性,只有当非零向量之间才具有传递性.

(2)注意0的特殊性,验证命题为假命题时,通常采用举反例的方式,在向量概念问题的判定上,反例通常可以选取0.

(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量相等.

下列命题中正确的个数为(　B　)

①向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;

②若向量a与b满足a+b=0,则a与b共线;

③若向量a与b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等;

④设e为单位向量,若a与e平行,则a=|e|·a.

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

解析:①不正确,若向量a与向量b中有一个为零向量,则两个向量方向不一定相同或相反;

②正确;

③不正确,因为|a+b|≤|a|+|b|,所以|a+b|与|a|+|b|不一定相等;

④正确,因为|e|=1,所以a=|e|a成立.

故选B.

考点二　平面向量的线性运算

[例2] 下列各式不能化简为的是(　　)

(A)+(+ )

(B)(+)+(-)

(C)-+

(D) +-

解析:选项A,+(+)= ++=+=;

选项B,( +)+(-)=(+)+(-)=;

选项C,-+=+- = ;

选项D,+ -=-得不到.

故选D.

三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法,在运算时,要注意两种法则的适用条件.

在三棱锥O-ABC中,若D为BC的中点,则等于(　C　)

(A)+-

(B)++

(C)+-

(D)++

解析:如图根据向量加法三角形法则,

=(+)=(-+-),

所以=+-.故选C.

考点三　共线向量定理及应用

[例3] 设两个非零向量a与b不共线,

(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),

求证:A,B,D三点共线;

(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb同向.

(1)证明:因为=a+b,=2a+8b,=3(a-b),

所以=+

=2a+8b+3(a-b)

=2a+8b+3a-3b

=5(a+b)=5.

所以,共线,

又因为它们有公共点B,

所以A,B,D三点共线.

(2)解:因为ka+b与a+kb同向,

所以存在实数λ(λ>0),使ka+b=λ(a+kb),

即ka+b=λa+λkb.所以(k-λ)a=(λk-1)b.

因为a,b是不共线的两个非零向量,

解得或

又因为λ>0,所以k=1.

(1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别:只有两向量有公共点且共线时,才能得出三点共线.

(2)a与b共线是指存在不全为零的λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0,若λ1a+λ2b=0,当且仅当λ1=λ2=0时成立,则a与b不共线.

1.设a,b是不共线的两个非零向量,若=ka+12b, =4a+5b,=-ka+10b,且点A,B,C三点共线,则k=　　　　. 

解析:=-=(4-k)a-7b,

=-=(4+k)a-5b,

因为A,B,C三点共线,所以=,k=-.

答案:-

2.在△ABC所在平面内有一点P,如果++=,则△PAB与△ABC的面积之比是　　　　　　. 

解析:因为++==-,

所以2+=0,

=-2=2,

所以点P是线段AC的一个靠近点A的三等分点.

所以△PAB与△ABC的面积之比是1∶3.

答案:1∶3

类型一　平面向量的基本概念

1.以下给出了4个命题:

(1)两个长度相等的向量一定相等;

(2)相等的向量起点必相同;

(3)若a·b=a·c,且a≠0,则b=c;

(4)若向量a的模小于b的模,则a<b.

其中正确命题共有(　D　)

(A)3个 (B)2个 (C)1个 (D)0个

解析:长度相等方向相同的向量是相等向量,故(1)错误;根据相等向量的定义知,相等向量起点不一定相同,故(2)错误;因为a·b=a·c,所以a·(b-c)=0,又因为a≠0,所以必有a⊥(b-c),而b=c不一定成立,故(3)错误;向量不能比较大小,故(4)错误.故选D.

2.如图,在正方形ABCD中,M是BC的中点,若=λ+μ (λ,μ∈R),则λ+μ等于(　B　)

(A)

(B) 

(C) 

(D)2

解析:根据向量的平行四边形加法法则,=+,

又根据向量的三角形加法法则,

=+=+=+,=-,所以=λ+μ=

λ(+0+μ(-)=(λ-μ)+(λ+μ),

所以

解得所以λ+μ=.

故选B.

类型二　平面向量的线性运算

3.在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若=a,=b,则等于(　B　)

(A)a+b (B)a+b

(C)a+b (D)a+b

解析:=+,DE∶BE=1∶3=DF∶AB,

所以=,

所以=a+b+(a-b)=a+b.

故选B.

4.在△ABC中,G为△ABC的重心,D在边AC上,且=3,则(　B　)

(A)=+

(B)=--

(C)=-+

(D)=-+

解析:如图所示,=+,

=×(+)

=(+),

=.

所以=-(+)+

=--.

故选B.

5.任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,则=　　　　(用向量,表示). 

解析:因为=++,

=++,

所以2=+++++=+,

所以=(+).

答案:(+)

类型三　共线向量定理

6.已知O为△ABC内一点,且=(+),=t,若B,O,D三点共线,则t等于(　B　)

(A) (B) (C) (D)

解析:设E是BC边的中点,

则 (+)=,

由题意得=,

所以==(+)=+,

又因为B,O,D三点共线,

所以+=1,解得t=,

故选B.

7.已知点P是△ABC所在平面内一点,边BC的中点为D,若2=(1-λ)

+,其中λ∈R,则P点一定在(　C　)

(A)AB边所在的直线上 (B)BC边所在的直线上

(C)AC边所在的直线上 (D)△ABC的内部

解析:因为D为边BC的中点,

所以2=+

=(1-λ)+

=(1-λ)+-,

即2=(1-λ),

故A,P,C三点共线,

即点P在AC边所在的直线上.

故选C.

8.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若-4+3=0,则等于(　A　)

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

解析:由-4+3=0,

得-=3(-),即=3,

所以=3,

所以||=3||,

所以=3.故选A.